2016年中考数学函数复习专题训练

1、精选优质文档-倾情为你奉上第一讲：一次函数与反比例函数1.一次函数与正比例函数的定义：一次函数：一般地，y=kx+b若（其中k,b为常数且k0），那么y是x的一次函数正比例函数：当b=0, k0时，y=kx,此时称y是x的正比例函数2. 一次函数与正比例函数的区别与联系：从解析式看：y=kx+b(k0，b0)是一次函数而y=kx(k0，b0)是正比例函数，显然正比例函数是一次函数的特例，一次函数是正比例函数的推广从图象看：y=kx(k0)是过点（0，0）的一条直线，而y=kx+b(k0)是过点（0，b）且与y=kx平行的一条直线。例1：如图，已知直线y=-x+2与x轴，y轴分别交于点A和点B，

2、另一直线y=kx+b(k0)经过点C（1，0），且把AOB分成两部分。OBAC（1）若AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值3、反比例函数的图象y = 是由两支曲线组成的。 (1)当 k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限，(2)当 k<0 时，两支曲线分别位于第二、四象限.例2.（1）已知函数的图象分布在第二、四象限内，则的取值范围是_（2）若ab0,则函数与在同一坐标系内的图象大致可能是下图中的 （ ）（A） （B） （C） （D）（2011成都）如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）（1）求上述反比例函数和直线的函

3、数表达式；（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求OPQ的面积解：（1）把点（，8）代入反比例函数，得k=8=4，反比例函数的解析式为y=；又点Q（4，m）在该反比例函数图象上，4m=4，解得m=1，即Q点的坐标为（4，1），而直线y=x+b经过点Q（4，1），1=4+b，解得b=5，直线的函数表达式为y=x+5；（2）联立，解得或，P点坐标为（1，4），对于y=x+5，令y=0，得x=5，A点坐标为（5，0），SOPQ=SAOBSOBPSOAQ=×5×5×5×1×5×1=练

4、习：一、选择题1、下列各点中，在函数 图像上的是 （ ）A （2，4）； B（2，3）； C（6，1）； D（，3）2、如图，A,B是双曲线上的点，A,B两点的横坐标分别是a,2a,线段AB的延长线交x轴于点C，若，则k=_. 3、如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1=和y2=的图像交于点A和点B.若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则ABC的面积为（ ）A1 B2 C3 D44、已知双曲线，的部分图象如图所示，是轴正半轴上一点，过点作轴，分别交两个图象于点若，则 5、如图，点A在双曲线上，且OA4，过A作AC轴，垂足为C， OA的垂直平分线交OC于B，则ABC周

5、长为() A.B.5 C.D.6、平面直角坐标系中，已知点O(0，0)、A(0，2)、B(1，0)，点P是反比例函数图 象上的一个动点，过点P作PQx轴，垂足为点Q若以点O、P、Q为顶点的三角形与OAB相似， 则相应的点P共有 （ ）A1个 B2个 C3个 D4个7、已知反比例函数的图象过点M（1，2），则此反比例函数的表达式为( ) Ay= By= Cy= Dy=8、经过点的双曲线的表达式是( ) A； B； C； D 9、如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若点A的坐标为（，4），则AOC的面积为( ) A12 B9 C6 D410、如图，矩形AB

6、OC的面积为3，反比例函数的图象过点A，则k=（ ）OxyA B C D11、已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程根的情况是（ ）A有两个不等实根B有两个相等实根C没有实根 D无法确定。12、下列函数中，y随x增大而减小的是（）A.y= B.y= C.y= D. y= x113、 如图，已知梯形ABCO的底边AO在轴上，BCAO，ABAO， 过点C的双曲线 交OB于D，且OD ：DB=1 ：2，若OBC的面积等于3， 则k的值( )A等于2 B等于 C等于 D无法确定14、反比例函数与一次函数y=mxm（m0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）15、若反比例函数y=的图象经过点（-2

