2019版一轮优化探究理数(苏教版)练习：第八章第五节空间向量及其运算含解析

1、一、填空题1若 a= (2x,1,3), b= (1, 2y9)，且 a/ b,则 x=, y=2x 13解析：若a / b,贝u彳二2y= 3，13-x= 6,，= 2 答案：12. 在下列命题中： 若向量a, b共线，则向量a, b所在的直线平行； 若三个向量a, b, c两两共面，则向量a, b, c共面； 已知空间的三个向量a, b, c,则对于空间的任意一个向量 p总存在实数x, y, z使得 p = xa + yb+ zc.其中正确命题的个数是 .解析：a与b共线，a, b所在直线也可能重合，故不正确；三个向量 a, b, c 中任两个一定共面，但三个却不一定共面，故不正确；只有当

2、 a, b, c不共面 时，空间任意一向量p才能表示为p = x a + y b + z c,故不正确，综上可知四 个命题中正确的个数为0.答案：03. 若a, b, c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是a, a+ b, a b b, a+ b, a bc, a+ b, a b a+ b, a b, a + 2b解析：若c、a+ b、a b共面，贝U c= Xa+ b) + m(a b) = ( + m)a+ ( m)b,则a、b、c为共面向量，此与a, b, c为空间向量的一组基底矛盾，故c, a+ b,a b可构成空间向量的一组基底.答案： 1 4. 已知空间四边形 A

3、BCD中，M、G分别为BC、CD的中点，则AB+q(BD+ BC)等于.解析：如图所示：17777772(BD + BC) = BG, AB+ BG=AG.答案：AG 1 5.正方体 ABCD-AiBiCiDi 的棱长为 a,点 M 在ACi上且AM = qMCi, N 为 BiB的中点，贝U |MN|为.解析：以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,a则 A(a,O,O), Ci(0，a，a)，N(a, a，2).设 M(x, y, z),点 M 在ACi上且AM = MCi,i (x a, y, z) = 2(x, a y, a z),2 2 a 2 a a 2匸十但一3a) +

4、 但一3)+(2 3)答案：专a686.若向量a= （1,入2）, b= （2, 1,2），且a与b的夹角的余弦值为9,贝入等8解析：由已知得rib厂,5+b 9, 8 .5+ f = 3(6 A，解得 A 2 或后 55.答案：2或557已知A(- 1,- 2,6), B(1,2, 6), O为坐标原点，则向量OA与OB的夹角是解析：设OA与OB的夹角为0则答案：ncos 0 1 知n.8已知ABCD为平行四边形，且的坐标为.A(4,1,3), B(2, 5,1), C(3,7, 5),则点 D解析：设D(x, y, z),由题设知,AB= ( 2, 6, 2),DC (3 x,7 y, 5

5、 z),x 5，所以y13,lz 3p x 2又AB DC，所以 7 y 6-5 z 2故 D(5,13, 3).答案：(5,13, 3) 9.在空间四边形 ABCD 中，AB CD + BC AD + CA BD 解析：设AB b, AC c, AD d,则CD d c, BD d b, BC c b.原式一b d c) + d (c b) c(d b) 0.答案：0、解答题10. 已知向量 a (1, 3,2), b ( 2,1,1), O 为原点，点 A( 3, 1,4), B( 2,2,2).(1)求 |2a+ b|;(2)在直线AB上是否存在一点E,使得OE丄b?解析：(1)2a+

6、b (2, 6,4)+ ( 2,1,1) (0, 5,5), 故|2a+ b| ,02+ 5 2+ 52 5 2.(2)假设存在一点E满足题意，即AE tAB(t丰0).0E = 0A+AE = OA + tAB= (- 3, 1,4) +1(11, 2) = ( 3+1, 1 1,42t) ff9若OE丄 b,则 OEb = 0,所以一2( 3 +1) + ( 1 t)+ (4 2t) = 0,解得 t=5，因此存在点E,使得oE丄b,此时点E的坐标为(!， 14, |).11. 证明三个向量 a= e1+ 3e2 + 2e3, b= 4e1 6e2 + 2e3, c= 3e1+ 12e2

7、+ 11e3共面.证明：若8、e2、e3共面，显然a、b、c共面；若e1、e2、e3不共面，设c=入+卩b即一 3ei + 12e2 + 11e3 = X e1+ 3e2 + 2es) + 4e1 6e2 + 2es),整理得一 3e1 + 12e? + 11e3= (4 Xe1 + (3 6(J)e2 + (2 X+ 2 j)e3, 4 _ 3,解得C(3,2,4),试求:由空间向量基本定理可知3 6尸12,-2 + 2 尸 11,1即c= 5a + 2b,则三个向量共面.12. 已知 ABC 的顶点 A(1,1,1), B(2,2,2), (" ABC的重心坐标; ABC的面积； ABC的AB边上的高.解析：(1)设重心坐标为(x0, y0, z0),则 X0= 1±|土3 = 2,1+2+2_5 ""3_ 3,1+2+4 7 z0_ 3,5重心坐标为(2, 5573, 3).(2)AB= (1,1,1), AC= (2,1,3), |AB|= 3, |AC|= . 14, ABAC = 2+ 1 + 3 = 6, cos A_ cosAB, AC_3 14_ 42,-sin A=1