第二讲偏导数

1、第二讲 偏导数授课题目：§7.2 偏导数教学目的与要求：1、深刻理解偏导数的概念；2、会求多元函数的一阶偏导数和高阶偏导数。教学重点与难点：重点：二元函数的偏导数概念；难点：求函数的偏导数讲授内容：一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。 对于二元函数z=f(x, y), 如果只有自变量x变化, 而自变量y固定, 这时它就是x的一元函数, 这函数对x的导数, 就称为二元函数z=f(x, y)对于x的偏导数. 定义 设函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的某一邻域内有定义, 当y固定在y0而x在x0处有增量Dx时, 相应地函数有增量f(x0+Dx, y0)-f(x0,

2、 y0). 如果极限 存在, 则称此极限为函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对x的偏导数, 记作, , , 或例如. 类似地, 函数z=f(x, y)在点(x0, y0)处对y 的偏导数定义为, 记作 , , , 或fy(x0, y0). 偏导函数：如果函数z=f(x, y)在区域D内每一点(x, y)处对x的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x、y的函数, 它就称为函数z=f(x, y)对自变量的偏导函数, 记作, , , 或. 类似地, 可定义函数z=f(x, y)对y的偏导函数, 记为, , zy , 或. 求时, 只要把y暂时看作常量而对x求导数；求时，只要把x暂时看作常量而

3、对y求导数 偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f(x, y, z)在点(x, y, z)处对x的偏导数定义为,其中(x, y, z)是函数u=f(x, y, z)的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求z=的偏导数.解 求时，把y看作常量，求时，把x看作常量，因此,.例2 求在点(1, 3)处的偏导数解 先求偏导函数, ., . 例3 设, 求证: . 证 , . . 例4 已知理想气体的状态方程为pV=RT(R为常数), 求证：. 证 因为 , ; , ; , ; 所以 例4说明偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商例5 二元函数在（0

4、，0）可导，因为，所以 ，但函数在点(0, 0)并不连续 由例5可知，对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 二元函数z=f(x, y)在点(x0, y0)的偏导数的几何意义：fx(x0, y0)是过曲面z=f(x, y)上点M0(x0, y0, f(x0, y0)的曲线在点M0处的切线Tx对x轴的斜率. fy(x0, y0)过曲面z=f(x, y)上点M0(x0, y0, f(x0, y0)的曲线在点M0处的切线Ty对y轴的斜率 课堂练习：习题82：1（单）二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念设函数z=f(x, y)在区域D内具有偏导数, , 那么在

5、D内fx(x, y)、fy(x, y)都是x, y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z=f(x, y)的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z=f(x, y)在区域D内的偏导数fx(x, y)、fy(x, y)也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z=f(x, y)的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数, , .其中, 称为混合偏导数同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 例6求z=x3-3xy3的.二阶偏导数 解 , ; , ; . 定理 如果函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续, 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等. 类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数. 例7 验证函数满足方程. 证 因为, 所以, ,.因此 . 例