概率统计总复习

1、实用标准文档第一章随机事件及其概率一、事件的关系与运算AB=A-B=A-ABA 一 B = AB,AB = A B二、概率的统计定义，古典概型概率的性质k.,频率 kN ， p(A) = pN古典概型的特征：(1)有限性；(2)等可能性概率的性质：(1) 0 <P(A) <1(2) P(C)=1, P(9)=0,反之不成立(3) P(AuB) =P(A)+P(B)P(AB)特殊情况是什么?P(A 一. A); P(A) P(A): 1, P(A)= 1- P(A)(4) P(AB) =P(A) P(AB)有什么特例？ 三、条件概率、乘法公式、事件的独立性精彩文案P(A|B)P(AB

2、)P(B)P(B| A)=P(AB)P(A)P(AB) =P(A)P(B | A)= P(B)P(A|B)P(ABC)= P(A)P(B| A)P(C | AB)若A与B互相不产生影响，则称 A与B相互独立。A与B独立仁P(AB) = P(A)P(B) 条件概率等于无条件概率。三个事件独立的公式 n个事件独立的公式独立的条件下：P(AA2.A) =P(A)P(A2)P(An)P(AA2.A) = P(A)P(A2)P(An)PClMUJAJ =1 -PlAA.-An) = 1-P(A)P(A2)P(An)独立试验序列概型 C：pk(1 p)n"，k =0,1,2,., n称为贝努里公

3、式四、全概率公式与贝叶斯公式B,B2,.,Bn是完备事件组，且均有正概率，则对任一事件A ,有nP(A)C P(Bi)P(A|Bi) 全概率公式 i 1P(Bj |A) = nP(Bj)P(A| Bj)贝叶斯公式 又称为逆概公式:P(Bi)P(A|Bi)i 1第二章随机变量及其概率分布f离散型、随机变量,非离散型连续型非连续型(1)0< F(x) <1(2)F (x)是x得单调不减函数分布函数 F (x) =P(X Ex)的性质(3) F(-二)= 0,F(二)=1(4)F(x)关于x右连续二、离散型随机变量如果随机变量的所有可能取值为有限个或至多可列个，则称X为离散型随机变量。常

4、见的离散型随机变量有P(X =为)=R,i =1,2,-0'、' Pi =1F(x)= t Pkxk9101 分布 X b(1, p) E(X) = pVar(X) = p(1 - p) < 4二项分布 X b(n, p) P(X =x)=C：px(1 pV ( x = 0,1,2,., n)E(X) =npVar(X) = npqxPoission 分布 X P(九)P(X = x) = e x = 0,1,2,.x!E(X) = Var(X) = 当n充分大，p又很小时，二项分布以Poission分布为极限x_xn4 . (np) _Ynp)P(X =x) =Cnp

5、(1-p)e ) x =0,1,2,.x!三、连续型随机变量-beX p(x)(1) p(x)之0(2) Z p(x)dx=1-cdxF(x) = .(t)出Ua,bExp(')N(,二 2)N(0,1)XGa(：,)XBe(a,b)p(x)= F (x)p(x) = (ba 0/ 、 a bE(X)=2e-' p(x)=01E(X)=一其它x> 0,、1p(x)：e.2 二二p(x)=2 x"2(xj2满足中（x） 中（-x） =10x< ax-aa < x< b b-aI1其它F(x)=(b - a)2Var(X)二三1-e-'x

6、F(x)=01Var(X)-<x< +°c )Var(X)-;2力（x）一x 1_t2二万e dt或中（x） = 1 -中（-x）x> 0x .0X N(N,。2)那么 Yr 7 ax：Je-x p(x)=-(、)0aE(X) 一X - 1N(0,1) ax> 0x -0Var(X)=(a b) x、(1_x)b(Xx< 1 p(x) =3)(b)其它/ 、 aE(X)= a b四、随机变量的函数的分布X是随机变量，Y =g（X）是随机变量的函数,它的分布称为随机变量函数的分布O离散型比较容易；连续型主要掌握分布函数法。特别是：F （X）是某个连续型随机