7、，1），则此函数的图象一定经过点( )A(-2,-1） B. (2,-1） C. （，2） D. (,2)16、如图所示，两个反比例函数 和 在第一象限内的图象依次是和，设点在上，轴于点，交于点，轴于点，交于点，则四边形的面积为( ) A B CD. 17、若点都在反比例函数的图象上，则（ ） A B C D18、下列函数中，y随x的增大而减小的是（ ）A； B； C； D19、若反比例函数的图象经过点（-1,2)，则这个函数的图象一定经过点（ ） A、(2,-1) B、(,2) C、(-2,-1) D、(,2)20、若反比例函数的图象位于第二、四象限内，则m的取值范围是（ ）Am0 Bm0

8、Cm1 Dm1 21、已知反比例函数的图象经过点（1，2），则这个函数的图象位于（ ） A第一、三象限B第二、三象限 C第二、四象限D第三、四象限22、反比例函数y=，当x>0时，y随x的增大而增大，那么m的取值范围是( ) (A)m<3 (B) m>3 (C)m<-3 (D) m>-32、 填空题1、点，点是双曲线上的两点，若，则 （填“=”、“”、“”） 2、如果点A、B在一个反比例函数的图像上，点A的坐标为（1，2），点B横坐标为2，那么A、B两点之间的距离为 3、已知反比例函数的图像经过点（m，3）和（-3,2），则m的值为 4、若反比例函数的图象经过点（

9、-2,-1），则这个函数的图象位于第_象限 5、设函数与的图象的交点坐标为（，），则的值为_ _ 6、如果，那么 7、某中学要在校园内划出一块面积是 100m2的矩形土地做花圃，设这个矩形的相邻两边的长分别为xm和ym，那么y关于x的函数解析式是_ 8、反比例函数 y 的图象与正比例函数y3x的图象交于点P(m，6)，则反比例函数的关系式是 9、如图，已知点A在双曲线上，过点A作ACx轴于点C，OC=，线段OA的垂直平分线交OC于点B，则ABC的周长为 10、若反比例函数y(k1)的图象经过第二、四象限，则k 11、一个函数具有下列性质：1xyS1S2S3P1P2P3O234它的图像经过点（-

10、1，1）；它的图像在二、四象限内； 在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大则这个函数的解析式可以为 12、如图，在反比例函数（）的图象上，有点，···，,它们的横坐标依次为1，2，3，4，···，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积分别为，···，则的值为 .ABPxyO13、如图，A是反比例函数y=图象上一点，过点A作ABy轴于点B，点P在x轴上，ABP的面积为2，则K的值为_.14、如图，AOB为等边三角形，点B的坐标为（-2,0），过点C（2,0）作直线l交AO于D，交AB于

11、E，点E在某反比例函数图象上，当ADE和DCO的面积相等时，那么该反比例函数解析式为 . 三、解答题1、已知双曲线和直线AB的图象交于点A(-3,4),ACx轴于点C.(1)求双曲线的解析式;(2)当直线AB绕着点A转动时,与x轴的交点为B(a,0),并与双曲线另一支还有一个交点的情形下,求ABC的面积S与a之间的函数关系式.,并指出a的取值范围. 2、已知反比例函数的图像经过第二象限内的点A（1，m），ABx轴于点B，AOB的面积为2若直线 经过点A，并且经过反比例函数的图象上另一点C（n,一2）求直线的解析式；设直线与x轴交于点M，求AM的长 3、如图，在以O为原点的直角坐标系中，点A、C

12、分别在x轴、y轴的正半轴上，点B（a，b）在第一象限，四边形OABC是矩形，若反比例函数（k0，x>0）的图象与AB相交于点D，与BC相交于点E，且BE=CE.（1）求证：BD=AD；（2）若四边形ODBE的面积是9，求k的值.4、如图，将矩形OABC放在直角坐际系中，O为坐标原点点A在x轴正半轴上点E是边AB上的个动点(不与点A、B重合)，过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F.（1）若OAE、OCF的而积分别为且，求k的值.（2）若OA=2，0C=4，问当点E运动到什么位置时，四边形OAEF的面积最大，其最大值为多少? 5、如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-2x的图像与反比例

