北师版初二数学上册培优秋季班讲义

1、第1讲复杂的“旋转型”与弦图知识点1复杂的“旋转型”在一些特殊图形中，由两边相等可以利用“旋转”的方式将三角形“转移”，从而达到转移边或角的目的.在没有明确给出“旋转”后的图形时，有的需要作辅助线进行构造常见的一些模型如下:1 .如图，以Rt9BC的斜边BC为一边作正方形 BCDE,对角线的交点为 O ,连接AO ,如果AB=3 , AO= 2/，求AC的长.BC【方法总结】在AC上截取CF=AB ,利用“边角边”证明 ABO和FCO全等，根据全等三角形的性质可得OF=AO , ZAOB= ZFOC,然后判定出 AOF是等腰直角三角形， 根据等腰直角三角形 的斜边等于直角边的。倍求出AF,再根

2、据AC=AF+CF，代入数据进行计算即可得解.本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形与等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点.2 .如图，过边长为 1的等边 ABC的边AB上一点P,作PEXAC于E, Q为BC延长线上 一点，当PA=CQ时，连接PQ交AC边于D,求DE的长.A【方法总结】过P作PF/BC交AC于F,得出三角形 APF是等边三角形，推出 AP=PF=QC ,根据等腰1三角形性质求出 EF=AE ,由AAS证出PFDzQCD,推出FD=CD ,推出DE=AC即可.2本题综合考查了全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质和判定、等

3、腰三角形的性质、平行线的性质等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键.此题培养了学生 综合分析问题和解决问题的能力，难度适中.【随堂练习】1.如图，点E是正方形 ABCD对角线AC上一点，AFLBE于点F,交BD于点G,则下述结论中不成立的是（）A.AG=BEC.AE=DGB.MBGzBCED. ZAGD= /DAG2 .如图，点E是边长为5的正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点， EBF是等腰EBF=90 ° CE按F .若 EF=6 ,贝U CF 的长为（）直角三角形，其中/3 .如图，D是等边4ABC的边AC上的一点，E是等边4ABC外一点，若BD=CE ,

4、/1= Z2 ,则对4ADE的形状最准确的是（A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.不等边三角形知识点2弦图及其拓展“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，如下图图中的等量关系有：a2+b 2=c 2；4个小三角形的面积和 =2ab ;大正方形的边长为 c,面积=a 2+b 2=c 2;小正方形的边长为 b-a= &2 一2ab,面积=(b-a) 2=c2-2ab ；(a+b ) 2=a 2+b 2+2ab=c 2+2ab ；(a-b ) 2=a 2+b 2-2ab=c 2-2ab.【典例】1 .在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形

5、与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b ,求a4+b4的值.【方法总结】根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13 , 2ab即四个直角三角形的面积和.将a4+b 4变形成包含a2+b 2和ab的式子，从而求得a4+b 4的值.本题考查了勾股定理、 弦图、完全平方式等知识，解题的关键是掌握弦图中的有关等量关系，灵活运用所学知识解决问题.2 .四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形ABCD ,过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH.已知AM为RtA

6、BM较长直角边，AM=2有EF,则正方形【方法总结】设AM=2a , BM=b ,则正方形 ABCD的面积=4a 2+b 2.由题意可知 EF= (2a-b ) -2 (a-b) =2a-b-2a+2b=b ,由AM=2 卷EF可得a与b的关系.分别用 b表示正方形 ABCD和正 方形EFGH的面积，即可得出结果.本题考查勾股定理、 线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是用直角三角形的两直角边长表示已知面积的正方形的边长.【随堂练习】1 .如图是2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽，它由4个相同的直角三角形拼成，已知直角三角形的两条直角边长分别为3和4,则大正方形 ABCD和小正方形

7、EFGH的面2 .如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49,小正方形面积为 4,若用x、y表示直角三角形白两直角边（x>y）,下列四个说法：x2+y 2=49 ,x?y=2 , （2Xy+4=49 ,x+y=9 .其中说法正确的是 慎序号）3 .如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的,若AC=6 , BC=5 ,将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所4.如图，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形.已知每个直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为 b,斜边长为c,如图，现将这四