7、变量的分布函数,Y = F（X） 一定服从（0, 1）上的均匀分布。（非常重要）五、随机变量的数字特征仁 XkPk E(X)=/p(x)dx数学期望 E(X).2.二.XkPk_2kE(X I 注 2x p(x)dx方差Var(X)或D(X)标准差。X或WX)原点矩k=E(Xk) 中心矩 vk = E(XEX)k变异系数呼卓3偏度峰度二=V3= E(X - EX)-1 - z3/2 1/ -3/2(V2)Var(X)一一 4一：2 学-3=E(X-EX 一3V2Var(X)中位数、分位数以上数字特征的概率意义！Chebyshev 不等式：Var(X)P X - EX ><2zP X

8、 - EX < £ >1 Va；X)第三章多维随机变量、联合分布、边缘分布与独立性P(X =xi,Y=yj) = Pj,i =1,2,；j =1,2,(1) Pj >0(2) ££ Pj=1Pl = " Pj, i =1,2，Pj 八 Pj , j =1,2,X与Y相互独立U Pij = PiJ-P_ji, j =1,2,.对所有i,j都成立分布函数 F(x,y) =P(X < x,Y < y)FX(x)=P(X Fx)- P(X Fx,Y F 二)二 F(x,二)FY(y) =P(Y wy) =P(X 三二,Y wy) =

9、 F(二，y)X与Y相互独立U F(x, y) = Fx (x)Fy( y)对所有x, y都成立。(2) p(x,y)dxdy = 1联合密度函数 p(x, y) (1) p(x, y)之0x yF (x, y) = p(u,v)dudv一 2F (x, y) p(x,y)二tx- y40Px(x): i-f (x, y)dyPY(y) = i-f (x,y)dxX与Y相互独立u p(x,y)= pX (x) L pY(y)对所有x, y都成立。多项分布二维均匀分布a,bMc,d上的均匀分布 x2 , y2 _r2上的均匀分布I它们的边缘分布、独立性J二维正态分布(X,Y) N(1,2,二2,

10、二2,：)x_，1 y-2 y-2 2_1)( _ 2) ( _ 2)2p(x, y)=2二二 1二 21px(x)1后 1e(x7)2心,XN(、,Q12)E(X) = L(x2)21, opy(Y) = i- e ， Y N(2,a2),2 二二2E(Y)=22Var(X) =42Var(Y)=二；Cov(X,Y) - ：；一1二2：XY =：、随机向量函数的分布Fx (x),密度函数为最大值与最小值的分布： X1,X2，Xn独立同分布，分布函数为px(x) o 求 max(X1，X2，Xn)min(X1，X2，Xn)的分布。令 Y = max(X1, X2，Xn)Z = min(X1,X

11、2，Xn)FyW) =Fx(y)nFz(z) =1 - 1-Fx(z)npY(y) =nFx(y)gpx(y)Pz (z) =n1-Fx (z)npx(z)用在具体分布之上，特别是 U0,1之上，应该如何处理？卷积公式：XP(，i), YP(k)且X,Y相互独立，则X Y P"2)X b(m, p), Y b(n, p)且 X ,Y 相互独立，则X Y b(m n, p)X Px(x) , Y PY(y)且X,Y相互独立，则J| ! Px(x)Py(z-x)dxZ = X . Y pz (Z)二三这一一卷积公式Px(z-y)pY(y)dyL -coX N(屿,52) , YN(岂2,

