初三数学几何动点题及方法

1、专题讲解几何动点为等腰三角形为何值时，）试探究：（的值时，求）当（秒）。运动。设运动的时间为点个单位长度的速度向终以每秒点出发沿线段同时从运动；动点点个单位长度的速度向终以每秒点出发沿线段从，动点梯形的高为，中，【例一】如图，在梯形MNCttABMNtDCDCNCBCBMBCDCADBCADABCD2/11241053/【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，【思路分析】解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，来说，都有一

2、个由动转静的瞬间，就本题而言，M M，N N是在动，意是在动，意味着味着BM,MCBM,MC以及以及DN,NCDN,NC都是变化的。但是我们发现，和这些动态的都是变化的。但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件条件密切相关的条件DC,BCDC,BC长度都是给定的，而且动态条件之间也长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。所以当题中设定是有关系的。所以当题中设定MN/ABMN/AB时，就变成了一个静止问时，就变成了一个静止问题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。题。由此，从这些条件出发，列出方程，自然得出结果。的式子表示）的长（用含求线段，设所在的直线相交于所在的直线与线段

3、的边）若正方形（为什么？）中的结论是否成立，上运动，（在线段，如图二，且点）如果（结论。位置关系，并证明你的之间的与上运动。试判断线段在线段，如图一，且点）如果（。的右侧作正方形为一边且在，以连接上一动点，射线xCPxCDBCCBBC,324ACPCFDEADEF31BCDACAB2BDCFBCDACAB1ADEFADADADBC不重合）为C、B（与点D点45=A中，A】在2【例【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静【思路分析】本题和上题有所不同，上一题会给出一个条件使得动点静止，而本题并未给出那个止，而本题并未给出那个“静止点静止点”，所以需要我们去分析由，所以需要我

4、们去分析由D D运动产生的运动产生的变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂变化图形当中，什么条件是不动的。由题我们发现，正方形中四条边的垂直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。直关系是不动的，于是利用角度的互余关系进行传递，就可以得解。GABCDEF【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简【思路分析】这一问是典型的从特殊到一般的问法，那么思路很简单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找单，就是从一般中构筑一个特殊的条件就行，于是我们和上题一样找ACAC的垂线，就可以变成第一问的条件，然后一样求解。的垂线，就可

5、以变成第一问的条件，然后一样求解。【思路分析】这一问有点棘手，【思路分析】这一问有点棘手，D D在在BCBC之间运动和它在之间运动和它在BCBC延长线上运动时延长线上运动时的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是的位置是不一样的，所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X4+X还是还是4-X4-X。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出。分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.CP.的形状，并说明理由。最小值时，判断）中，当）在（的函数关系式；与，求，设保持不变。上移动，且和分别是在线段、）动点（是等腰梯形；）求证：梯形（是等边三角形的中点是，点，中，

6、】如图，在梯形【例PQCyxyyMQxPCMPQMCBCQPABCDMBCADMBCADBCADABCD23602142/3ADCBPMQ60【思路分析】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重【思路分析】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角点还是在考察几何方面。第一问纯静态问题，自不必说，只要证两边的三角形全等就可以了。第二问和例形全等就可以了。第二问和例1 1一样是双动点问题，所以就需要研究在一样是双动点问题，所以就需要研究在P,QP,Q运运动过程中什么东西是不变的。题目给定动过程中什么东西是

7、不变的。题目给定MPQ=60MPQ=60，这个度数的意义在哪，这个度数的意义在哪里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来里？其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来. .因为最终求两因为最终求两条线段的关系条线段的关系, ,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系. .怎么证相怎么证相似三角形呢似三角形呢? ? 当然是利用角度咯当然是利用角度咯. .于是就有了思路于是就有了思路. .ADCBPMQ60【思路分析】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问所得【思路分析】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题。由第二问

8、所得的二次函数，很轻易就可以求出当的二次函数，很轻易就可以求出当X X取对称轴的值时取对称轴的值时Y Y有最小值。接下来就有最小值。接下来就变成了变成了“给定给定PC=2PC=2，求，求PQCPQC形状形状”的问题了。由已知的的问题了。由已知的BC=4BC=4，自然看出，自然看出P P是中点，于是问题轻松求解。是中点，于是问题轻松求解。ADCBPMQ60以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现以上三类题目都是动点问题，这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态问题去求特殊条件，例如某边相等，某角固定时，将动态问题化为静态

