GPS 高程拟合模型误差的最小二乘配置补偿

1、GPS高程拟合模型误差的最小二乘配置补偿李冲 季灵运 张冬菊(长安大学地质工程与测绘工程学院 西安 710054)摘 要：运用常规的拟合模型求解大范围高程异常必然存在较大的模型误差，鉴于模型误差的不确定性，可以将模型误差看作信号采用最小二乘配置法来处理，本文给出了具体模型和计算方法,并对一个大测区的GPS水准数据进行解算，获得了满意的结果。最后通过算例分析了先验中误差对模型精度的影响。关键词：高程异常 模型误差 最小二乘配置 信号 协方差1 引言GPS测量已广泛应用于实践，采用GPS技术进行控制网观测，可达到优于12ppm的基线精度，转换成坐标，可得到高精度的大地高。但我国用的高程系统是基于似

2、大地水准面的正常高系统。因此，如何求取高精度的高程异常成为GPS代替传统水准的关键。目前常用的方法有多项式拟合法，神经网络法，样条函数法，移去恢复法等。多项式拟合法具有程序设计简单，直观，易操作等优点。但是由于其没有顾及到似大地水准面的物理性质，拟合函数始终只能是高程异常的趋势面，与高程异常的实际值必然会有一定差异，由于似大地水准面是一个非常复杂且不规则的曲面，这种差异可以解释为拟合模型的不准确造成，理论上讲，由于地壳的不均衡和地形起伏的影响，拟合模型在不同点的高程异常拟合误差可以看作是随机函数，即所谓的信号，采用最小二乘配置法来处理。2 最小二乘配置原理2.1 数学模型 （1）(X为系统性参

3、数，Y为随机性参数 ) （2） 2.2 估值公式 （3） （4） 构造极值函数12 （5）令 有 （6） 有 （7） （8）（6），（7），（8）式结合（3）式得 （9） （10） （11）顾及得计算X，Y平差值得实用公式： （12） （13）3 协方差函数的确定由（12），（13）式可以看出，求解，的关键是确定。严格来说，协方差阵各元素应该通过大量观测数据经统计得出。介于实际条件的限制，这不可能实现。通常采用协方差函数来确定。使用比较广泛的有高斯函数3（d为两点之间的距离，k为参数）。由于经验协方差函数不具有物理意义且其参数的选取还没有成熟的理论依据。本文的思想是将配置模型中的信号看作与模型

4、误差有关的量，由于Y是随机性参数，其主要作用是将高程异常趋势面与实际高程异常的差异作为信号参与模型平差，而模型误差产生原因未知，但其主要反映的也是拟合高程异常趋势面与实际高程异常的差异，所以当模型误差存在时可以近似的认为4 表1 GPS测区数据点 号 坐标（X） 坐标（Y） 高程异常 点号 坐标（X） 坐标（Y） 高程异常GZ01 3898355.158 503545.680 -9.889 GZ13 3896869.951 502721.508 -9.920 GZ02 3897853.977 503127.228 -9.909 GZ14 3897504.722 503382.053 -9.90

5、4 GZ03 3897430.090 502766.579 -9.867 GZ15 3898421.693 504078.446 -9.812 GZ04 3897108.797 502474.698 -9.885 GZ16 3896942.654 503224.419 -9.797 GZ05 3896787.254 502196.288 -9.891 GZ17 3897933.797 504234.854 -9.840 GZ06 3896762.544 504972.870 -9.905 GZ18 3897658.140 504004.216 -9.881 GZ07 3896809.491 5

6、04234.074 -9.968 GZ19 3897240.237 503526.748 -9.914 GZ08 3896648.477 503835.243 -9.986 GZ20 3896805.849 503073.362 -9.942 GZ09 3896374.216 503364.758 -10.013 GZ21 3896637.104 502950.636 -9.975 GZ10 3895917.833 503242.197 -10.081 GZ22 3896374.865 502658.821 -9.985 GZ11 3896265.768 502757.228 -10.046