13、函数的图像的一个交点为A（-1，n）.(1) 求反比例函数的解析式；(2) 若P是坐标轴上的一点，且满足PA=0A，直接写出P的坐标.6、如图，一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点，且点的横坐标为1，过点作轴的垂线，为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式.7、已如图，反比例函数 y 的图象与一次函数ymxb的图象交于两点A（1,3） ,B（n,1） （1）求反比例函数与一次函数的函数关系式；yxAOB（2）根据图象，直接回答：当x取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值；(3) 连接AO、BO，求ABO的面积；8、如图,已知A(4,a) ，B（2 ,4）是一次函数ykxb的图象和反比

14、例函数的图象的交点.(1)求反比例函数的解析式；(2) 求一次函数的解析式。AB(1,n)112nyOx9、如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A、B两点。(1)利用图中条件求反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围10、如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（）的图象与一次函数的图象的一个交点为 （1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数的图象与y轴交于点B，P为一次函数的图象上一点，若的面积为5，求点P的坐标11、已知A(n，-2)，B(1，4)是一次函数y=kx+b的图象和反比例函数y=的图象的两个交点，直线AB与y 轴交于点

15、C (1)求反比例函数和一次函数的关系式； (2)求AOC的面积； (3)求不等式kx+b-<0的解集(直接写出答案)12、如图，将一块直角三角板OAB放在平面直角坐标系中，B（2，0），AOB=60°，点A在第一象限，过点A的双曲线为在x轴上取一点P，过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，线段OB经轴对称变换后的像是O´B´（1）当点O´与点A重合时，求点P的坐标.（2）设P（t，0），当O´B´与双曲线有交点时，t的取值范围是多少？14、如图，一次函数与反比例函数的图像交于点A（4，m）和B（8,），与y轴交于点C，求

16、：（1） ， ；（2）根据函数图像可知，当时，x的取值范围是 ；（3）过点A作轴于点D，点P是反比例函数在第一象限图像上的一点，设直线OP与线段AD交于点E，当时，求点P的坐标。15、如图,反比例函数的图像经过点，过点作轴于点B，AOB的面积为（1）求和的值；（2）若一次函数的图象经过点，求这个一次函数的解析式6OAB16、如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为，点B的横坐标为-4（1）试确定反比例函数的解析式；（2）求AOB的面积；（3）直接写出不等式的解17、如图，直线分别交轴，轴于点，点是直线与双曲线在第一象限内的交点，轴，垂足为点，的面积为4（1）求点

17、的坐标；（2）求双曲线的解析式及直线与双曲线另一交点的坐标20.(2006)如图，已知反比例函数y（k0)的图象经过点A（-，m），过点A作ABx轴于点B，且AOB的面积为. （1）求k和m的值； （2）若一次函数yax+1的图象经过点A，并且与x轴相交于点C，求ACO的度数和AOAC (2008) 如图，已知反比例函数y = 的图象经过点A（1，- 3），一次函数y = kx + b的图象经过点A与点C（0，- 4），且与反比例函数的图象相交于另一点B.ABOxy（1）试确定这两个函数的表达式；（2）求点B的坐标.(2011绵阳)右图中曲线是反比例函数的图象的一支（1）这个反比例函数图象的另

18、一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？（2）若一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与x轴交于点B，AOB的面积为2，求n的值第二讲：二次函数一、y=ax2，yax2+c二次函数y=ax2的图象的一些性质：、图象“抛物线”是轴对称图形；、与x、y轴交点（0，0）即原点；（与x、y轴交点（0，c）、a的绝对值越大抛物线开口越大，a0，开口向上：当x0时，（对称轴左侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）当x0时，（对称轴右侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）  a0，开口向下：当x0时，（对称轴左侧），y随x的增大而增大（y随x的减小而减小）当x0时，（对称轴右

19、侧），y随x的增大而减小（y随x的减小而增大）二、ya(x-h)2，ya(x-h)2+k1、画y=a（xh）2+k（a0）的图像，列表时：在对称轴x=h两侧对称取点.2、y=a（xh）2k（a0）具有以下性质：抛物线对称轴顶点坐标开口方向y= a (xh)2+k (a>0)x=h(h，k)向上y= a ( xh)2+k (a<0)x=h(h，k)向下三、 yax2+bx+c(a、b、c是常数，a0)yax2+bx+c 化为 ya (x+)2+ ，对照y=a(x-h)2+k的形式得对称轴为x=-,顶点坐标为（-，）关于二次函数变换：1、比较函数y3x2与y3(x-1)2的图象的性质2