12、仃2)且X,Y相互独立,则X Y N(1 2,。；二2)三、多维随机变量的特征数E(X), E(X2), E(Y), E(Y2), E(XY)| H g(Xi,yj)Pj i jEg(X,Y)=-j_g(x, y) p(x,y)dxdy协方差：Cov(X,Y) =E(XY) -E(X)E(Y)相关系数:：XYCov(X,Y).D(XL 函= Corr(X,Y)；相关系数的概率意义D(X -Y)=D(X) D(Y) -2Cov(X,Y)几个等价的关系式： Var(X _Y) =Var(X) Var(Y)：= Cov(X,Y) =0u E(XY) =E(X)E(Y) u PXY=0u X 与Y不相

13、关四、中心极限定理(1)X1,X2，Xn独立同分布，EXk =N,DXk =b2,k =1,2,，当n充分大时,nn'、. Xk -nJ'、Xk N(n,n；，)= 2 N(0,1)k=1, n 二XB(n, p),当n充分大时(n 230 ),那么X N(np,npq)= X np N (0,1)npq应用中心极限定理的关键是构造独立和。第四章统计量及其分布、总体、样本、统计量研究对象的全体称为总体，总体就是一个随机变量X。Xi,X2，Xn是取自总体 X的样本，它满足两个条件：Xi,X2，Xn相互独立;Xi，X2，Xn均与X具有相同的分布。样本的联合分布与经验分布函数统计量是

14、样本的函数，它不含任何未知参数T =T(X，X2，,Xn),，、，口一1n常见的统计量：样本均值X 1' Xin y1 n _样本方差S2 = x (Xi -X)2n -1 i 二样本标准差 S(Xi -X)2,n -1 y 1 n样本的k阶原点矩Ak =-H Xikn i 1样本的k阶中心矩1 .n- kBk (Xi -X)n i 1次序统计量 X(1)=minX1,X2,.,XnX(m产maxXX2，Xn样本极差R = X(n)_X样本中位数md, Xn1n为奇数n为偶数上、下四分位数 Q1 , Q3X(1), Q, Q3, md , X(n)之间的关系，箱线图二、统计学中的几个重

15、要的分布及其构造1,正态分布与标准正态分布2、N(N,。)，N(0,1)X,X2，Xn独立同分布，(n之30)大样本n一 2“ Xk N(n,n二)k 4若Xi, X2，Xn相互独立，且均服从标准正态分布N (0,1),则X =X12+X；+X；服从自由度为n的72分布。特例：X N(0,1), Y N(0,1),且X,Y相互独立，那么X2十Y2服从自由度为2的72分布 炉(2),也就是九=1的指数分布。23, t分布X N(0,1) , Y 2 ,(n),且X,Y相互独立，则Xt =-/t(n)。、Y/n22(n), Y2 ,(m),且X,Y相互独立，则L X/nF =Y /m1 F (n,

16、 m) , F(m, n)。三、抽样分布(正态总体的抽样分布)X1, X2，,Xn是来自正态总体 N(注尸2)的样本,2X , S2分别为样本均值与样本方差,则:一 2X N(,一) nX - :N(0,1)二 / 一 nX -X_t(n-1) s/ . n(n -1)S22Lr (n-1)X1, X2，,Xn是来自正态总体X N(匕。12)的样本，X , S2分别为样本均值与样本方差；Y,Y2,Ym是来自正态总体 Y N(R2尸2)的样本，Y, S；分别为样本均值与样本方差。则:22 ,C5"dCTo %X Y N(1 - J2,1) nm22。1 +。2n nmN(0,1);X

17、-Y (1 2) = t(n m - 2)c 11SwtSw =(n -1)S2 (m -1)S2 .S12/S；/2：1- F(n-1,m-1)二 2第五章参数估计估计量、估计值、点估计、区间估计 一、点估计的方法与评价估计量的标准1,矩估计 用样本矩代替总体矩,用样本矩的函数代替总体矩的同一个函数，从而达到对总体参数估计的目的，这种方法称为矩估计法。21 nE(X)的矩估计为X ； Var(X)的矩估计为S； = £ (Xi n y-X)22,极大似然估计法(1)似然函数L(4x2，,xn;81,2,8m)，取对数 ln L ,构造对数似然方程并求解f ln L1ln L得出极大

