第6章弯曲变形

1、弯曲变形弯曲变形第第 六六 章章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形6-1 梁的挠度和转角6-2 挠曲线近似微分方程6-3 积分法求梁的变形6-4 叠加法求梁的变形6-5 简单超静定梁6-6 梁的刚度条件与合理刚度设计6-7 弯曲应变能目录6-1 梁的挠度和转角梁的挠度和转角7-11. 1. 工程中的弯曲变形工程中的弯曲变形 吊车梁变形如果过大，小车会出现爬坡现象，并引起较严重的振动。加以限制 汽车上的叠板弹簧变形越大，缓冲减震的效果就会越好。加以利用2. 2. 基本概念基本概念 挠曲线：变形后梁的轴线 ( )wf x由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计。挠度与转角的关系：dtan( )dwf

2、xx挠曲线yxxw挠度转角 挠度w：截面形心在y方向的位移。向上为正 转角：截面绕中性轴转过的角度。（挠曲线法线与y轴的夹角=挠曲线切线与x轴的夹角）逆时针为正7-2挠曲线方程挠曲线方程： F 梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲变形程度(挠曲线的曲率大小)有关，也与支座约束条件有关。 图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同，所受的外力偶矩Me也相等，显然它们的变形程度(也就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度和转角则明显不同。(a)(b) 等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况下中性层的曲率为：这也就是位于中性层内的挠曲线曲率的表达式。1MEI1. 1. 挠曲线近似微分方

3、程的导出挠曲线近似微分方程的导出6-2 挠曲线近似微分方程挠曲线近似微分方程 在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩外还有剪力。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h的10倍，此时剪力FS对梁变形的影响可忽略不计，则有： 1M xxEI从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作： 2/3211wwx 式中，等号右边有正负号是因为曲率1/为度量平面曲线(挠曲线)弯曲变形程度的非负值，而w是 = w 沿x方向的变化率，是有正负的。 图示坐标系中，正弯矩对应正的w ，负弯矩对应负的w ，故由上两式有： 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略去，于是得挠曲线近似微分方程： 3/221M x

4、wEIw M xwEI EIwM x 如图示，当全梁各横截面上的弯矩可用一个弯矩方程表示时： dEIwM xxC ddDEIwM xxxCx 上两式中的积分常数C，D由边界条件确定后即可得出梁的转角方程和挠曲线方程。6-3 积分法求梁的变形积分法求梁的变形 EIwM x 边界条件(即支座的约束条件)的示例如下图：AAAAAAAw 弹簧变形 若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积分常数。 AAAAAAAAAAAALRAAwwLRAALRAAww 要确定这些积分常数，除利用支座约束条件外，还需利用

5、相邻两段梁在交界处的光滑连续条件。这两类条件统称为边界条件。例题例题6.1 求梁的转角和挠曲线方程，并求最大转角、最大挠度，EI已知。解：解： 列弯矩方程 列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABlF( )()()M xF lxF xl ( )()EIwM xF xl 21()2EIwEIF xlC 31()6EIwF xlCxDxxw 确定积分常数解得 确定转角方程和挠曲线方程 确定最大转角和最大挠度ABxwxlF0,0 ;Ax0,0Axw2311,26CFlDFl 2211()22EIF xlFl323111()626EIwF xlFl xFl23maxmax,(),23FlFlx

6、lwEIEI （ ）BBw例题例题6.2 求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角、最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，ab。解：解： 由梁整体平衡得： 列弯矩方程AC 段段：CB 段段：abACBF,AyByFbFaFFll 1111,0AyFbM xF xxxal222222()(),AyFbM xF xF xaxF xaaxllxwAyFByF1x2x 列挠曲线近似微分方程并积分AC 段：10 xa111( )FbEIwM xxl121112FbEIwEIxCl 1311 116FbEIwxC xDl2222()()FbEIwM xxF xal 2222222()22FbFEIwEIxx

7、aCl 23322222()66FbFEIwxxaC xDlCB 段：2axlabACBFxwAyFByF1x2x 确定积分常数代入求解，得支座约束条件光滑连续条件11220,(0)0,( )0 xwxlw l12121212,( )( ),( )( )xxaaaxxaw aw a312121660FbCCFbllDD abACBFxwAyFByF1x2x 确定转角方程和挠曲线方程AC 段：段：10 xaCB 段：段：2axl12221()26FbFbEIxlbll132211()66FbFbEIwxlbxll2222222()()226FbFFbEIxxalbll33222222()()66

8、6FbFFbEIwxxalbxllabACBFxwAyFByF1x2x 确定最大转角和最大挠度令 得，11d0dx令 得，22d0dxmax=Bab 根据图示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax在左段梁内。令 得，11d0dwx223221max(),( )39 3FblblbxwEIl 在工程计算中，只要简支梁的挠曲线上没有拐点都可用跨中挠度代替最大挠度。()6AFablblEI ()6BFablaEIl（） maxwDBAACxwBFab讨讨 论论积分法求变形有什么优缺点？作业：作业：6-57-46-4 叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形 在线弹性和小变形范围内，梁的挠度和转角均与载荷在线

9、弹性和小变形范围内，梁的挠度和转角均与载荷成线性关系。成线性关系。当梁上有若干载荷作用时，梁某个截面处的挠度和转角就等于每个载荷单独作用下该截面挠度和转角的代数和。这就是计算梁位移的叠加原理叠加原理。 在简单载荷作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，及简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在表表6.16.1中给出。根据这些资料灵活运用叠加原理，往往可较方便地计算复杂载荷情况下梁指定截面的挠度和转角。例题例题6.3 图示简支梁，q、l、EI均已知。求wC 、B。 将梁上的载荷分解 查表：解：解：415384CqlwEI 3124BqlEI4248CqlwEI 3216BqlEI4316Cqlw