7、GZ23 3896398.945 503098.644 -10.055 GZ12 3896436.015 502411.624 -9.865 GZ24 3896786.061 503357.630 -9.952 GZ25 3898391.822 504597.136 -9.968 4 算例某地区的GPS网共有25个GPS点，全部联测三等水准，表1列出了所有GPS点的平面位置和计算所的高程异常。=0.01m由于本地区地势比较平坦，故采用平面拟合法。1） 采用常规平面拟合时，其模型为 采用最小二乘法得：= -286.20148； = 0.00007396； =-0.00002376。由此求得的拟合

8、残差及中误差见表2表2 常规拟合残差表点号残差(m)点号残差(m)点号残差(m)点号残差(m)拟合中误差(m)GZ010.050GZ080.013GZ15-0.035GZ220.020.058GZ020.042GZ090.031GZ16-0.139GZ230.082GZ03-0.022GZ100.069GZ17-0.047GZ240.001GZ04-0.021GZ110.071GZ18-0.021GZ250.106GZ05-0.032GZ12-0.089GZ19-0.007GZ06-0.086GZ13-0.01GZ20-0.001GZ07-0.002GZ140.006GZ210.0232） 将

9、模型误差看作随机函数的最小二乘配置法其模型为： ( X=， T)顾及下列三式及（12）、（13）式 解得=-286.2015 =0.00007 =-0.000024拟合残差、中误差及信号值见表3。表3最小二乘配置拟合结果点号信号S残差(m) 点号信号S残差(m) 点号S信号S残差GZ01-0.0480.001GZ10-0.0670.002GZ190.0070.000GZ02-0.0410.001GZ11-0.0690.002GZ200.0010.000GZ030.022-0.001GZ120.087-0.003GZ21-0.0220.001GZ040.021-0.001GZ130.009-0.

10、0003GZ22-0.0190.001GZ050.031-0.001GZ14-0.0050.0002GZ23-0.0790.002GZ060.084-0.003GZ150.034-0.001GZ24-0.0010.000GZ070.0020.0002GZ160.135-0.004GZ25-0.1030.003GZ08-0.0130.0004GZ170.046-0.001GZ09-0.030.001GZ180.020-0.001拟合中误差(m) 0.0017m3） 两种方法的残差比较图如下：由上表3及残差比较图可看出，将模型误差看作信号的最小二乘配置法解算的结果非常理想。拟合残差最大仅4mm，很

11、多点的拟合残差都不足1mm。拟合中误差不到2mm。而系统性参数的解算结果没有多大变化，这说明模型误差被大幅度削减。4）考虑到本地区的高程异常数据先验中误差比较小，为了找出起始误差对本模型的影响，人为的令先验中误差分别为m1=0.03m，m2=0.05m，m3=0.08m进行解算。发现拟合系数基本没有变化，拟合中误差分别为=0.012m，=0.025m，=0.038m，拟合残差图见下图。从拟合中误差及上面残差比较图可以发现，当先验中误差越大时，拟合效果越差，但仍比常规拟合模型效果要好。5 结论1）由以上算例可知，即使比较平坦的地区，运用常规的平面拟合模型仍会含有较大模型误差。运用最小二乘配置法处理后，其解算精度大幅度提高。最小二乘配置模型中信号的协方差阵的确定是关键问题，将模型误差视作信号，使用来确定信号的协方差函数方法，计算简便，经算例验证，获得了满意的结果。2）随着拟合数据先验中误差的增大，最小二乘配置模型的解算精度逐渐降低，但仍优于常规模型。当先验中误差小于5个厘米时，其解算精度很高。目前应用GPS方法解算大地高的精度已经可以轻松达到厘米级，条件好时可以达到毫米级，这说明运用最小二乘配置模型进行GPS高程拟合具有很大的优越性。参考文献1 於