09重庆市中考数学特色题评析

1、09重庆市中考数学特色题评析400714 重庆市北碚区江北中学 刘 伟1 试题展示（09重庆市中考数学第26题）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点EyxDBCAEEO（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（3）对于（2）中的点

2、G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2 试题解析分析：（1）根据图中线段的长度与点的位置关系易求出点C、D、E的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式；（2）由（1）能求出点M的坐标，由点M、D的坐标用待定系数法求出直线MD的解析式，从而求出点F的坐标，再根据点的坐标与线段的长度的关系即可判断EF与GO的关系；（3）假设存在点Q，使PCG为等腰三角形，然后根据题目的条件进行分类讨论，用勾股定理可求出Q点的坐标。解：（1）由已知，得，设过点的抛物线的解析式为将点的坐标代入，得将

3、和点的坐标分别代入，得解这个方程组，得故抛物线的解析式为（2）成立 点在该抛物线上，且它的横坐标为，点的纵坐标为yxDBCAEEOFKGG设的解析式为，将点的坐标分别代入，得 解得的解析式为，过点作于点，则，又，yxDBCAEEOQPHGG(P)(Q)Q(P)（3）点在上，则设，若，则，解得，此时点与点重合若，则，解得 ，此时轴与该抛物线在第一象限内的交点的横坐标为1，点的纵坐标为若，则，解得，此时，是等腰直角三角形过点作轴于点，则，设，解得（舍去）综上所述，存在三个满足条件的点，即或或3 试题评价本题是一道几何与函数的探究题。此类试题的解题过程由两部分组成：首先是判断特殊点、某种数量关系或位

4、置关系是否存在，然后说明其存在或不存在的理由。由于这类试题涉及代数知识与几何知识，是综合性很强的题型，属于能力拔高题，重点考查学生综合分析问题、解决问题的能力及想象推理能力。从命题的角度看，本题设置三个小问，三个问题有层次性，在最后一问增加思维的难度，体现了中考压轴题的选拔功能。试题的第（1）问比较常规，由三个点的坐标用待定系数法求二次函数的解析式，学生比较容易上手，增加了学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问出现的旋转变换学生应该是比较熟悉的，这样可以让学生能够心平气和的思考问题，但在思维的层次上作了一个适当的提升，由点的坐标来确定线段的大小关系，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是

5、点的存在探究问题，为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出。这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过压轴题增加试卷区分度的目的。从所考查的知识点和数学思想方法上看，本题考点全面，涉及到初中数学中核心内容。本题以抛物线为载体，综合了函数、方程、点的坐标、直线方程、等腰三角形、图形的旋转，还有三角形全等和勾股定理、解直角三角形等初中数学的主要知识点。在数学思想方法方面，渗透了数形结合和转化、分类讨论等数学思想。在第（1）、（2）问中，把线段的长度转化为点的坐标，用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，在第（2）、（3）问中，探索点的存在问题，考查了学生的思维能力、运算能力

6、和创新意识，是一道具有一定思维深度的试题。从能力要求上看，对学生的解题能力提出了较高的要求。首先，要求考生对图形的性质能够灵活运用。其次，要求考生对问题的条件进行适当的转化，能够将一个陌生的问题转化为自己熟悉的问题。从试题的解答来看，体现了关注差异、以人为本的新理念。学生个体差异表现在认知方式与思维策略的不同，以及认知水平和学习能力的差异。从试题的解析中，我们可以看到在试题的编拟和设计中注重解决问题策略的多样性，每一问学生解题的入口宽，尊重了学生在解决问题过程中所表现出来的不同水平，给不同的学生创造成功的机会。有利于增强学生进一步学习数学的兴趣和信心，体现了人文关怀，凸现了以人为本的新理念；体

7、现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新的课程理念。从学生发展的观点看，本题有很好的发展性和导向性。从初中数学的视角来看，如上所述，本题考查了初中阶段所学的诸如函数、方程、变换等重要知识点。同时又要求学生有扎实的数学功底、较强的分析问题和解决问题的能力，特别是问题的转化和联想能力。从高中数学的视角来看，本题为高中阶段进一步学习直线的斜率、向量的平移、直线与曲线的交点坐标的求法等知识奠定了基础。4 试题对教学的启示中考数学压轴题，已经由原来的抛物线、圆、相似三角形等组成的知识型类综合题转化为动态问题、开放问题、存在与探索性等一系列能力型问题，它们均跨越代数、几何、三角等多个知识点，囊括了整个初

