空间向量与立体几何

1、空间向量与立体几何【主要内容】 空间向量的概念:1在空间，具有大小和方向的量称为空间向量.箭头所指的方向表示2向量可用一条有向线段来表示.有向线段的长度表示向量的大小,向量的方向.3向量二2的大小称为向量的模或长度4模或长度为0的向量称为零向量；模为 1的向量称为单位向量.5与向量a长度相等且方向相反的向量称为a的相反向量，记作 -a .6方向相同且模相等的向量称为相等向量.空间向量的加法和减法:1求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法那么即：在空间以同一点O为起点的两个向量 a、b为邻边作平行四边形 匸C2，那么以O起点的对角线OC就是-4 fa与b的和，这种求向量和的方法，称

2、为向量加法的平行四边形法那么.2求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角T 呻 T 形法那么.即:在空间任取一点 O,作一二a，用-b ,那么 a -b .实数，与空间向量a的乘积是一个向量，称为向量的数乘运算.当0时， a与a方4.0向相同；当 :0时， a与a方向相反；当=0时， a为零向量，记为 是a的长度的|舛倍.I-I 叫设，为实数，a , b是空间任意两个向量，那么数乘运算满足分配律及结合律.呻呻 T 呻44分配律： a bb ；结合律：J a .如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量称为共线向量或平行向 量，并规定零向量与任何向量都共线.向量共线的充要条

3、件：对于空间任意两个向量 a，b b=0 ，a/b的充要条件是存在实数.，使 ab.平行于同一个平面的向量称为共面向量.x , y，使向量共面定理：空间一点P位于平面 JTC内的充要条件是存在有序实数对A?y .-C ；或对空间任一定点 0,有 .：x3 , C共面，那么两个非零向量尸-y 上 zC x y z =1 .a和b，在空间任取一点门，作-a,屋二，那么,ce称为向量a , b的夹角,记作a, b .两个向量夹角的取值范围是:a,b ：二 0,二 I对于两个非零向量a和b，假设a,b飞，那么向量a，b互相垂直，记作自.两个非零向量a和b ,那么acos a,b称为a , b的数量积，

4、记作a b .即a b = a'bcos a,b .零向量与任何向量的数量积为0 .a b等于a的长度a与b在a的方向上的投影cos a, b的乘积.假设a, b为非零向量，e为单位向量，那么有i e a二a e二a cos a,e ；2a_b a b 0 ；3 a b =paba与b同向-a a与b反向(4 )cosa, b?=吕aN；(5 “a byai.向量数乘积的运算律：1 a b = b a ; 2 / a b = ' a b = i b ；I 4 H 443 a b c 二 a c b c .假设，j , k是空间三个两两垂直的向量，那么对空间任一向量p ,存在有序

5、实数组:x, y,Z ,使得p =xi -yj zk，称x, yj , zk为向量p在i , j , k上的分量.空间向量根本定理：假设三个向量a, b , c不共面，那么对空间任一向量p，存在实数组:x, y,z?，使得 xa yb zc .假设三个向量a , b , c不共面，那么所有空间向量组成的集合是：P P =x： + yb + zC,x, y, z 壬 R.这个集合可看作是由向量jja , b , c生成的,:a,b,c?称为空间的一个基底,a, b, c称为基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.设e , e2，包为有公共起点 门的三个两两垂直的单位向量 (称它

6、们为单位正交基底)，以e ,T Tt T “e2, e3的公共起点0为原点，分别以ei , e2, Q的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系 Oxyz .那么对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与J 4r 1 屮 T 一 T原点门重合，得到向量丄-p .存在有序实数组lx, y, z，使得p = xe ye2 zeh .把x , y , z称作向量p在单位正交基底ei , e2, e下的坐标，记作p二x, y, z .此时，向量p 的坐标是点？在空间直角坐标系 )xyz中的坐标 x, y,z .、几*彳设a = x1,y1,zi , b =化皿化，那么：1 a b

7、=为 X2,%y2,乙Z2.2 a -b =Xi乜，-丫2,乙-Z2.3 a 二 Xi, xyi,人Zi i.4 1+4 a b rxy$2zz .-4*-45 假设 a、b 为非零向量，那么 a _ b = a b =0= xix2yiy2 z =0.* 彳屮 彳【6 假设 b 0，贝Ua / b = a = b =Xi二 1X2,yi二y2, zi 1Z2.7 a = a a = x2 yi z；._ a bXiX2 yiy2 ZiZ2(8 )cos、a, b . - i 2 - 2 2/ 2 2 2 .間忖 厶2+%2+乙2 Jx；+y；+z；(9 ) A", %,乙)，E =

8、 (X2,y2,Z2 )，那么 dE=AB =.在空间中，取一定点 o作为基点，那么空间中任意一点 m的位置可以用向量门来表示.向量F称为点的位置向量.空间中任意一条直线I的位置可以由I上一个定点上以及一个定方向确定.点 二是直线I上 一点，向量a表示直线I的方向向量，那么对于直线I上的任意一点？，有-ta,这样点二 和向量a不仅可以确定直线I的位置，还可以具体表示出直线I上的任意一点.空间中平面:的位置可以由:内的两条相交直线来确定.设这两条相交直线相交于点门它们的方向向量分别为a , b . p为平面:-上任意一点，存在有序实数对x, y，使得T 斗 T彳呻- xa yb，这样点0与向量a

9、 , b就确定了平面:-的位置.直线I垂直一：匚，取直线I的方向向量a，那么向量a称为平面_：i的法向量.假设空间不重合两条直线 a , b的方向向量分别为 a , b，那么a/bu a/ba = b I 三 R , a _ b a b a b = 0 .假设直线即方向向弋a，平面。的法向量为町且腎為那么a“：=a n an=0 , a_：=a_：ua n ：=a二 n .假设空间不重合的两个平面 :,-的法向量分别为a , b，那么l= ab =a = hb，丄 0 w a 丄bu a b=0设异面直线a , b的夹角为二，方向向量为a , b，其夹角为:,那么有COST =|cos®| =P齐.设直线I的方向向量为I'，平面的法向量为n , I与所成的角为, I与n的夹角为,贝U有sin日=cos 设n1 , n2是二面角-I - 的两个面，一：的法向量，贝U向量n1 , n2的夹角或其补角就是二面角的平面角的大小.假设二面角二I的平面角为,点丄与点三之间的距离可以