8、个全图等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为 24, OC=3 ,则该飞镖状图案的面积©O综合运用1 .如图是“赵爽弦图”， ABH、ABCG、3DF和ADAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果 AB=10 , EF=2 ,那么AH等于.2 .如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的.若两直角边 BC=4 , AC=6 ,现将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长倍，延长后得到下图所示的“数学风车”，则该“数学风车”所围成的总面积是 3 .在正方形 ABCD中，E是AB上一点，F是BC上

9、一点，且EF=AE+CF ,则/EDF度数为4.如图，四边形 ABCD是正方形，直线 ab, c分别通过 A、D、C三点，且 a/b/c,若a与b之间的距离是 5, b与c之间的距离是7,则正方形 ABCD的面积是5.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图1）.图2由“赵爽弦图”变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成.记图Si , S2, S3,若正方形 EFGH中正方形ABCD ,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为的边长为2,求S1+S2+S3的值.米宜秀黄黄一EC1强贵二丰朱及黄6 .已知点P为等边4ABC外一点，且/ BPC=1

10、20 ° ,试PB+PC=AP7 .已知：在 4ABC 中，/BAC=90°, AB = AC ,过点 C 作 CE _L BC 于 C , D 为 BC边上一点，且BD =CE ,连结 AD、DE .求证： /BAD =/CDE .第2讲实数平方根算术平方根立方根实敖的概念知识点1平方根平方根：如果一个数的平方等于 a,那么这个数叫做 a的平方根.也就是说，若x2 =a,则x就叫做a的平方根.一个非负数a的平方根可用符号表示为m :一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0;负数没有平方根.【典例】1 .一个正数的两个平方根分别是2a- 1与-a+2,则a的值为

11、【方法总结】本题主要考察：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，另外还需注意：0的平方根是0;负数没有平方根.2 .下列说法正确的是（）A.正数的平方根是它本身B.100的平方根是10C. - 10是100的一个平方根D. - 1的平方根是-1【方法总结】0的平方根是本题主要考察平方根的相关性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数;0;负数没有平方根.【随堂练习】1. (2018 春？！义期末)定义新运算 2*3=2X+3Y , 3*2=3X+2Y ,若 2*3=5,3*2=10 , 则3X+3Y的平方根是.2. 若一个正数a有两个平方根2x+1与-x-2,则a=.3. (2018春？都县期

12、中)已知一个正数的平方根是 a+3和2a- 15.(1)求这个正数.(2)求心1+12的平方根.知识点2算术平方根算术平方根：一个正数a有两个互为相反数的平方根，其中正的平方根叫做 a的算术平方根,可用符号表示为 ua”；0有一个平方根，就是 0, 0的算术平方根也是0,负数没有平方根，当然也没有算术平方根.【典例】1. 的算术平方根为【方法总结】此题主要考查了算术平方根， 关键是掌握算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即=a,那么这个正数 x叫做a的算术平方根.【随堂练习】1 . (2018春？阜平县期末)观察下列各式：如三二电，6手=3噌， 61=4j1，用含自然数n (

13、n>J的等式表示上述规律： .2. (2018春?t陂区期中)小丽想用一块面积为400cm2的正方形纸片，沿着边的 方向裁出一块面积为300cm2的长方形纸片.(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；(2)若使长方形的长宽之比为3: 2,小丽能用这块纸片裁处符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案，若不能，请简要说明理由.3. (2018春?t陂区期中)某市在招商引资期间，把已倒闭的机床厂租给外地某投资商，该投资商为减小固定资产投资，将原有的正方形场地改建成800平方米 的长方形场地，且其长、宽的比为 5: 2.(1)求改建后的长方形场地的长和宽为多少米？(2)如果把原来面积为90

14、0平方米的正方形场地的金属栅栏围墙全部利用，来作为新场地的长方形围墙，栅栏围墙是否够用？为什么?知识点3立方根立方根：如果一个数的立方等于a,那么这个数叫做 a的立方根，也就是说，若 x3=a,则x就叫做a的立方根.一个数a的立方根可用符号表示 怎”,其中3”叫做根指数，不能省略.前面学习的 “万”其实省略了根指数2"，即： 指也可以表示为Oi.任何一个数都有立方根，且只有一个立方根，正数的立方根为正数，负数的立方根为负数，0的立方根为0.【典例】1 .计算肥亓的结果是（）【方法总结】3此题主要考查了立方根， 正确把握立方根的定义是解题关键.若 X =a，则x就叫做a的立方 根.2