20、、在同一直角坐标系中比较函数y3(x-1)2和y3(x-1)2+2的图象性质总结：一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数为y=ax2+c，ya(x-h)2，y=a(x-h)2+k的图象(1)将yax2的图象上下移动便可得到函数y=ax2+c的图象，当c>0时，向上移动，当c<0时，向下移动(2)将函数yax2的图象左右移动便可得到函数y=a(x-h)2的图象，当h>0时，向右移动，当h<0时，向左移动(3)将函数yax2的图象既上下移，又左右移，便可得到函数ya(x-h)+k的图象因此，这些函数的图象都是一条抛物线，它们的开口方向，对称轴和顶点坐标与a，h

21、，k的值有关基础练习：一、选择题1、已知+=y,其中与成反比例,且比例系数为,而与成正比例,且比例系数为,若x=-1时,y=0,则,的关系是( )A. =0 B. =1 C. =0 D. =-12、已知二次函数 ， 为常数，当y达到最小值时，x的值为（ ）（A）（A）; （B）; （C）; （D）3、若二次函数的顶点在第一象限，且经过点（0，1），（-1，0）， 则S=a+b+c的变化范围是 ( )（A）0<S<2; (B) S>1; (C) 1<S<2; (D)-1<S<14、不论x为何值,函数 (a0)的值恒大于0的条件是( ) A.a>0,

22、>0; B.a>0, <0; C.a<0, <0; D.a<0, <0二、填空题：5、已知方程组的解也是二元一次方程x-y=1的一个解，则a=_。6、已知直线与轴，轴围成一个三角形，则这个三角形面积为 。7、若m1，则下列函数： ; y =mx+1; y = mx; y =(m + 1)x中，y随x增大而增大的是_。8、已知二次函数(a1）的图像上两点A、B的横坐标分别是1、2，点O是坐标原点，如果AOB是直角三角形，则OAB的周长为 。三、解答题：9、已知不等式的最小整数解是方程的解，求a的值。10、已知二次函数yx2bxc的图像与x轴的两个交点的横

23、坐标分别为x1、x2，一元二次方程x2b2x200的两实根为x3、x4，且x2x3x1x43，求二次函数的解析式，并写出顶点坐标。答案：一、C B A B 二、 5、- 6、18 7、（1）（2）8、 10、y=x2+3x+2 (-3/2,- 1/4)巩固提高：1、(陕西中考)若正比例函数的图像经过点（1，2），则这个图像必经过点（ ）A(1，2)B(1，2)C(2，1)D(1，2)2、（安徽中考）已知函数的图象如图，则的图象可能是（ ）3、(黄冈中考)小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示下班后，如果他沿原路

24、返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A12分钟B15分钟C25分钟D27分钟OBCA图5AOBC第4题图4、（广东深圳）如图，反比例函数的图象与直线的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则的面积为（）A8 B6C4 D25、（广西河池）如图5，A、B是函数的图象上关于原点对称的任意两点，BC轴，AC轴，ABC的面积记为，则（ ）A B C D6、函数在同一直角坐标系内的图象大致是 （ ）图27、已知二次函数yax2+bx+c(a0)的图象如图2所示，给出以下结论： a+b+c0图图； ab+c0； b+

25、2a0； abc0 .其中所有正确结论的序号是（）A. B. C. D. 8、二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，给出下列四个结论：4acb20；4a+c2b；3b+2c0；m（am+b）+ba（m1），其中正确结论的个数是（）A4个B3个C2个D1个考点：二次函数图象与系数的关系分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断解答：解：抛物线和x轴有两个交点，b24ac0，4acb20，正确；对称轴是直线x1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，抛物线和x轴的另一个交点在（3，0）和（2，0）之间，把（2，0）代入抛物线得：y=4a2b+c0

