整式分式复习资料

1、百度文库-让每个人平等地提升自我整式乘除与因式分解一、重点难点：重点是整式的乘法运算，因式分解运算.难点是乘法公式的灵活运用和分解因式的方法。二、知识要点【知识点一】幕的运算(1)同底数幕的乘法：同底数幕相乘,底数不变,指数相加.即 am an am n ( m , n都是正整 数)(2)幕的乘方：幕的乘方：底数不变，指数相乘.即(am)n amn( m , n都是正整数)(3)积的乘方：先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘.即(ab)n anbn(n是正 整数)/ (4)同底数幕的除法：同底数幕相除，底数不变，指数相减.(这个也可以看做分式的运算)即am an am n ( a

2、w 0, m , n都是正整数，且m > n) 零指数幕:不等于零的数的零次幕等于1.即a0 1( a w 0).推导过程：am am am-m a° 1(这里面注意：a*0,因为分母中有a)负整数指数幕:不等于零的数的负整数次幕等于这个数的正整数次幕的倒数.一 c 1一 一即a p 4 ( a W0, p是正整数). ap例 1.计算 3(a3)3 2(a4)2 a解：3(a3)3 2(a4)2 a=3a9 2a8 a 3a9 2a9 5a9点评：在整式运算中同样应遵循有括号先算括号(先小括号，再中括号，后大括号，)，然后算乘方、再算乘除、最后算加减的原则./例 2 : 0

3、. 252009 X 42009 - 8100 X 0 . 5300./解：0 . 252009 X 42009 - 8100 X 0 . 5300/=(0. 25X 4) 2009 (23) 100X 0. 5300/=12009 ( 2 X 0 . 5) 300/=1 1300/=0/【知识点二】整式乘法(1)单项式乘单项式'、/单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幕分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字 母，则连同它的指数作为积的一个因数.即：3a2b4cx 2x3bc6=(3 x 2)(b 4x b)(c x c6) x a2x x3=6a2x3b5c7(2)单项式乘多

4、项式单项式与多项式相乘，就是根据乘法对加法的分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把所得的 积相加.即：a(m+n尸am+an (单项式计算部分与上面原理相同)(3)多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.(就是反复多用几次乘法分配律)。即：(a+b) (m+n尸am+an+bm+bn (单项式计算部分与上面原理 相同)例3.计算：(1)( 3a2b3c) ( 2ab2)2 ( 3a3b); (2)(2a3-3a+5) (3-a2);23/解：(1) ( 3a2b3c) ( Zab2)2 ( 3a3b)23=(3a2b3c) (4a2b4

5、) ( 3a3b)29= 34( 3) (a2 a2 a3) (b3 b4 b) c 2a7b8c2 9(2) (2a3-3a+5) (3-a2)= 6a3 2a5 9a 3a3 15 5a2=2a5 9a3 5a2 9a 15点评：为防止“漏项”，应注意将一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项；要正 确确定积中每项的符号；如有同类项，则应合并同类项，得出最简结果；通常情况下，最后结果应按某一字母的降幕排列.【知识点三】：乘法公式(1)平方差公式：两个数的和与这两个数的积，等于这两个数的平方差.即 a b a b a2 b2.(2)完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，

6、力口(或减)它们的积的2倍.即：a b 2 a2 2ab b2,a b 2 a2 2ab b2例4.利用乘法公式计算：4m 3 2n 4m 3 2n/22解：4m 3 2n 4m 3 2n =4m 3 2n 4m 3 2n = 4m 3 2n2222= 16m9 12n 4n =16m2 4n2 12n 9点评：巧妙的将3 2n看作一个整体是解决本题的关键.【知识点四】：整式除法(了解即可，这几年几乎不从这部分里出题)(1)单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数哥分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.(2)多项式除以单项式：多项式除以单

7、项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.【知识点五】因式分解1 .因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解； 注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2 .因式分解的方法：常用“提取公因式法”、“公式法”、“分组分解法”、“十 字相乘法”'.(前三个较常考，第四个较难理解，而且大纲里不作要求，近几年不 常考，但是用好了会简化许多计算)一、提公因式法 am+an=a(m+n)二、运用公式法: a2-b2=(a+b)(a-b)； a2±2ab+b2=(a± b)2；三、分组分解法.把需要分解的式子改变顺序，对其中某部分提

8、公因式或运用公式，然后再进行/下一步的因式分解、(一)分组后能直接提公因式例5、分解因式：am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部” 看，这个多项式前两项都含有 a,后两项都含有b,因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为 一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式=(am an) (bm bn)=a(m n) b(m n)每组之间还有公因式！、=(m n)(a b)【注】分组的选择是不唯一的，这道题还可以选择其他的分组方式，试试看。(二)分组后能直接运用公式22例6、分解因式：x y ax ay分析：若将第一、三项分为一组

