数的基本原理与方程

1、 数的基本原理与方程【基础知识】1若，则为有理数；2若，且，则整除；3若，且互质，则对，有与互质；4若，且，则5唯一分解定理【方法指导】与整数有关的方程问题常用求解策略：1缩小范围，逐一检验；2利用整除性分析（因式分解，或表示为分数形式）；3利用余数；4利用数的有理性有时需要综合运用多种方法【典型例题】1已知，试求所有的正整数，使得为中的项.2若，且，则_.分析：为偶数，从而为奇数，故为的约数，又31是质数，即当时，是整数.3设正整数数列是等比数列，其公比不是整数，且，则可取到的最小值为_.分析：由题意，必为有理数，又不是整数，且，故可设，其中，且互质，又，故，因为互质，所以整除，注意到，故，

2、易知存在使.4设，求最小的，使.5已知等差数列的公差不为0，等比数列的公比是小于1的正有理数.若，且是正整数，则等于 .6是否存在，使？分析：因为为奇数，而为偶数，所以上式无解7已知，当时，方程是否有解？分析：若，原式可化为，或1（舍），；若，原式可化为，若，则左边，右边；若，则；若，则，故不能成立8已知，是否存在正整数，使得成等比数列？解：若存在，则，又，满足题意9是否存在且，满足？ 分析：若，原式即，因为，所以，从而，而，故式不成立；当时，易求得，只需令，即时，有，又易证满足综上，当时，不存在，满足题设条件；当时，存在，满足题设条件10设，是否存在，使得，是等差数列？解：，若存在满足题意，

3、即=，整理得解法1，从而，故，化简得，这显然不可能解法2：由去分母得，两边同除以，得，左边除以3余2，而右边是3的整数倍，显然不能相等11已知数列的前项和为，且，求满足的所有正整数.解：易知，由1）时不满足2）时， I）时，；II）时，；又，.故不存在III）时，从而，即，或，又舍；舍.综上，.12是否存在且，使得？ 分析：注意到左边为有理数，而，或时，右边为无理数，不满足；若，则，若为有理数，则，又，故13已知，试求出所有的有序正整数对，使得.14求证：对于一个给定的正整数，存在一个各项及公差都不为零的等差数列，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列解：设为等差数列，公差，且，若中存在

4、三项成等比数列，即，即，整理得，因为，若，则，易知，与题意矛盾！故，必为有理数，从而当为无理数时，中任意的三项均不能组成等比数列15等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为，公比为(均为正整数)若，且至少存在三个不同的值使得等式成立，试求最小的及相应、的值解：由得：，由得：；由得：，而，即：，从而得：，当时，不合题意，故舍去，所以满足条件的又，故，即： 若，则，不合题意； 若，则，由于可取到一切整数值，且，故要至少存在三个使得成立，必须整数至少有三个大于或等于3的不等的因数，故满足条件的最小整数为12，所以的最小值为，此时或或1216已知数列各项为正，且满足.（1）设求证：为等比数列；（2）求的通项公式；（3）设，求，并确定最小的正整数，使为整数.解： ，由于27与64互质，故为整数，当且仅当为27的倍数，注意到与中有且仅有一个为3的倍数，故是