高阶系统的时域分析教材

1、武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 自动化 1002 班指导教师： 肖纯 工作单位： 自动化学院题 目 : 高阶系统的时域分析初始条件： 设单位系统的开环传递函数为G（s） K（s b）G（s） s（s2 5s 10）（s a）要求完成的主要任务 : （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等 具体要求）（1）当 K=10,a=1,b=5 时用劳斯判据判断系统的稳定性。（2）如稳定，则求取系统的单位阶跃响应、单位斜坡响应和单位加速度响应，用 Matlab 绘制相应的曲线，并计算单位阶跃响应的动态性能指标和稳态性能指 标，计算单位斜坡响应和单位加速

2、度响应的稳态性能指标。（3）如不稳定，则计算系统稳定时 K、 a 和 b 的取值范围，在稳定范围内任取一值 重复第 2 个要求。（4）绘制稳定时系统的根轨迹（在稳定范围内任取 a、b 值）。分析 K 变化对系统性能的影响。时间安排：任务时间（天）指导老师下达任务书，审题、查阅相关资料2分析、计算2编写程序1撰写报告2论文答辩1指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名：武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书目录1 高阶系统的数学模型 12 系统稳定性分析 23 高阶系统的时域分析 53.1 单位阶跃响应 . 53.1.1 单位阶跃响应 . 53.1.2 单位阶跃响应动态性能. 73.1

3、.3 单位阶跃响应稳态性能. 83.2 单位斜坡响应 . 9单位斜坡响应 . 93.2.2 单位斜坡响应稳态性能. 103.3 单位加速度响应 . 11单位加速度响应 . 113.3.2 单位加速度响应稳态性能 . 124 系统根轨迹 135 设计心得体会 14参考文献 14武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书高阶系统的时域分析1 高阶系统的数学模型个高阶系统的闭环传递函数的一般形式为：(s)C(s)R(s)b0sm b1sm 1bm 1s bma0sn a1sn 1an 1 anmn对分子、分母进行因式分解，得到零极点形式：m(1)K (s zi )(s) CR(ss) Kni 1(s z

4、i)R(s) (s pj )j1式(1)中， K=b0/a0；zi ,pj 分别为系统闭环零、极点。本设计给定的单位反馈系统的开环传递函数为GP(s)K(s b)s(s2 5s 10)(s a)(2)则其闭环传递函数为(假设为负反馈) ：K(s b) K(s b) (3)2 4 3 2 (3)s(s2 5s 10)(s a) K(s b) s4 (5 a)s3 (10 5a)s2 (10a K)s Kb武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书2 系统稳定性分析任何系统在扰动作用下都会偏离原平衡状态，产生初始偏差。所谓稳定性， 是指系 统在扰动消失之后，由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能。线性系

5、统 的稳定性仅取 决于系统自身的固有特性，而与外界条件无关。线性系统稳定的充 分必要条件是：闭环 系统特征方程的所有根均具有负实部； 或者说，闭环传递函 数的极点均位于 S 左半平面 若求出闭环系统特征方程的所有根， 就可判定系统的稳定性。 但对于高阶系统来说， 求特征方程根很困难，并且不易对参数进行分析。现使用一种不用求解特征根来判别系 统稳定性的方法劳斯稳定判据。设系统的特征方程为 D(s) a0sn a1sn 1an 1s an 0, a0 0，则可列出劳斯表如表 1 所示。表1 劳斯表n sa0a2a4a6n1 sa1a3a5a7n2 sa1a2 a0a3 c13 a1a1a4 a0a

6、5 c23a1a1a6 a0a7 c33a1c43n3 sc13a3 a1c23 c14c13c13a5 a1c33 c24c13c13a7 a1c43 c34c13c442 sc1,n 1c2,n 11 sc1,n0 sc1,n 1 an按照劳斯稳定判据，系统稳定的充分必要条件为：劳斯表中第一列各值均为正。否则系统不稳定，且第一列各系数符号改变次数即为特征方程正实部根的数目。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书10s 50(s)当K=10，a=1，b=5时，代入式 (3)得到系统闭环传递函数则系统的闭环特征方程为：D(s)=s4+6s3+15s2+20s+50=0. 按劳斯判据可列出如下劳