9、，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就不能继 续分解，所以只能另外分组。解：原式=(x2 y2) (ax ay)=(x y)(x y) a(x y)=(x y)(x y a)例7、分解因式：a2 2ab b2 c2解：原式=(a2 2ab b2) c222/=(a b) c=(a b c)(a b c)四、十字相乘法.(这是因式分解的最精华部分，但是大纲里不做要求，是课本中的思考题部分，所以了解即可，但是如果学会了，解题会快很多)(一)二次项系数为 1的二次三项式2直接利用公式 x (p q)x pq (x p)(x q)进行分解。/特点：(1)二次项系数是1;/(2)常数项是两个

10、数的乘积；/(3) 一次项系数是常数项的两因数的和。2例8、分解因式：x2 5x 6分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于6=2 X 3=(-2) X (-3)=1 X 6=(-1) X (-6),从中可以发现只有2X3的分解适合，即2+3=5 。18解：x2 5x 6 = x2(23)x 2 3=(x2)(x3)例6、分解因式:解：原式=x2=(x2 x(1)1)(x7x(6)x ( 1)(6)6)-1-6(二)二次项系数不为1的二次三项式2 ax(-1) + (-6) = -7 bx c条件：(1)(2)(3)分解结果：aa2aic b ax2C1C2a1c2bxa2 cl

11、C2b a1c2 a2cl例7、分解因式: 分析：解：3x2 11x(三)二次项系数为 1例8、分解因式: 分析：将b看成常数，1c = (a1 x c1 )(a2x a) 3x2 11x 101.-23 -5(-6) + (-5) = -1110=(x 2)(3x 5)的齐次多项式 2_2a 8ab 128b.2解：a 8ab(四)二次项系数不为把原多项式看成关于a的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 -.-8b1 -16b8b+(-16b)= -8b22_128b =a 8b=(a 8b)(a1的齐次多项式(16b)a 8b ( 16b) 16b)例 9、2x2 7xy 6y21-2y

12、2-3y(-3y)+(-4y尸-7y解：原式=(x 2y)(2x 3y)2 2_例 10、x y3xy 2把xy看作一个整体1-11-2(-1)+(-2)= -3解：原式=(xy 1)(xy 2)【典型题】例 1.设 m2+m2 = 0,求 m3+3m2+ 2000 的值./分析：由m2 + m2 = 0无法求m,所以要把m3+3m2+2000及m2+m2=0变形. 解：由 m2+m2=0,得 m2 = 2m, m2+m=2, 原式=m2 m+3m2+2000(2-m) m+3m2+ 2000 2mm2+3m2+20002 (m2+m) +20002X2+20002004评析：要多探索方法，寻

13、求新颖简捷的方法.例2.化简求化 5 (m+n) (m-n) -2(m+n)Z-3 (mn) 2,其中 m= 2,得.分析：先应用乘法公式化简，再代入求值.解：5 (m+n) (mn) 2 (m+n) 23 (mn) 2二5 (m2n2) 2 (m2+2mn+n2) 3 (m22mn+n2)=5m2 5n2 2m24mn2n2 3m2 + 6mn 3n2=10n2+2mn当 m= 2, n=5时，原式=10n2+2mn=2n ( 5n+m)= 2X1X (-5X1-2) =|x (-3) =-65555评析：本题用到平方差及完全平方公式，注意应用公式要准确.【注】这类习题一定要先化简，在代数求

14、值，以后的分式部分也要这样做例 3.已知(a+b”2=11, (a-b) 2 = 5,求(1) a2+b2; (2) ab.分析：利用完全平方公式变形即可.解：由(a+ b) 2=11,得 a2 + 2ab+b2= 11.由(ab) 2=5,得 a2 2ab+b2=5. + ，得 2a2 + 2b2=16.故 a2+b2=8.3一，得 4ab= 6.故 ab：,例4 zabc的三边a、b、c有如下关系式：c2+a2 + 2ab 2bc =0,求证这个三角形是等腰 三角形。分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解(还有些题是对某部分 因式分解)。证明：: 一 c2+a2 + 2a

15、b 2bc =0,(a + c) (a c) + 2b (ac) =0,(a c) (a + 2b+c) =0.又,a、b、c 是Aabc 的三条边，. a + 2b+c>0,a c=0,即2 = 5 Aabc为等腰三角形。例5 简便计算2001 x 19992001X 1999= (2000+1) (2000-1 )=2000 2-1 X 2000+1X2000+1X (-1 )=2000 2-1(用平方差公式也可以直接得到这一步)=4000000-1=3999999 ./ /例 6.计算 am+5bn+1 . a-m+6bn-1/解：am+5bn+1 - a-m+6bn-1分析：无论