15、如果 m2=36 , n3= 64,J =5 ,则m+n x的值有 个.【方法总结】此题主要考查平方根的定义、算术平方根的定义及立方根的定义，比较简单.做题时，关键是掌握它们的定义.【随堂练习】1. （2018春我阳期中）已知M=nR不是m+3的算术平方根，N=?i叭曰是 n-2的立方根，试求M-N的值.2. （2018春?±杭县校级月考）已知x的两个平方根分别是2a- 1和a- 5,且 版彳工=3,求x+y的值.3. (2017秋？1岗区期末)如图所示的圆柱形容器的容积为 81升，它的底面直径是高的2倍.(冗取3)(1)这个圆柱形容器的底面直径为多少分米？(2)若这个圆柱形容器的两

16、个底面与侧面都是用铁皮制作的，则制作这个圆柱形容器需要铁皮多少平方分米？(不计损耗)知识点4实数1无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.注意：(1)所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数.(2)圆周率 冗及一些含冗的数是无理数.(3)不循环的无限小数是无理数.(4)有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数.2无理数的性质：设 a为有理数，b为无理数，则a+b, a-b是无理数；3实数的概念：有理数和无理数统称为实数.实数的分类：1r正整数整数10有理数« 逸整数,有限小数或无限循环小数实数! 公.正分数分数V 快分数,:正无理数 无理数II无限不循环小数、次

17、无理数,4实数与数轴上的点对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点.【典例】1.下列各数中:娓 3,12，79' 2017兀，石§, - 0.1010010001,无理数有【方法总结】本题主要考察无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数.常见的无理数形式有四种：(1)所有开方开不尽的方根都是无理数，但不是所有带根号的数都是无理数.(2)圆周率n及一些含冗的数是无理数.(3)不循环的无限小数是无理数.(4)有理数和无理数的结合，例如：设 a为有理数，b为无理数，则a+b, a-b是无理数;3.14、网、2 .把下列各数填入相应的

18、集合:0、0.131331333、(1)有理数集合;(2)无理数集合(3)整数集合(4)负实数集合【方法总结】本题主要考察了实数的分类：正整数”整数？0有理数i 夕整数,有限小数或无限循环小数实数1公.；正分数分数4伙分数,正无理数I无理数,无限不循环小数3无理数J3 .与d而最接近的整数是 【方法总结】本题考查了估算无理数的大小，ja在紧邻a2前后两个完全平方数的算数平方根之间4 .计算：-12+(- 2)/-7*(-行【方法总结】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.【随堂练习】1. (2017秋?K门期末)在数轴上，点A, B, C表示的数分别是-6, 10, 12点A以每秒3

19、个单位长度的速度向右运动，同时线段BC以每秒1个单位长度的速 度也向右运动.(1)运动前线段AB的长度为;(2)当运动时间为多长时，点 A和线段BC的中点重合？(3)试探究是否存在运动到某一时刻，线段 AB=yAC?若存在，求出所有符合条件的点A表示的数；若不存在，请说明理由.2. (2017秋7A江期末)如图，已知点 A、B是数轴上两点，。为原点，AB=12点B表示的数为4,点P、Q分别从O、B同时出发，沿数轴向不同的方向运动，点P速度为每秒1个单位，点Q速度为每秒2个单位，设运动时间为t,当PQ 的长为5时，求t的值及AP的长.3. (2017秋？ffi秀区期末)若点A、B、C在数轴上对应

20、的数分别为a、b、c满足 |a+5|+|b 1|+|c- 2|=0.(1)在数轴上是否存在点P,使得PA+PB=PC?若存在，求出点P对应的数； 若不存在，请说明理由；(2)若点A, B, C同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位 长度，每秒5个单位长度沿着数轴负方向运动.经过 t (t月1秒后，试问AB- BC的值是否会随着时间t的变化而变化？请说明理由.,.>-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6综合运用1.2的平方根是2 . ( - 4) 2的算术平方根是 .3 .计算：%他。64=4 .已知一个正数的两个平方根分别为2m-6和3+m,则(-m

21、) 2018的值为.5 .已知2a-1的平方根是 冷，3a+b- 1的平方根为则a+2b的平方根是 .6 .在看，2a - 2y, 0, 0.454454445 , - V079,需中，无理数的有一个.7 .设n为正整数,且 n< VC5< n+1 ,则n的值为8 .比夜大且比国小的整数是.9 .将下列各数填入相应的集合内.-3.14,弓，-血,-Vi, 0, 烟,兀，1010010001X .乙 有理数集合无理数集合负实数集合.10.计算： 病-2炎+|J5- 2|.11.计算:12.一个数值转换器，如图所示:(1)当输入的x为16时.输出的y值是_;(2)若输入有效的x值后，始

