正余弦定理例题解析

1、正余弦定理例题解析：例1.在厶ABC中，如果a= 18, b= 24, A= 45，则此三角形解的情况为 （B ）. A. 一解B.两解 C.无解 D.不确定解： 由bsin Av a< b 故有两解选B例 2.在厶 ABC中, a= ,5 , b= J5 , A= 30，贝U c 等于（C ）.A. 2 ,5B. ,5 C. 2 . 5或5 D.以上都不对解： 由bsin A< a< b故有两解选C例3.在 ABC中, a : b : c= 3 : 5 : 7,则此三角形的最大内角是(B ).A. 150B. 120 C. 90D. 1351解：设a= 3k, b= 5k,

2、 c = 7k,由余弦定理易求得cosC=-，所以最大角 C为120例 4. (1)在厶 ABC中，若 B= 30 , AB= 2 . 3 , AC= 2,则厶 ABC的面积是解: ABC中，若AB= 1, BC= 2，则角C的取值范围是(1) sin C= 23sin30由 Sa abc= 1 AB AC2sin A可得答案2 .3或.3.如图所示，由已知得BC= 2AB 又-A=-B2sin C sin A是 C= 60 或 120 ,/ sin C=丄sin A <2例5.在厶ABC中，求证：丄22 2a sin2B+b sin2A = 2absinC又 0 < C<

3、A 0 < C< -6证明：由正弦定理2 2b 知 a sin2B b sin 2Asin A sin Bab-si n2A asin Asin 2Bsin Bsin B sin 2Asin A2(sin A cosB sin Bcos A) 2sin(AB） 2sin C 故原式成例6.在锐角三角形ABC中,A,B, C是其三个内角,11求证：S< 11 tan A 1 tan B证明:s=1 tan A1 tan A 1tan BB>90 ,tan B (1 tan A)(1 tan B)90B<A<90，二 cot1 tan A 1 tan B1 ta

4、n A tanB tan Ata nBB< tan A 即 tan A tanB > 1, S<例7.在厶ABC中,如果 lga-lgc=lgsinB = -lg , 2，且B为锐角，判断此三角形的形状得 sin A =sin C解：由 lga-lgc=lgsinB = -lg . 2，得 sinB =又B为锐角， B = 45，又a =_2c 2.2 sinC = 2sinA = 2sin( 135 -C), 二 sinC = sinC+cosC ,cosC = 0 即C= 90 ,故此三角形是等腰直角三角形例8 已知a, b, c分别是 ABC三个内角 A, B, C的对

5、边. 若厶ABC面积为，c = 2，A= 60，求b，a的值.2 若acosA= bcosB,试判断 ABC的形状，证明你的结论.解： 由已知得 =-bcsinA= bsin60 , a b = 1.2 2由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA = 3,a a = , 3 . 由正弦定理得：2RsinA = a, 2RsinB = b,2RsinAcosA = 2RsinBcosB 即 sin2A = sin2B , 由已知A, B为三角形内角，a A+B= 90或A= B, ABC为直角三角形或等腰三角形.例9.如图所示，已知在梯形 ABCD中 AB/ CD CD= 2, AC =

6、J9，/ BAD= 60，求梯形的高.解：作DEI AB于 E,则DE就是梯形的高./ BAD= 60 , a 在 Rt AEC中，有 DE=AD sin 60 = AD-2，即 de=3 AD.2下面求AD(关键)：/ AB / CD / BAD= 60 ,a 在厶 ACD,Z ADC= 120 ,又 CD= 2, AC = .19 ,AC 2=AD2 CD22AD CD cosADC,即(、19)2 = AD2 22 2AD2 cos 120解得 AD= 3, (AD= -5，舍).将AD = 3代入， 梯形的高 DE=AD=n2 2例10 .如图所示，在厶ABC中，若c = 4, b = 7, BC边上的中线心彳，求边长a.解： AD是BC边上的中线，a 可设CD= DB= x.c = 4, b = 7, AD = - , A