16、指数多繁杂同底数幕结合是关键。/=(am+5 a-m+6)(bn+1 bn-1)/=am+5-m+6 y+1+41=a11 b2n例 7 .计算(-1)2k+1 (-之)2k /解：(-1)2k+1 (-2)2k分析：(-1)的奇次幕是-1=(-1) (- 2)2k1 /(-1)的偶次幕是+11 2=-1 ( 4)k利用 amn =(am)n将(-马)2k2 _x /211=-(a)k =小/ 变形(-w)2k=(-之)2k=( a)k21例8.用简便方法计算：(1) (-9)3 (-4)3 (号)3分析：本题逆用积的乘方公式，即同指数的若干个幕的积等于它们底数乘积之幕。ambmcm=(abc

17、)m/ g 1解:八1) (-9)3 - (- 3)3.( 3 )3/g 1、=(-9)(-二)(二)32£=(9 X 3 x 3 )3=23=8例9 如果2 8n 16n=222,求n的值分析：依据相等的2个哥，如其底数相同，则其指数相等的原理解方程。解： 2 8n 16n=222又 左边=2 - 8n 16n=2 化3)n . (24)n=2 - 23n 24n=21+3n+4n =21+7n21+7n=222,. 1+7n=22n=3例10 已知x 1 2,求x2的值 xx解：(x 1) 2=x2-2x 1+( 1)2= x2-2+( 1)2=4 xx xx21x 2 =4+2

18、=6x /例11 如果 a2 + b2 2a +4b +5=0 ,求 a、b 的值/解：a2+b22a +4b +5= (a-1) 2+ (b+2) 2=0/所以 a- 1=0 b+2=0 所以 a=1 b=-2/例12两个连续整数的平方差必是奇数解：设这两个连续整数是n和n+1/则 这两个数的平方差是(n+1) 2-n2=(n+1+n)(n+1-n)=2n+1因为n是整数所以2n+1是奇数则结论成立。分少/一、重点难点：重点是提高分式部分化简求值的运算能力，注意分式什么时候无意义，什么时候值为0;会解 分式方程，会用分式方程解决实际问题。难点是计算要快速准确，解方程记得检验是否是增根。二、知

19、识要点【知识点一】分式的基础知识1 .分式：整式A除以整式B,可以表示成A的形式，如果除式B中含有字母，那么称A为分式.若J BBBw0,则士有意义；若B=0,则士无意义；若A=0, B*0,则£=0.B/ B B2 .分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变.A A?CA A C ,用式子表小为 一 ,- (C W0).B B?CBBC3 .约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分：、4 .通分：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分/【注】通分的关键是确定n个分式的最简公分母，约

20、分的关键是确定分式的分子与分母中的最 大公因式.例1下列各式，哪些是整式，哪些是分式？1 a 齐 兀+ 2附十11,+ 2ab +b2一三一一川，一g+乃，x J Xq X 2 花4ya 十匕管冢:整式有！ 2n三之(工->)；3 n 4八±1 x ab 方+2厘+1 1 ,.分再有：一,一,-(a +6).而 j a x- 2 笈 y例2分别求出使下列式子有意义的x的值。© :1 卜卜3解：分式有意义，只要分母不为0就可以第一个：x-3 w0 x w3第二个：x -3 w0 x w 3第三个：x2w0 x w0x 3例3 如果分式 的值为零，那么x等于3x 9解：依

21、题意得3x-9w0 x w3x-3=0 x= 3综合起来，x=-3 (x=3的时候分式分母为0,无意义)co化筒：£化简;=ac；曲上二*X2 2x +1 汇1例5不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中的各项系数化为整数。D 03.V- 3.2y D-0 2yOQ立十0 O8x-I-O,5y +脚+ 一修-m -5【知识点二】上，提高速度。】分式的运算【注：这部分中考必有一道题，计算一定要大量练习，要保证准的基础(1)分式乘除法：概括：与分数乘除法的法则类似，分式的乘除法的法则是: 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母； 两个分式相除，把除式的分子和

22、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。经观察、类比不难发现bdbdbdBebeX, + 一=x.acacara dad解：原式=*哈(a-b)2 =a2 -b2 a(a b) ab例7.先化简，再求值。【中考题型，一定要先化简，再代数，切记。】x - 4I、/十五十1Ca-W+A-hl)2,其中£32一33行计算。例8将下列各式通分;答窠；原式-正2工当过二£时，3（2）分时加减法同分母的分式加减法与同分母分数加减法的法则类似，同分母的分式加减法的法则是：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。/异分母的分式加减法与异分母分数加减法的法则类似，异分母的分式加减法的法则是： 异