22、终输不出y值，请写出所有满足要求的 x的值，并说明你的理由；(3)若输出的y是犬，请写出两个满足要求的 x值： .第3讲二次根式二次根式的概念二次根式有意义的条件二次根式二次根式的性质与化简二次根式的乘除法二次根式的加减法r二次根式的化简求值知识点1二次根式的概念二次根式的概念：一般地，我们把形如 近（a>0的式子叫做二次根式.注意：4"称为二次根号；a（a>0 是一一个非负数.【典例】题干下列各式中：Jy+ 2；J（一2>；出+ 3；依+6%+ 9；杯-3 ,一定是二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.4【方法总结】本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如

23、、应（a>Q的式子叫做二次根式.根据二次根式的定义进行判断即可.【随堂练习】1. （20187!眉山市二模）当x=时，二次根式的值为0.2. （2018春?W暨市期末）当x=-2时，二次根式加二%的值是.知识点2二次根式有意义的条件二次根式有意义的条件判断二次根式有意义的条件：（1）二次根式的概念.形如 而（a>0的式子叫做二次根式.（2）二次根式中被开方数的取值范围.二次根式中的被开方数是非负数.（3）二次根式具有非负性. 而（a>0是一个非负数.【典例】1. 若代数式一有意义，则x满足的条件是 . g【方法总结】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非

24、负数是解题的关键.根据二次根式的被开方数大于或等于0可以求出x的范围.注意：当二次根式在分母上时还要考虑分母不能等于零.【随堂练习】（2018?® 南）使得代数式常有意义的x的取值范围是2. （2018联安）要使4而有意义，则实数x的取值范围是.3. （2018?长家港市模拟）若代数式 片互有意义，则x满足的条件是= 0知识点3二次根式的性质与化简二次根式的性质与化简(1)二次根式的基本性质：a>0(双重非负性).(，'a)a=a(a>0 做 a > 0)而亍二|a|二<O)(2)二次根式的化简：利用二次根式的基本性质进行化简；利用积的算术平方根的性质

25、和商的算术平方根的性质进行化简.麻=依？历(a>Qb>(0) 耳(a >P b>0)(3)化简二次根式的步骤：把被开方数分解因式；利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)都开出来；化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2.【典例】1.实践与探索(1)填空： 住=； J(T)；=；(2)观察第(1)的结果填空：当 a>时标=;当a<0时，幅=;(3)利用你总结的规律计算：Vf(X-2)2+(X-3)其中2vxv3.a(a > 0)=|a|=,进而化简求出即【方法总结】本题主要考查了二次根式的性质与化简

26、，关键是掌握可.【随堂练习】1. （2018春旅城区期末）观察下列各式:1+d 1 1 d 1 =1+1-1 2 2啥号=1+=1=1+- -=13 4 1.2请你根据上面三个等式提供的信息，猜想:（一 丁（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用 n （n为正整数）表示的等式:-,（3）利用上述规律计算： 二 （仿照上式写出过程）2. （2018春渐罗区校级期中）若有理数a和b在数轴上所表示的点分别在原点 的左边和右边，求皆也却“产的值.3. （2018春?W安县期中）已知实数 a、b在数轴上的对应点如图所示，化简7+|a+b|+Na|（b-T2）21 1.ab 0知识点4二次根式的乘除法

27、1 .最简二次根式最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号.我们把满足上述三个条件的二次根式，叫做最简二次根式.（2）被开方数中不最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式;含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a (a>。、x+y等；含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、(x+y) 2 x2+2xy+y2等.2 .二次根式的乘除法(1)积的算术平方根性质：如，5=丫0?历(a>Q b>0(2)二次根式的乘法法则：标

28、?因Zim (a>Q b>0fa v'fl(3)商的算术平方根的性质：；=-(a>Q b>0)V £痈fa(4)二次根式的除法法则：=;(a>Q b>0)规律方法总结：在使用T生质、区?而=而% (a>o b>0时一定要注意 a>Q b>0的条件限制，如果 av 0, b<0,使用该性质会使二次根式无意义，如()x "=9)3r ( - 4) K ( - 9 );同样的在使用二次根式的乘法法则，商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此.3 .分母有理化(1)分母有理化是指把分母中的根号化去.分母有理