18、似然估计 用鼠,碌。cQ- m(2)不能通过求导得出的极大似然估计的方法3、估计量的评价标准Var(X)n无偏性、有效性、相合性、均方误差最小样本均值X是总体均值EX的无偏估计量 E(X) = E(X) Var(X) =样本方差S2是总体方差Var(X)的无偏估计量 E(S2)=Var(X)这些性能都是特别好的。、区间估计区间估计的基本概念，置信区间，置信上、下限，置信度，置信区间的概率意义，枢轴 量在什么条件下，求正态总体参数的估计？重要的是选择枢轴量。1,正态总体X N(地仃2),(1)方差仃2已知的条件下,R的1 -a置信区间为(2)方差仃2未知的条件下，R的1c(置信区间为X 

19、7;tiq/2(n 1)子(3)均值N未知的条件下,2仃的1-口置信区间为(n-1)S2 (n -1)S2、1_-/2(n -1) a/2( n -1) J2, 两个正态总体 X N(N1,<T12) , YN(N2,。；)，22(1)万差5 ,仃2已知的条件下，N1 内的1 a置信区间为(X -Y)-Ui(2)方差52,仃22未知但相等的条件下,/一心的1 a置信区间为出由心/式山&:；Sw 二(n-1)§2 (m-1)S2 n m - 2_ 2(3)均值因，也未知的条件下，巴2的1-Ct置信区间为二 2鲁心1副7)Fi =2(m -1,n -1)S12I1S12-2

20、，2S2 F1 _?/2( n -1,m -1) S23,单侧置信区间要注意区分4,比率的区间估计，大样本场合下p近似置信区间222a=n+u&2, b =(2nX+u奇2)，c = nX-b -b2 -4ac-bb2 -4acp"20.二 20p的置信水平为1a的置信区间为Pl，6。第六章假设检验、假设检验的基本原理与步骤小概率原理，原假设与备择假设，检验统计量，显著性水平，拒绝域，两类错误1,提出原假设与备择假设；2,选择检验统计量（类似于区间估计中的枢轴量）统计量所服从的分布；3,根据给定的显著性水平，确定拒绝域；4,将样本数据代入统计量的值，作出结论。二，正态总体参数

21、的假设检验1, U检验（1）单总体检验均值（2）两总体检验均值2, t检验（1）单总体检验均值（2）两总体检验均值3, 72检验单总体检验方差4, F检验 两总体检验方差验和双边检验5,初步了解比率的检验（大样本条件下）。,并提出当原假设成立的条件下，检验方差已知方差已知方差未知方差未知但相等（具有方差齐性）一般来说均值未知一般来说均值未知。其中包括单边检三、假设检验的 p值假设检验的p值是以样本观测值为边界设定拒绝域（单侧或双侧要根据假设）计量在拒绝域内取值的概率O四、72拟合优度检验非参数检验总体为离散型的包括不含未知参数和含有未知参数两种 总体为连续性的，带有未知参数的列联表的独立性检验

22、第七章 方差分析与回归分析一、单因子方差分析方差分析是用来检验多个正态总体在具有方差齐性的条件下，均值是否全部相等的一种方法。统计模型yj =5 +陶，i =1,2，r； j =1,2，甲I各*相互独立，且均值服从正态分布 jN(0, - 2)H0 ：匕=2 = .='r H :口 1,2,r不全相等yij =+ aii =1,2,., r; j =1,2,., mi数据结构式r-m miai =0效应约束条件1 3产j 50,仃2）且各句相互独立误差的假定H 0: a = a? =. = ar = 0Hi:1e2,，ar不全为0r mir mi_22St =、( (yj -y)小、(% -yyy)i 4 j 4i 4 j 4r mr_2_ 2=- -