7、斯表：4 3 2 s4 6s3 15s2 20s 504 s115503 s62002 s3535001 s-40-7000 s5000由于劳斯表第一列数值符号有两次变化，故系统不稳定，且存在 2 个正实部根。用 MATLAB 求出全部特征根如下：>> y=roots(1 6 15 20 50)y =-3.1534 + 1.7836i-3.1534 - 1.7836i0.1534 + 1.9458i0.1534 - 1.9458i武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书现继续用劳斯稳定判据求原给定系统稳定时 K，a，b 的取值范围。原给定系统的闭环特征方程为： D(s)=s4+(5+

8、a)s3+(10+5a)s2+(10a+K)s+Kb=0 ，按劳斯 判据可列出如下劳斯表：4 s110 5aKb3 s5+a10a K02(5 a)(10 5a) (10a K)Kb0s5a12(5 a)(10 5a) (10a K )(10a K) Kb(a 5)200s(5 a)(10 5a) (10a K)0 sKb根据劳斯稳定判据，令劳斯表中第一列各元素为正，即：5a0 (5 a)(10 5a) (10a K) 0(4)5 a 02 (5 a)(10 5a) (10a K )(10a K) Kb(a 5)2 (5 a)(10 5a) (10a K)Kb 0即 K、a和 b必须满足：5

9、a 025a2 25a 50 K 03 2 2 50a3 (250 5K Kb)a2 (500 15K 10Kb)a 50K 25Kb K 2 0 Kb 0系统才稳定。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3 高阶系统的时域分析取 K=12，a=b=3 时，此时系统由四阶变为三阶，系统开环传递函数为GP (s)K(s b)2 s(s2 5s 10)(s a)122s(s2 5s 10)(6)系统闭环传递函数为(s)K(s b)2s(s2 5s 10)(s a) K(s b)12s3 5s2 10s 12(7)经分析可知，此时 K、a、b 的值满足要求，系统稳定3.1 单位阶跃响应3.1.1 单

10、位阶跃响应单位阶跃响指的是系统在单位阶跃信号 r(t)=1(t) 作用下的响应。取其拉氏变换即R(s)=1/s 。此时，系统输出为 :C(s)R(s) (s)1 K(s b)2s s(s2 5s 10)(s a) K(s b)1 1232s s3 5s2 10s 12对上式进行部分分式展开：C(s)1 0.5714s s 30.4286s 2.5714s2 2s 4对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位阶跃响 应:c(t) L 1C(s) 1 0.5714e 3t 0.4286e t cos(1.7321t ) 1.2371e t sin(1.7321t)(8)对于一

11、般的高阶系统来说，用这种方法来求取单位阶跃响应都比较麻烦，有时候甚至 很难完成。但利用 MATLAB 软件则可以很方便的得到响应， 并绘制出响应曲线。 MATLAB 中 tf2zp()函数能将传递函数模型转化为零极点模型， residue()函数可以直接求出传递函数部 分分式展开，由这些结果可以直接写出系统的输出解析解。另外，利用 step()函数还能准确 绘制系统单位阶跃响应曲线。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书式(7)所表示系统可以用下面的 MATLAB 语句求解系统单位阶跃响应%描述闭环系统传递函数的分子、 分母 多项%高阶系统建模%对传递函数进行因式分解 %给出闭环传递函数的零极

12、点形式%对C(s)部分分式展开%在分母多项式后补零相当于乘以 s%绘制高阶系统的单位阶跃响应曲线%添加栅格%标注标题%标注横、纵坐标轴>> num=12 36;den=1 8 25 42 36 式sys=tf(num,den);z,p,k=tf2zp(num,den);zpk(z,p,k)r,p,k=residue(num,den,0)step(sys)gridtitle( 单位阶跃响应' ); xlabel( t' ); ylabel( c(t) ');绘制的单位阶跃响应曲线如图图1 单位阶跃响应曲线1所示。由(8)式单位阶跃响应时域表达式可知系统闭环稳定