29、化，分子、 分母常常是同时乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式.1 1 匚<11 点一矗 nv例如：二二'丫。=一； = - - , - -.=.va vcXVaa vcb'i (加代今&七+日)c-b(2)两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式.一个二次根式的有理化因式不止一个.例如：2-有的有理化因式可以是 2r弓，也可以是a (2+$)，这里的a可以是任意有理数.【典例】1 .下列二次根式中，为最简二次根式的是（）A.必匹 B.岸一声 C. .D.96【方法总结】本题考查最简二次根式，根据最简二

30、次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含有根号.判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是.另外需要注意，如果被开方数是小数（小数可以化为分数，被开方数就含有分母了），那么这样二次根式不是最简二次根式.2 .计算（1八痂?V而（a>0 =【方法总结】本题主要考查了二次根式的乘除运算,正确化简二次根式是解题关键.（1）主要考查了二次根式的乘法运算.二次根式的运算法则：乘法法则,诟二）诬；主要考查了二次根式的除法运算法则:

31、 (a>p b>0).13.已知：a=2T?b=T,贝Ua与b的关系是A. ab=1B. a+b=0C.a b=0D.a2=b2【方法总结】本题考查了分母有理化的应用,能求出每个式子的值是解此题的关键.先分母有理化求出a、b,再分别代入求出 ab、a+b、a-b、a2、b2,求出每个式子的值，即可得出选项.【随堂练习】1. (2017春所源县校级月考)计算与化简:(1)(2) 1(3) “I萌刈点4(4) 27号出(5)V2x(6) 412K 等后5 '2. (2017春洛县校级月考)计算:(D得质;(2) 4xy>(3) 6曰X(-3五)；(4) 3保 >2J

32、T而.知识点 5 二次根式的加减法 1 同类二次根式同类二次根式的定义：一般地， 把几个二次根式化为最简二次根式后， 如果它们的被开方数相同， 就把这几个二次根式叫做同类二次根式合并同类二次根式的方法：只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变【知识拓展】同类二次根式（ 1 ）同类二次根式类似于整式中的同类项（ 2 ）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同（ 3 ）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同2二次根式的加减法（ 1 ）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进

33、行合并，合并方法为系数相加减，根式不变（ 2 ）步骤： 如果有括号，根据去括号法则去掉括号 把不是最简二次根式的二次根式进行化简 合并被开方数相同的二次根式3二次根式的混合运算（ 1 ）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用学习二次 根式的混合运算应注意以下几点：与有理数的混合运算一致， 运算顺序先乘方再乘除， 最后加减，有括号的先算括号里面的.在运算中每个根式可以看做是一个 单项式；多个不同类的二次根式的和可以看作 多项式.(2)二次根式的运算结果要化为最简二次根式.(3)在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事

34、半功倍.【典例】1 .下列各式中，与、3是同类二次根式的是()A. -B.盘 7Cwl 芸D.【方法总结】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式. 根据同类二次根式的意义， 将选项中的根式化简， 找到被开方数 为3的即可.2 .计算Ng 6G卷的结果是()A.3 也-2M B.5-2C.5-书D.2V2【方法总结】本题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式， 再将被开方数相同的二次根式进行合并.合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变.3 .计算(1)衽丽,河以30)（3）12+18-遥一12（4

35、）（3+ <15）（、2一、与）【方法总结】本题考查二次根式的混合运算，记住先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质， 选择恰当的解题途径， 往往能事半功倍.（1）根据二次根式的乘法法则计算即可；（2）根据二次根式的除法法则计算即可；（3）先化简二次根式，再合并同类二次根式；（4）分别相乘展开后，合并同类二次根式.【随堂练习】1. （2018春？呆定期末）计算题（1）收-限（2）折哈-（遂+在）（旄-正）2. （2018春沈湖期末）计算：（氏+3/5-2忐）虫丘.3. （2018春世楼区期末）像（V5+2）（&-2） =1、值舟a

36、（a>。、（Vb+1） （&T） =b- 1 （b>J两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.例如，掂与内，V2+1与&-1,26+3、再与2、几-3网等都是互为有理化因式.进行二次根式计算时，利用有理 化因式，可以化去分母中的根号.请完成下列问题： （1）化简：盘;（2）计算： 熹十而号;（3）比较俪两-短砺与亚而F-圆记的大小，并说明理由.知识点6二次根式化简求值二次根式的化简求值二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后， 注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰

37、.【典例】1.已知x=3+2业，y=3 - 2,求下列各式的值：(1) x2y+xy2;- +y x【方法总结】本题考查了二次根式的化简求值：二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值.二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避X . J' hfi -3XV免互相干扰.先计算出x+y=6 , xy=1 ,再把x?y+xy2变形为xy (x+y), 一十一变形为 :口，y x 期然后利用整体代入的方法计算.【随堂练习】1. (2017春?K港区期末)(1) 2用唔芍点(2) (2V43-3V27)网用(3)已知x=2-V3,求代数式(7+46)

38、x2+ (2+V3) x+正的值.2. (2017春颇山州期末)(1)计算：(10雇 -6收+4、犀)+依；(2)已知 x=/3/2, y='/5+V2,求 x3y+xy3的值.3. (2017春分河口市期中)已知 a=V3 -V2, b=V3+V2,求 a2+3ab+b2 a+b的综合运用涧寸弓-岛环明1 .计算：?;如二2 .化简您的结果是.3 .已知x=3+2亚，y=3 22,贝U式子x2y xy2的值为.4 .求下列式子有意义的 x的取值范围1 祁 TT(1) ；(2) ;(3);好款X-2X-2(4) 口(5)也工2+ 1 ；(6) 您工1十的二方5 .计算：3V5 + 2-

39、国一22.6 .计算：（3-V7） （3+、7） +也（2-1/2）7 .已知 x=、g+。，y=M-也.求（1） x3y+xy3；（2） 3x25xy+3y2 的值.第4讲平面直角坐标系知识点1有序数对像“殂E 7号”第1列第5排”这样含有两个数的表达方式来表示一个确定的位置，其中两个数各自表示不同的含义， 我们把这种有顺序的两个数 a与b组成的数对，叫做有序数对,记作（a, b）.注意：当a#b时，（a,b刑（b , a混不同的两个有序数对.【典例】1 .如下图所示，B表示为（4, 5）, B左侧第二个人的位置是（）一 二三四五六列列列列列列一行二行'三行四行五行'六行A.

40、 (2, 5)B. (5, 2)C. (2, 2)D. (5, 5)2 .如下图所示，从 2街4巷到4街2巷，走最短的路线，共有几种走法，分别为?(巷)A. (-3, 1)B. (0, 0) C. (T, 0) D. (1, T)【方法总结】|第一题解题步骤：（1）明确本题是由行数和列数两个量来表示一个确定的位置；（2）由已知点确定行与列的前后位置：列数在前，行数在后；（3）用有序数对表示所求各点的位置.第二题，先明确2街4巷与4街2巷的具体位置为点（2, 4）和点（4, 2）；理解题意，因为走最短的路线”，所以只能向右或向下走，否则就不是最短路线.由此一一找出符合条 件的线段.【随堂练习】1

41、. （2018?北区三模）如图，象棋盘上，若帅”位于点（-1, -2）,马”位于VA2. （2018?昌平区二模）第六届北京农业嘉年华在昌平区兴寿镇草莓博览园举办，某校数学兴趣小组的同学根据数学知识将草莓博览园的游览线路进行了精简.如图，分别以正东、正北方向为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如果表示国际特色农产品馆的坐标为（-5, 0）,表示科技生活馆的点的坐标为（6, 2）,则表示多彩农业馆所在的点的坐标为（）A. (3, 5) B. (5, -4)C. ( 2, 5)D. ( 3, 3)3. （2018?栾南县二模）如图，点 A在观测点北偏东30°方向，且与观测点的距离为8千米，将

42、点A的位置记作A （8, 30）.用同样的方法将点B,点C的位置分别记作B （8, 60）, C （4, 60）,则观测点的位置应在（）系AT.巧02”.乌A.点 Oi B .点 O2 C.点 O3 D 点 O4知识点2各象限内点的坐标特征1、平面直角坐标系在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系.水平的数轴叫做横 轴或X轴，习惯上取向右方向为正方向；竖直的数轴叫做纵轴或y轴，取向上的方向为正方向；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点.N 一 iA(3,4)2、象限建立了平面直角坐标系以后，坐标平面就被两条坐标轴分成I, n,m，W四个部分,每个部分称为象限， 分别叫做第一象