26、，4a+c2b，错误；把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c02a+2b+2c0，b=2a，3b，2c0，正确；抛物线的对称轴是直线x=1，y=ab+c的值最大，即把（m，0）（m0）代入得：y=am2+bm+cab+c，am2+bm+ba，即m（am+b）+ba，正确；即正确的有3个，9、已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根，有下列结论：b24ac0；abc0；m2其中，正确结论的个数是（）A 0B1C2D3解答：解：二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，b24ac0，故正确；抛物线的开口向下，a0，抛物线与y轴

27、交于正半轴，c0，对称轴x=0，ab0，a0，b0，abc0，故正确；一元二次方程ax2+bx+cm=0没有实数根，y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m2，故正确故选D10、当2x1时，二次函数y=（xm）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）AB或C2或D2或或解答：解：二次函数的对称轴为直线x=m，m2时，x=2时二次函数有最大值，此时（2m）2+m2+1=4，解得m=，与m2矛盾，故m值不存在；当2m1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=，m=（舍去）；当m1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，（1m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m

28、的值为2或故选C11、抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（1，2），与x轴的一个交点A在点（3，0）和（2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：b24ac0；a+b+c0；ca=2；方程ax2+bx+c2=0有两个相等的实数根其中正确结论的个数为（C）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个12、（钦州中考）一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式：_ _13、（绍兴中考）如图，已知函数和的图象交点为，则不等式的解集为 第14题图Oxy1Py=x+by=ax+314、（湖北黄石）如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），Pn（x

29、n，yn）在函数y=（x0）的图象上，OP1A1，P2A1A2，P3A2A3PnAn1An都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2An-1An，都在x轴上，则y1+y2+yn= 。15（天津市）已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支（） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？（）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式xyO16、（浙江嘉兴）如图，曲线C是函数在第一象限内的图象，抛物线是函数的图象点（）在曲线C上，且都是整数（1）求出所有的点；（2）在中任取两点作直线，求所有不同直

30、线的条数；（3）从（2）的所有直线中任取一条直线，求所取直线与抛物线有公共点的概率（第12题）642246yxO17.某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式；(3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？31, 解：(1) 按每千克50元销售，一个月能售出500kg，

31、销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg。现在单价定为每千克55元，即涨了5元，所以月销售量减少50kg，所以月销售量为500-50=450kg，月销售利润为（55-40）×450=6750 元。(2) 设销售单价为每千克x元，则上涨了x-50元，月销售量减少（x-50）×10kg，即月销售量为500-10（x-50），所以利润为y=500-10（x-50） ×（x-40），即(3)月销售利润达到8000元，即，解得x=60或x=80当x=60时，销售量为500-10（60-50）=400，当x=80时，销售量为500-10（80-50）=200而月销售量不超过1

32、0000元，即销售量不超过，而400>250，所以x=60应舍去，所以销售单价应定于80元。18、（重庆市江津区）抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点， （1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.19、（湖北省荆门市） 一开口向上的抛物线与x轴交于A（，0），B（m2，0）两点，记抛物线顶点为C，且ACBC（1）若

33、m为常数，求抛物线的解析式；（2）若m为小于0的常数，那么（1）中的抛物线经过怎么样的平移可以使顶点在坐标原点？（3）设抛物线交y轴正半轴于D点，问是否存在实数m，使得BCD为等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由OBACDxy第15题图20.已知经过原点的抛物线y=-2x2+4x（如图所示）与x的另一交点为A现将它向右平移m（m0）位，所得抛物线与x轴交于C、D点，与原抛物线交于点P（1）求点P的坐标（可用含m式子表示）（2）设PCD的面积为s，求s关于m关系式（3）过点P作x轴的平行线交原抛物线于点E，交平移后的抛物线于点F请问是否存在m，使以点E、O、A、F为顶点的四边形为

34、平行四边形若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由考点：分析：（1）首先将抛物线表示出顶点式的形式，再进行平移，左加右减，即可得出答案；（2）求出抛物线与x轴的交点坐标，根据当0m2，当m=2，即点P在x轴时，当m2即点P在第四象限时，分别得出即可；（3）根据E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，表示出E点的坐标，再把点E代入抛物线解析式得出即可解答：解：（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2，则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2，由题得 ，解得 ，点P的坐标为（ ， ）；（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2