13、时， 单位阶跃响应的指数项和阻尼正弦余弦项均趋近于零， 稳态输出为常数项 1，这与用 MATLAB 绘制的响应曲线相符。武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3.1.2 单位阶跃响应动态性能动态性能指标是指稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程随时间 t 的变化状 况的指标，体现系统动态过程特征。用解析法求解高阶系统的动态性能指标很困难，这 里用 MATLAB 编程求解。调用单位阶跃响应函数 step()，获得系统的单位阶跃响应，当 采用y,t=step(sys)的调用格式时，将返回值 y及相应的时间 t，通过对 y和 t 进行计算， 可以得到高阶系统各项动态性能指标。利用 MATLAB 编

14、程求取系统动态性能指标程序如下： sys=tf(12 36,1 8 25 42 36)%系统建模%计算峰值时间 tp 和对应最大超调量 MpC=dcgain(sys)%取系统终值y,t=step(sys);%求取单位阶跃响应，返回变量输出 y 和时间 tY,k=max(y);%求输出响应的最大值 Y (即峰值)和位置 ktp=t(k)%取峰值时间Mp=(Y-C)/C%计算最大超调量%计算上升时间 tr n=1;while y(n)<C%循环求取第一次到达终值时的时间n=n+1;endtr=t(n)%求取仿真时间 t 序列的长度%计算调节时间 (误差带取 2%) i=length(t);w

15、hile(y(i)>0.98*C)&(y(i)<1.02*C) i=i-1;endts=t(i)武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书输出结果为：C =1 tp =2.2557 Mp = 0.1216 tr =1.6787 ts =3.2000即上升时间为 1.6787s，峰值时间为 2.2557s，最大超调量为 12.16%，并且系统在3.2000s后进入稳态。3.1.3 单位阶跃响应稳态性能稳态性能是系统在典型输入作用下，当时间 t 趋于无穷大时，系统输出量的最终复 现输入量的程度。稳态性能分析主要是指稳态误差的计算。稳态误差是系统控制精度或 抗干扰能力的一种度量。现采

16、用静态误差系数法计算单位阶跃响应稳态误差。将 K=12，a=3，b=3 代入( 2)式，得待分析系统的开环传递函数为 :12Gp (s)2ps(s2 5s 10)其静态位置误差系数为：Kplsim0Gp (s) lsim012s(s2 5s 10)所以单位阶跃输入作用下系统的稳态误差为：ess( )武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3.2 单位斜坡响应3.2.1 单位斜坡响应单位斜坡输入 r(t) t,R(s) 12 ，此时s2C(s)R(s) (s)1222s2(s 3)(s2 2s 4)展开为部分分式：1C(s) 2s0.8333s0.1905 0.6429s 0.85710s.190

17、35 0.64s229s2s0.84571对部分分式进行拉普拉斯反变换， 并设初始条件全部为零， 得系统的单位斜坡响应：c(t) t 0.8333 0.1905e 3t 0.6429e t cos(1.7321t ) 0.1237e t sin(1.7321t)(9)利用 MATLAB 软件绘制该系统在单位斜坡响应曲线。 由于 MATLAB 没有专用的单位斜坡响应函数，故使用任意输入响应函数 单位斜坡响应。程序如下：>> sys=tf(12,conv(1 3,1 2 4) t=0:0.01:10;u=t;lsim(sys,u,t)grid xlabel(t'); ylabe

18、l(c(t) ') title( 单位斜坡响应' );xlabel(t'); ylabel(c(t) ')lsim ()。当取 lsim ( sys,t,t,0 )时，即表示%系统建模%响应时间%单位斜坡输入%单位斜坡响应%标注横、纵坐标轴%标注标题%标注横、纵坐标轴武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书程序运行后得到系统单位斜坡响应曲线如图 2 所示图 2 单位斜坡响应曲线由(9)式单位斜坡响应时域表达式分析可知，本系统的单位斜坡响应的稳态分量为 (t-0.8333)，系统稳态输出速度恰好与单位斜坡输入速度相同，即系统能跟踪斜坡输入， 在位置上存在稳态跟踪误差