9、问题去求解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不解。如果没有特殊条件，那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢变的。当动的不是点，而是一些具体的图形时，思路是不是一样呢? ?接下接下来我们看另外两道题来我们看另外两道题. .？）中的结论是否仍成立问（段，所示，再连接相应的线点旋转任意角度，如图绕中的）将图（并加以证明；生变化？写出你的猜想）中得到的结论是否发，你在（，连接，中点所示，取，如图点逆时针旋转绕中的）将图（的数量关系；与）直接写出线段（。，中点，连接为，连接，于交作上一点，过为对角线中，】已知正方形【

10、例131312451214BBEFCGEGGDFBBEFCGEGCGEGDFGDFFBCBDEFEBDEABCD【思路分析】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转【思路分析】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题。从旋转4545到到旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边旋转任意角度，要求考生讨论其中的不动关系。第一问自不必说，两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将的直角三角形的斜边中线自然相等。第二问将BEFBEF旋转旋转4545之后，很多考生就之后，很多考生就想不到思路了。事实上，本题的核心条件就是想不到思路了。事实上，本题的核心条件

11、就是G G是中点，中点往往意味着一大票是中点，中点往往意味着一大票的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。的全等关系，如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在。连接连接AGAG之后，抛开其他条件，单看之后，抛开其他条件，单看G G点所在的四边形点所在的四边形ADFEADFE，我们会发现这是一个，我们会发现这是一个梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过梯形，于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法，自然想到过G G点做点做AD,EFAD,EF的的垂线。于是两个全等的三角形出现了。垂线。于是两个全等的三角形出现了。【思路分析】如果【思路分析

12、】如果BEFBEF任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在任意旋转，哪些量在变化，哪些量不变呢？在BEFBEF的的旋转过程中，始终不变的依然是旋转过程中，始终不变的依然是G G点是点是FDFD的中点。可以延长一倍的中点。可以延长一倍EGEG到到H H，从而构造，从而构造一个和一个和EFGEFG全等的三角形，利用全等的三角形，利用BE=EFBE=EF这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形这一条件将全等过渡。要想办法证明三角形ECHECH是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形是一个等腰直角三角形，就需要证明三角形EBCEBC和三角形和三角形CDHCDH全等，利用角度变全等，利用角度变换关系就可以得

13、证了。换关系就可以得证了。ADBCEFGH的关系式。与公共部分的面积翻折后与正方形不重合），请写出与点时）当（的值；时，求）当（的长；时，求）当（处。落在翻折，点沿直线，将与点射线交上一个动点，连接是射线点的边长是】已知正方形【例xyABCDABEECxCEBEDABCEBECFCEBEBBAEABEFDCAEBCEcmABCD(3sin2211,65图1【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也【思路分析】动态问题未必只有点的平移，图形的旋转，翻折（就是轴对称）也是一大热点。第一问给出比例为是一大热点。第一问给出比例为1 1，第二问比例为，第二问比例为2 2，第三

14、问比例任意，所以也是，第三问比例任意，所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。你需要仔细把握翻折过程中哪些条件一道很明显的从一般到特殊的递进式题目。你需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，发生了变化，哪些条件没有发生变化。一般说来，翻折中，角，边都是不变的，所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系，所以要利用这些来获得线段之间的比例关系。间的比例关系。尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，尤其注意的是，本题中给定的比例都是有两重情况的，E E在在

15、BCBC上和上和E E在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏。在延长线上都是可能的，所以需要分类讨论，不要遗漏。图2【总结】【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出至整体图形动这么几种可能的方式。动态几何问题往往作为压轴题来出, ,所以所以难度不言而喻难度不言而喻, ,但是希望考生拿到题以后不要慌张但是希望考生拿到题以后不要慌张, ,因为无论是题目以哪种形因为无论是题目以哪种形态出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析态

16、出现，始终把握的都是在变化过程中那些不变的量。只要条分缕析, ,一个个一个个将条件抽出来将条件抽出来, ,将大问题化成若干个小问题去解决将大问题化成若干个小问题去解决, ,就很轻松了就很轻松了. .总结这种问题总结这种问题的一般思路如下：的一般思路如下：第一、仔细读题，第一、仔细读题，分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的分析给定条件中那些量是运动的，哪些量是不动的。针对。针对运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨运动的量，要分析它是如何运动的，运动过程是否需要分段考虑，分类讨论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种论。针对不动的量，要分析它们和动量之间可能有什么关系，如何建立这种关系。关系。第二、第二、画出图形，进行分析画出图形，进行分析，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目，尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过比例，相等等关系建立变量间间各个变量的关系。如果没有静止状态，通过