10、EI333BqlEI 应用叠加法叠加法，将简单载荷作用时的结果求和 4443145384481611( )384CCiiqlqlqlwwEIEIEIqlEI 3333132416311()48BBiiqlqlqlEIEIEIqlEI 例题例题6.4 图示悬臂梁，q、l、EI均为已知。求wC和C。 将载荷变为有表可查 为利用梁全长受均布载荷的已知结果，先将均布载荷延长至梁的全长。Cw解：解： 为不改变原载荷的作用效果，在AB 段加上集度相同、方向相反的均布载荷。 2Cw1Cw2Bw 将结果叠加 计算两种载荷下的wC和C 。 418CqlwEI 316CqlEI 222432128482CBBlw

11、wqlqllEIEI3248CqlEI41241+( )384CCCqlwwwEI 3127+()48CCCqlEI 例题例题6.5 试用叠加法求图示等直外伸梁的 B 、 wA和wD。解：解：为利用表6.1中简支梁和悬臂梁的挠度和转角，将外伸梁看作由悬臂梁悬臂梁和简支梁简支梁连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 和弯矩 应当作为外力和外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也应与 的正负相对应，如图b、c所示。L2BMqa LLSBBFM、LS2BFqa 图c中所示简支梁BC的受力情况受力情况以及支座约束情况支座约束情况与原外伸梁BC段完全相同。注意：简支梁B支座左侧的外力2

12、qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲。可知按图d和图e所示情况求Bq， BM 和 wDq，wDM 并叠加后得原外伸梁的 B和wD。42242251( )3841624DDqDMqaqaaqawwwEIEIEI 323221 2433BBqBMqaqaaqaEIEIEI 图b所示悬臂梁AB的受力情况受力情况与原外伸梁AB段相同，但要注意：原外伸梁的B支座截面是可以转动的支座截面是可以转动的，其转角就是上面求得的 B，由此引起的A端挠度w1= Ba应叠加到图b所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA ： 1243421387 12Awwwq aqaaEIEIqaEI 讨讨 论论叠加法

13、求变形有什么优缺点？作业：作业：6-171. 基本概念基本概念超静定梁：支反力数大于平衡方程数的梁多余约束：从维持平衡角度而言多余的约束超静定次数：多余约束或多余支反力的数目2. 求解步骤求解步骤 解除多余约束，建立相当系统（优先以悬臂梁为静定基） 比较变形，列变形协调条件 计算变形，并带入变形协调条件求出多余约束力 利用静力平衡条件求其它约束反力静定基：撤除多余约束后得到的基本静定系统7-66-5 简单超静定梁简单超静定梁相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统解：解：例题例题6.6 试作图示梁的内力图。 该梁为一次超静定 去掉B处的多余约束，以悬臂梁为静定基，并代之以多余约束力FB，得

14、原超静定梁的相当系统。 比较变形，列出变形协调条件 相当系统在B点的挠度应为零()()0BBBFBFwww 由物理关系求出多余约束力 由整体平衡求其它约束反力 48BqqlwEI 33BBBFF lwEI34083BBBBqBFF lqlwwwEIEI qlFB83 25188AyAFqlMql逆 作梁的内力图作业：作业：6-286-281. 1. 梁的刚度校核梁的刚度校核 式中，l为跨长， 为许可挠跨比许可挠跨比， 为许可转角许可转角。lwlwlwmaxmax6-6 梁的刚度条件与合理刚度设计梁的刚度条件与合理刚度设计 土木工程中通常只限制梁的挠跨比， 。在机械工程中，对于主要的轴， ；对于

15、传动轴还要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角， 。100012501lw10000150001lw rad001. 0005. 02. 2. 提高梁的刚度的措施提高梁的刚度的措施(1) 增大梁的弯曲刚度EI 由于不同牌号钢材的弹性模量弹性模量大致相同(E210 GPa)，故从增大梁的弯曲刚度来说采用高强度钢并无明显好处。 为增大梁的弯曲刚度，横截面宜采用使截面面积尽可能分布在距中性轴较远的形状，以增大截面对于中性轴的惯性矩惯性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨长为l 的简支梁受集度为q的满布均布荷载时，最大弯矩和最大挠度均出现在跨中，它们分别为22max125. 08qlqlM44max50

16、.013( )384qlqlwEIEI (2) 调整跨长和改变结构的体系 如果将两个铰支座各内移一个距离a而成为图示外伸梁，且a=0.207l，则不仅最大弯矩减小为而且跨中挠度减小为22max0214. 02qlqaMMMMBAC4max0.000616( )CqlwwEI 而此时外伸端D和E的挠度也仅为40.000207( )DEqlwwEI 所谓改变结构的体系改变结构的体系来提高梁的刚度，是指增加梁的支座约束使静定梁成为超静定梁。例如在悬臂梁的自由端增加一个铰支座，又如在简支梁的跨中增加一个铰支座。 等直梁在线弹性范围内纯弯曲时，其曲率 为常量，挠曲线为一圆弧，梁的两个端面在弯曲后对应的圆心角为：1MEIEIlMEIMlle6-7 弯曲应变能弯曲应变能 下图中表示出了Me与的线性关系。斜直线下的三角形面积即代表外力偶之矩由零增大到最终值Me 过程中，外力外力偶所作的功偶所作的功：它在数值上就等于梁在纯弯曲时的应变能应变能：1122eVMM将