19、，这与图 2 所示曲线相符合。3.2.2 单位斜坡响应稳态性能由系统的开环传递函数可知 ， =1 ，该系统为型系统，待分析系统的开环传递函数为 Gp (s)12s(s2 5s 10)其静态速度误差系数为Kvlim sGp(s) lim122 (s2 5s 10)1.2ess( )1Kv所以系统在单位斜坡输入作用下的稳态误差为50.83336- 10 -武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书3.3 单位加速度响应3.3.1 单位加速度响应单位加速度输入 r(t) 1t2,R(s) 13 ，此时2s3C(s)R(s) (s)1232s3(s 3)(s2 2s 4)展开为部分分式形式：1 0.833

20、3 0.5556 0.1111 4.9583s 8.9583 C(s) 3 2 2s3s2s s 3s2 2s 4对部分分式进行拉普拉斯反变换，并设初始条件全部为零，得系统的单位加速度响 应：c(t) 0.5556 0.8333t 0.5t2 0.1111e 3t 4.9583e t cos(1.7321t) 2.3094e t sin(1.7321t) (10) 利用 MATLAB 软件绘制该系统在单位加速度响应曲线。由于 MATLAB 没有专用 的单位加速度响应函数，故使用任意输入响应函数lsim()。在 MATLAB 工作空间中输入如下程序代码：num=12; den=conv(1 3,

21、1 2 4); sys=tf(num,den);t=0:0.01:10;u=0.5*t.2;lsim(sys,u,t)gridxlabel('t'); ylabel('c(t)');title(' 单位加速度响应 ');%系统建模%响应时间序列%单位加速度输入 %绘制单位加速度响应曲线- 11 -武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书程序运行后，得到系统单位加速度响应曲线如图 3 所示。图 3 单位加速度响应曲线由(10) 式单位加速度响应时域表达式分析可知，系统单位加速度响应的稳态输出为( 0.5556 0.8333t 0.5t2 )，稳定时系

22、统不能跟踪加速度输入，随响应时间 t 的增大，稳 态位置误差将越来越大，从图 3 所示单位加速度响应曲线也可以看出。3.3.2 单位加速度响应稳态性能待分析系统的开环传递函数为Gp(s)122s(s2 5s 10)其静态速度误差系数为：2lim s G p(s) lim12s2 s2 5s 10所以在单位加速度输入作用下的系统稳态误差为：1ess( ) K1a- 12 -武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书4 系统根轨迹根轨迹表示 K 值从 0 变到无穷时， 闭环系统特征方程式的根在 s 平面变化的轨迹 根轨迹与系统性能之间有着密切的关系。当 a=3，b=3 时，系统开环传递函数：GP(s)

23、K(s b)2s(s2 5s 10)(s a)MATLAB 提供有专门绘制根轨迹的函数 rlocus(),该函数是针对开环传递函数的， 因此可 以直接用 rlocus(Gp)绘制出系统的根轨迹。程序运行后，得到系统根轨迹图如图 4 所示。图 4 根轨迹程序如下： >> num=1 3;%开环零点den=conv(1 0,conv(1 2 4,1 3);%开环极点sys=tf(num,den); %建立开环传递函数rlocus(sys); %绘制根轨迹title(' 根轨迹 ') ； %添加标题xlabel(' 实轴'); ylabel(' 虚轴'); %添加坐轴标注title('根轨迹 ') ； %添加标题- 13 -武汉理工大学自动控制原理课程设计说明书5 设计心得体会在本学期学习自动控制原理的时间里， 很少涉及到高阶系统分析与设计， 只在根轨迹、 稳定性判定等方面对高阶系统有一些了解。本次课程设计要求对高阶系统的根轨迹、稳 定性、单位阶跃响应、单位斜坡响应与单位加速度响应等作出分析，在分析过程中