35、）抛物线与x轴的交点为O（0，0）A（2，0），AC=2，C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m0）个，单位所得抛物线与x轴的交点CD=OA=2，当0m2，即点P在第一象限时，如图1，作PHx轴于HP的坐标为（ ， ），PH= ，S= CD2（- m2+2）=- m2+2，当m=2，即点P在x轴时，PCD不存在，当m2即点P在第四象限时，如图2，作PHx轴于HP的坐标为（ ， ），PH= ，S= CDHP= ×2× = m2-2；（3）如图3若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形，则EF=OA=2由轴对称可知PE=PF，PE= ，P（ ， ），点E的坐标为

36、（ ， ），把点E代入抛物线解析式得： ，第三讲：二次函数应用一、动点问题（一）、因动点产生的面积关系QPPAxyBO例1、在平面直角坐标系中，BCD的边长为3cm的等边三角形, 动点P、Q同时从点A、O两点出发，分别沿AO、OB方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s, 当点P到达点O时,P、Q两点停止运动. 设点P的运动时间为t(s), 解答下列问题:(1) 求OA所在直线的解析式;(2) 当t为何值时, POQ是直角三角形;(3) 是否存在某一时刻t，使四边形APQB的面积是AOB面积的三分之二? 若存在, 求出相应的t值; 若不存在，请说明理由解： 根据题意：APt cm，BQt cmA

37、BC中，ABBC3cm，B60°，BP(3t ) cmPBQ中，BP3t，BQt，若PBQ是直角三角形，则BQP90°或BPQ90°当BQP90°时，BQBP即t(3t )，t1 (秒)当BPQ90°时，BPBQ3tt，t2 (秒)答：当t1秒或t2秒时，PBQ是直角三角形 4 过P作PMBC于M RtBPM中，sinB，PMPB·sinB(3t )SPBQBQ·PM· t ·(3t )ySABCSPBQ×32×· t ·(3t )y与t的关系式为： y 6假设存在

38、某一时刻t，使得四边形APQC的面积是ABC面积的，则S四边形APQCSABC ××32×t 23 t30(3) 24×1×30，方程无解无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是ABC面积的8例2、 如图，边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上动点D在线段BC上移动(不与B，C重合)，连接OD，过点D作DEOD，交边AB于点E，连接OE记CD的长为t(1) 当t时，求直线DE的函数表达式；(2) 如果记梯形COEB的面积为S，那么是否存在S的最大值？若存在，请求出这个最大值及此时t的值；若不存

39、在，请说明理由；解：(1)易知CDOBED，所以，即，得BE=，则点E的坐标为E(1，)(2分)设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D(，1)和E(1，)，代入y=kx+b得，故所求直线DE的函数表达式为y=(2分)(注：用其它三角形相似的方法求函数表达式，参照上述解法给分) (2) 存在S的最大值1分求最大值：易知CODBDE，所以，即，BE=tt2，1分×1×(1tt2)1分故当t=时，S有最大值2分（二）因动直线产生的面积关系例3如图所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点（1，5）和（2，4） （1）求这条抛物线的解析式 （2）设此抛物线与直线y=

40、x相交于点A，B（点B在点A的右侧），平行于x轴的直线x=m（0<m<+1）与抛物线交于点M，与直线y=x交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示） （3）在条件（2）的情况下，连接OM，BM，是否存在m的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由y=xNPx = mMAxyBO 解：（1）由题意得 解得 此抛物线解析式为y=x22x4 （2）由题意得： 解得 点B的坐标为（4，4） 将x=m代入y=x得y=m，点N的坐标为（m，m） 同理，点M的坐标为（m，m22m4），点P的坐标为（m，0） PN=m，MP=m22m4， 0<m

41、<+1， MN=PN+MP=m2+3m+4 （3）作BCMN于点C， 则BC=4m，OP=m S=MN·OP+MN·BC， =2（m2+3m+4）， =2（m）2+ 2<0， 当m=0，即m=时，S有最大值同步练习1、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为（4，0），AOC=60°，垂直于x轴的直线L从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动，设直线L与菱形OABC的两边分别交于点M，N（点M在点N的上方） （1）求A，B两点的坐标； （2）设OMN的面积为S，直线L的运动时间为ts（0t6），试求S与t的函数表达式；（