43、限， 第二象限，第三象限和第四象限. 坐标轴上的点不 属于任何象限.w第二象限 5 - 第一象限4 1“3-121 F-5 -4 -3 -2 -1(5 -1 2345 x-1 -2 -用 与.1V第三象限-4 -第四象限一5 -3、点的坐标对于坐标平面内的一点 A ,过点A分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应 的数a、b分别叫做点A的横坐标和纵坐标，有序实数对(a , b )叫做点A的坐标，记作A(a,b ).如下图为A (4, 5)点坐标.坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.注意：横坐标写在纵坐标前面，中间用 ；”号隔开，再用小括号括起来.4、各象限内点的坐标特征点P(x,y盾

44、第一象限u x>0,y>0 ;点P(x , y )在第二象限=x<0,y >0;点P(x , y W第三象限 u x <0 , y <0 ;点P(x,y/第四象限u x>0,y<0.第二象瞅第一象限【典例】1 .在平面直角坐标系中，到 x轴的距离等于2个单位长度，且到y轴的距离等于3个单位长 度的点有.2 .已知点 M （a, b）,且a?b>0, a+bv0,则点 M在第 象限.【方法总结】第一题考查点的坐标以及分类讨论，点到x轴的距离等于点纵坐标的绝度值，点到y轴的距离等于点横坐标的绝对值.第二题考查判断点的横、纵坐标的符号，由于a?b

45、>0,则a、b同号，而a+b<0,可得a<0, b<0.同理当 a?b>0, a+b>0 时，可得 a>0, b>0.四个象限的符号特点分别是：第一象限（+, +）;第二象限（-，+）;第三象限（-，【随堂练习】1. （2018毯州一模）若点 A （x, y）是第二象限内的点，则下列不等式中一定成立的是（）A. x>y B. x+y<0 C. x - y<0 D. xy>02. （2018凋村区一模）若m是任意实数，则点P （m-1, m+2） 一定不在（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. （2018

46、府洲区模拟）平面直角坐标系中，若点 A （a, - b）在第三象限内，则点B （b, a）所在的象限是（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限知识点3坐标轴及坐标轴的角平分线上点的坐标特征1、坐标轴上点的坐标特征：点P（x,y妊x轴上。y=0, x为任意实数；点P（x,y庇y轴上。x=0 , y为任意实数；点P（x, y即在x轴上，又在y轴上u x=0, y=0 ,即点P的坐标为（0,0）.2、两坐标轴夹角平分线上点的坐标特征：点P （x, y施第一、三象限夹角白角平分线上之x = y ;点P（x,y而第二、四象限夹角白角平分线上之x+y=0.【典例】1 .如果点P (a, b)

47、在x轴上，那么点 Q (ab, - 1)在()A. y轴的正半轴上B. y轴的负半轴上C. x轴的正半轴上D. x轴的负半轴上2.已知点P的坐标(2-a, 3a+6),且点P在二四象限角平分线上，则点P的坐标是 . 【答案】(6, -6)【解析】解：二点P的坐标(2-a, 3a+6),且点P在二四象限角平分线上，(2 - a) + (3a+6) =0,解得a= - 4,，横坐标：2 - a=2 - (- 4) =6,点P的坐标为(6, - 6).故答案为：(6, - 6).【方法总结】第一题主要考查了点在坐标轴上时点的坐标特点：点在x轴上时，纵坐标为 0;点在y轴上时，横坐标为 0.第二题考查

48、坐标轴夹角平分线上点的坐标特征，第二、四象限角平分线上的点的横坐标与纵坐标互为相反数.【随堂练习】1. (2018春耀宁期末)已知点P (a, 1)不在第一象限，则点 Q (0, -a)在( )A. x轴正半轴上B. x轴负半轴上C. y轴正半轴或原点上D. y轴负半轴上2. (2018春?¥定县期末)点P (m+3, m+1)在直角坐标系的x轴上，则点P 的坐标为()A. (0, -2)B. (2, 0) C. (4, 0) D. (0, -4)3. (2018春刎城区期末)若P (m+3, m-2)是x轴上的点，则m的值是()A. 2 B. 3 C. - 2 D. - 3知识点4