8、中数学的重要思想和方法。随着新课改的不断深入，这一系列的能力型问题并将成为今后中考命题的走向。以上中考数学试题的特点对教学的启示是：1依“新课标”靠“本”，注重基础。所有试题，包括最后的综合题，都注重对基础知识、基本技能和基本思想方法的考查。在教学中，必须切实抓好基本概念及其性质，基本技能和基本思想方法的教学，让学生真正理解和掌握，并形成合理的网络结构。 2加强数学思想方法的教学，数学基础知识和基本技能所反映出来的数学思想方法是数学知识的精髓，在课堂教学中，数学思想方法的教学应渗透在教学全过程中，使学生不仅学好概念、定理、法则等内容，而且能领悟其中的数学思想方法，并通过不断积累，逐渐内化为自己

9、的经验，形成解决问题的自觉意识。 3转变观念，培养能力。中考试题对“双基”的考查，是将数学作为一个整体，进行多方位的全面考查，要求学生能够灵活、准确地运用数学知识和数学思想方法分析问题和解决问题。所以能力培养应落实在平时教学过程中。另外，还要注重培养学生的“实验”和“猜想”能力，因为数学不仅是思维科学，也是实验科学。数学推理不仅包括演绎推理，还包括合情推理。 4重视教学方法的改进，坚持“启发式”和“讨论式”，以问题作为教学的出发点，多设计、提出适合学生发展水平的具有一定探究性的问题，创设问题情境，使学生面对适度的困难，开展尝试和探究，让学生经历“再发现”和“再创造”的过程。还要充分发挥例题教学

10、的作用，适当运用变式，作部、逐步适置障碍，以不断增加创造性因素。 5强化过程意识，注意数学概念、公式、定理、法则的提出过程，重视知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程，解题方法和规律的概括过程，使学生在学习期间不是简单地背下一些公式、定理，而要展开思维，弄清楚其背景和来源。真正理解所学知识，同时学习分析、解决问题的方法，并且发展科学精神和创新意识。因此，教学中要加强过程教学，真正做到结论和过程并重。 6教学中要注重学生创新意识的培养。把培养学生创新意识当作初中数学教学的一个重要目的和基本原则。在教学中要激发学生的好奇心和求知欲，通过学生独立思考，不断追求新知，发现、提出和创造性地解决问题。并

11、引导学生将所学知识应用于实际，从数学角度对某些日常生活、生产和其他学科中出现的问题研究，或对某些数学问题进行深入探讨，在其中充分体现学生的自主性和合作精神。7 处理好压轴题与其他知识复习的关系由于压轴题的难度较高，因此在专题复习中针对的都是基础较好的学生，而对于基础较差的学生有可能对此失去兴趣，成绩下滑。所以在最后的复习中，将压轴题的专题、基础知识的进一步整理、综合模拟三部分交叉进行，照顾到各层次的学生，让他们都有所收获。随着课程改革的深入，中考试题将会更加注重考查基础知识基本技能，更加注重考查应用能力，更加注重考查探索、开放、规律和动手操作问题，更加注重考查数学思想及方法等。这些都为我们的教学指明了方向。因此，我们今后的数学教育教学要扎扎实实按照实施素质教育的要求去做，确实体现课改“以学生发展为本”的教育理念，减轻学生过重的课业负担，狠抓基础教学，重视“双基”训练，包括抓好概念的辨析、主要公式的记忆、数学解题程式的掌握，争取让所有学生达到新课程标准的基本要求。从今年我们的中考数学压轴题中，我们可以看到在考察学生基本运算能力、思维能力的同时，对优生还要着重考查学生灵活运用数学知识分析和解决问题的能力。因此，我们今后的数学教育教学中，对这部分学生的培养，应设计一些可考查他们灵活运用数学知识分析和解决问题的习