42、3）在（2）的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？2.正方形ABCD的边长为，BEAC交DC的延长线于E。（1）如图，连结AE，求AED的面积。（2）如图，设P为BE上（异于B、E两点）的一动点，连结AP、CP，请判断四边形APCD的面积与正方形ABCD的面积有怎样的大小关系？并说明理由。（3）如图，在点P的运动过程中，过P作PFBC交AC于F，将正方形ABCD折叠，使点D与点F重合，其折线MN与PF的延长线交于点Q，以正方形的BC、BA为轴、轴建立平面直角坐标系，设点Q的坐标为（x，y），求y与x之间的函数关系式。3、如图，在矩形中，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直

43、线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，设的长度为，与矩形重叠部分的面积为（1）求的度数；（2）当取何值时，点落在矩形的边上？（3）求与之间的函数关系式；当取何值时，重叠部分的面积等于矩形面积的？DQCBPRABADC（备用图1）BADC（备用图2）二、存在性问题(一）、因动点产生的直角三角形问题例4如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）（1）求抛物线解析式及顶点坐标；B(0,4)A(6,0)EFxyO（2）设点E（，）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形求平行四边形OEAF的面积S与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围

44、； 当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形？ 是否存在点E，使平行四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由解：（1）由抛物线的对称轴是，可设解析式为把A、B两点坐标代入上式，得 解之，得故抛物线解析式为，顶点为（2）点在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合，y<0，即 y>0,y表示点E到OA的距离OA是的对角线，因为抛物线与轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量的取值范围是16 根据题意，当S = 24时，即 化简，得 解之，得故所求的点E有两个，分别为E1（3，4），E2（4，4）点E1（3，4）满足OE =

45、 AE，所以是菱形；点E2（4，4）不满足OE = AE，所以不是菱形 当OAEF，且OA = EF时，是正方形，此时点E的坐标只能是（3，3） 而坐标为（3，3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E，使为正方形例5. 如图所示, 在平面直角坐标系xOy中, 矩形OABC的边长OA、OC的长分剔为12cm、6 cm, 点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上, 抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B, 且18a+c=0.(1)求抛物线的解析式； (2)如果点P由点A开始沿AB边以1cm/s的速度向点B移动, 同时点Q由点B开始沿BC边以2cm/s的速度向点C移动.移动开始后第t秒时, 设PB

46、Q的面积为S, 试写出S与t之间的函数关系式, 并写出t的取值范围;QPCAxyBO当S取得最小值时, 在抛物线上是否存在点R, 使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形? 如果存在, 求出R点的坐标, 如果不存在, 请说明理由. 解: (1)据题意知: A(0, 12), B(6, 12) A点在抛物线上, C=12 18a+c=0, a= (1分)由AB=6知抛物线的对称轴为: x=3即: 抛物线的解析式为: (3分)(2)由图象知: PB=6t, BQ=2tS=(4分)即(0t1) (5分)假设存在点R, 可构成以P、B、R、Q为顶点的平行四边形.(0t1)当t=时, S取得最小值

47、9. (6分)这时PB=6-3=3, BQ=6, P(3, 12), Q(6, 6) (7分)分情况讨论:A】假设R在BQ的右边, 这时QRPB, P(3, 12)，PB=3, Q(6, 6)R的横坐标为9, R的纵坐标为6, 即(9, 6)代入, 左右两边不相等这时R(9, 6) 不在抛物线上. (8分)B】假设R在BQ的左边, 这时PRQB, 则:R的横坐标为3, 纵坐标为6, 即(3, 6)代入, 左右两边不相等, R不在抛物线上. (9分)C】假设R在PB的下方, 这时PRQB, 则:R(6, 18)代入, 左右两边相等, R(6, 18)在抛物线上. 综上所述, 存点一点R(6, 18)满足题意. (10分)同步练习1、已知抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴的负半轴相交于点,（1）求抛物线的解析式；BOAAC（2）在抛物线上是否存在点，使？如果存在，请确定点的位置，并求出点的坐标：如果不存在，请说明理由2、如图,抛物线与轴交于点、B