49、规律性-点的坐标在平面直角坐标系内找点的规律：1、尽可能多的找出点的坐标，已知的点越多，越好找规律；2、点的横坐标和纵坐标的规律一般不同，需要分别考虑；3、要注意所求点的横、纵坐标的正负.【典例】1.在平面直角坐标系 xOy中，点A从原点出发沿x轴正向移动1个单位长度到Ai,逆时针 旋转90后前进2个单位长度到达 A2,逆时针旋转90后前进3个单位长度到达 A3,，逆 时针旋转90后前进2018个单位长度到达点 A2018,则点A2018的坐标为.【方法总结】此题主要考查了点的变化规律，根据题意得出各点坐标，然后分析每个象限内点的坐标规律，即可判断点 A2018在第一象限；再观察第一象限内的点

50、A2 (1, 2), A6 (3, 4), A10(5, 6)的规律，发现第一象限内的点An的横坐标为n ,纵坐标为n±2M 2,所以第一象24 nn 2 .限内点A的坐标为,万，一I，所以点A2018点的坐标为(1009, 1010).【随堂练习】1. (2018?维坊二模)对点(X, y)的一次操作变换记为P1 (x, y),定义其变换 法则如下：P1(xy)= (x+y, x-y):且规定Pn(x,y)=P1(Pn-1(x, y) (n为大于 1 的整数)，如 P1 (1, 2) = (3, - 1), P2 (1, 2) =P1 (Pi (1, 2) =P1 (3, - 1)

51、 = (2, 4), P3 (1, 2) =P1 (P2 (1, 2) =P1 (2, 4) = (6, -2),则 P2018 (1, -1) = ()A.(0,21009)B.(0,21008)C.(21008,-21008)D,(21°°9,- 21°°9)2. (2018春渐洲区期末)如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺 序按图中“一方向排列，如(1, 0), (2, 0), (2, 1), (3, 1), (3, 0), (3, -1)根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为()A. (14, 0)B. (14, T) C. (14

52、, 1) D. (14, 2)3. （2018春？散山县期末）如图，在平面直角坐标系中，A （1, 1）, B （- 1, 1）,C （ - 1, - 2） , D （1, -2）,把一条长为2018个单位长度且没有弹性的细线（线 的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按A-B-C D-A的规律绕在四 边形ABCD的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（） ADA. （1, 0） B. （1, -2） C. （1, - 1） D. （0, -2）综合运用1 .如果用（7, 3）表示七年级三班，则（9, 6）表示2 .如下图所示，A表示三经路与一纬路的十字路口，B表示一经路与三纬路的十字路口，

53、如果用（3, 1） 一（3, 2） 一（3, 3） 一（2, 3） 一（1, 3）表示A到B的一条路线，用同样的方式写出另外一条由 A到B的一条路线：（3,1） 一（）一（）一（）一 （1,3）.（答案不唯一）路路路路3 .已知点A（3a, 2b）在x轴上万，y轴的左边，则点A到x轴、y轴的距离分别为 .4 .已知点（a, b）在笫二象限.则点（ab, a- b）在第 象限.5 .在平面直角坐标系中， 横坐标、纵坐标都是整数的点称为整点，观察图中每一个正方形 （实线）四条边上的整点的个数，请你猜测出，从里向外第 41个正方形（实线）四条边上的整 点个数共有 个.6 .如图，在直角坐标系中，一只

54、蚂蚁从点P （0, 1）出发，沿着图示折线方向移动，第一次到达点（1,1）,第二次达到点（1, 0）,第三次达到点（1, - 1）,第四次达到点（2,-1）,，按照这样的规律，第 2018次到达点的坐标应为 .7.请写出点A, B, C, D,的坐标.8 .已知点P的坐标为(2m-1, m+7).(1)若点P在x轴上，试求m的值；(2)若点P在二四象限的角平分线上，求 m的值;9 .已知：P (4x, x-3)在平面直角坐标系中.(1)若点P在第三象限的角平分线上，求 x的值；(2)若点P在第四象限，且到两坐标轴的距离之和为9,求x的值.10 .已知平面直角坐标中有一点M (2-a, 3a+6),点M到两坐标轴的距离相等，求 M的坐标.第5讲坐标方法的简单应用坐标确定位置 坐标与图形性质 坐标方法的简单应用坐标与图形变换-平移 坐标与图形变换-对称 :坐标与图形变换-旋转知识点1坐标确定位置有了平面直角坐标系，