23、分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进解:最简公分母是12/9bc船修 3% 乂劭1 IZaVc25x 2a V10aJc6aba +2。+4n10(口 - 2)(1 +2a+4)G言）言答案.原式二"|£1-5【知识点三】分式方程概念：含有分式的等式（方程）叫分式方程。Z【注】对于分式方程，当分式中分母的值为零时没有意义，所以分式方程不允许未知数取那些分母为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了。换言之，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程因为解分式方程可能会出

24、现的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。增根，所以解分式方程时，验根是必要步骤。” (验跟是只有分式方程中才特有的，但是必须的)验根的方法有两种，一种是把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法道理简单,而且可以检查解方程时有无计算错误； 另一种是把求得未知数的值代入分式的分母, 否为零，这种方法不能检查解方程过程中出现的计算错误。看分母的值只例 10 6解：方程两边同时乘以(x1)(x整理，得2)得62 x2(xx1) (x 1)(x 2)6 0解这个方程，得x1x 2经检验，x 2是原方程的增根，应舍去.所以原方程的根是x 3例11年1月1日起调整居民用水价格，每立

25、方米水费上涨 1/3。小丽家去年 是15元，而今年7月份的水费则是30元。已知小丽家今年7月份的用水量比去年 量多5m,求该市今年居民用水的价格。主要的等量关系是：12月份的水费12月份的用水小丽家今年7月份的用水量一小丽家去年12月份的用水量=5n3所以，首先要表示出小丽家这两个月的用水量，而用水量可以用水费除以水的单价得出。解：设该市去年居民用水的价格3015x元/ m3 ,则今年的水价为(1+1/3) x元/ m3,根据题意，得(1 1) x x3解这个方程，得x=经检验，x=是所列方程的根。X (1+1/3) =2 (元)所以，该市今年居民用水的价格2 元/ m 3。例 12 x2 口

26、 x解：原方程变为1 0 xx 工)2+x(x -) -2=0x1 =-2x 1=1 xX1=X2=-1这个方程无解经检验，X1=X2=-1是这个方程的跟。(x 1)(x 2)x.x k x例13如果方程x 1 1 x解：解这种题，不要先带x2有增根x 1,则k=的值，因为带进去分母为0,分式无意义，所以，先通分，在通分时，等式两边乘以0,对等式是没有影响的，所以，原方程可化为: (x+k) -x(x+1)=2(x2-1)整理3x2-k-2=0此时，带入x=1, 求k的值，k=1例14若1-3，求5x3xy5y的值.11 一斛：因为一一3 所以y-x=3xy x yxyx2xyy5x 3xy5

27、yx 2xy y5( x - y) 3xy(x - y) - 2x5(-3xy) 3xy(-3xy) - 2x-12xy-5xy125【巩固练习:T【整式部分】1、计算：(D ( 3a2) 3 - ( 2a3)(2) 3xy2z (x2y) 2(3) 21a2b3+7a2b；(4) 7a5b2c3 + (3a3b);(x)2 (x)3 2x ( x)4、4 .x) x 丁 x12 、 , 23(6) (-a-2b) (2a 3b)2 3342、若 5n=2, 4n = 3,则 20n 的值是;若 2n+1=16,则 x =3、已知(3x2y3)?( 4xmy4) (5xyn)2.4x5y10

28、求 m n 的值4、1111(12)(1/ 7)(1 尹1 一、，方（提示：用平方差公式）5、已知 ab 9, a b 3,求 a2 3ab b2 的值6、在长为am,宽为b m的一块草坪上修了一条 1m宽的笔直小路，则余下草坪的面积可表示m2；现为了增加美感，把这条小路改为宽恒为1m的弯曲小路（如图6）,则此时余下草坪的面积为7、若a、b、c为AABC的三边，且满足a2+b2+c2 = ab+ac+bc,试判断 ABC的形状。8、已知 x y 8, xy 12 ,求：(1)22x y xyx2 xy y2 (3) x y 的值。，一、 2(2) 7a2 3b ab 21a,、2(4) mx mx n nx9、利用因式分解说明：367 612能被140整除10、因式分解(1) 2x ax 2y ay(3) a2x a2y b2x b2y；(5) a2b2 2ab a2 1(6) (a b)2(a b)24.4a b y2 6y 9x2 9(9)2x 2-7x + 3;(10)6x2(8) x 2xy7x-5 ;(11)-3x 2- 7x-2 ;(12)5x2+ 6xy-8y【注】后四个是用十字相乘法因式分解，尽量做11、已知 x y z 0 ,求(x2y2 z2)2 4y2z2 的值。12、已知：a、b、c为 ABC的三边,并且满足a2(b