第十章动量矩定理

1、1转动惯量转动惯量4质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理第十章第十章 动量矩定理动量矩定理2质点系的动量矩质点系的动量矩3刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程5刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程质点质点质点系质点系动量定理：动量定理：动量的改变动量的改变外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 若当质心为固定轴上一点时，若当质心为固定轴上一点时，v vC C=0=0，则其动量恒等于零，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系却受外力的作用。质心无运动，可是质点系却受外力的作用。动量矩定理建立了动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外质点和质点系相对于某固定点

2、（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。质心运动定理质心运动定理：质心的运动变化质心的运动变化外力（外力系主矢）外力（外力系主矢）10-1 10-1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量一定义一定义：OxyzirlixiyizyihxihzihiMi2iilmJ刚体对坐标轴的转动惯量刚体对坐标轴的转动惯量 )yz(mJiiix22 )xz(mJiiiy22 )xy(mJiiiz22 )zyx(mrmJiiiiii22220)JJJzyx （21若刚体的质量是连续分布，则若刚体的质量是连续分布，则2Oi iJm r 2OmJr dm 刚

3、体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。 转动惯量恒为正值，国际单位制中单位转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kgkgm m2 2 。二转动惯量的计算二转动惯量的计算 1. 1. 简单形状物体的转动惯量计算简单形状物体的转动惯量计算(1)(1)均质细直杆对一端的转动惯量均质细直杆对一端的转动惯量 3d320lxxJlllz231mlJzlml由由 ，得，得2zmJr dm 420224ROAARJ(rr r ) d222mRmRRmJiiz（2 2）均质薄圆环对

4、中心轴的转动惯量）均质薄圆环对中心轴的转动惯量Aiiirrmd2（3 3）均质圆板对中心轴的转动惯量）均质圆板对中心轴的转动惯量2RmA式中式中：212OJmR 或或2. 2. 回转半径回转半径由所定义的长度由所定义的长度 称为刚体对称为刚体对 z z 轴的回转半径。轴的回转半径。zJm z2zzJm 对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。转半径是相同的。z 在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已在机械工程设计手

5、册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。刚体的，以供参考。zzJ 和和3. 3. 平行移轴定理平行移轴定理同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。同一个刚体对不同轴的转动惯量一般是不相同的。2zzCJJmd 刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的刚体对某轴的转动惯量等于刚体对通过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离的平方之乘积。222zCi iiiiJm rm ( xy) 222zi

6、iiiiJm r m ( x y ) 2222iiiiiim ( xy)(m )ddm y 证明证明：设质量为设质量为m m 的刚体，质心为的刚体，质心为C C，CzzO/ )( , 22dyxmJdyyxxiiiziiiiQ20iiiCzzCmm , m ymy JJmd Q刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值刚体对通过质心轴的转动惯量具有最小值。例例1：均质细直杆，已知：均质细直杆，已知 .m,lCz求：对过质心且垂直于杆的求：对过质心且垂直于杆的 轴的转动惯量。轴的转动惯量。z 对一端的对一端的 轴，有轴，有解：解：231mlJz22212zCzlmlJJm()则则当物体由几个几何形状规

7、则的物体组成时，可先计算每一部当物体由几个几何形状规则的物体组成时，可先计算每一部分的转动惯量分的转动惯量, , 然后再加起来然后再加起来, ,就是整个物体的转动惯量。就是整个物体的转动惯量。 若若物体有空心部分物体有空心部分, , 要把此部分的转动惯量视为负值来处理。要把此部分的转动惯量视为负值来处理。4 4计算转动惯量的组合法计算转动惯量的组合法OOOJJJ 杆杆盘盘2221221132m lm Rm (lR)222121132432m lm ( RllR ) 解：解： 例例22 钟摆：钟摆： 均质直杆均质直杆m m1 1, ,l l ； 均质圆盘：均质圆盘：m m2 2 , , R R

8、。 求求 J JO O 。5 5实验法实验法O例：求对例：求对 轴的转动惯量轴的转动惯量.将曲柄悬挂在轴将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动上，作微幅摆动. .2JTmgl 由由其中其中 已知已知, 可测得，从而求得可测得，从而求得 .m,lTJ解解：6. 6. 查表法查表法均质物体的转动惯量均质物体的转动惯量薄壁圆薄壁圆筒筒细直杆细直杆体积体积惯性半径惯性半径转动惯量转动惯量简简 图图物体的物体的形状形状212CzmJl 23zmJl 2 3Czl 3zl 2zJmR zR 2 Rlh 薄壁空薄壁空心球心球空心空心圆柱圆柱圆柱圆柱22212312ZxyJmRJJm( Rl ) 2221312zx

9、yR( Rl ) lR2222zmJ( Rr )2212z( Rr ) 22l( Rr ) 223zJmR 23zR 32Rh 圆环圆环圆锥体圆锥体实心球实心球225ZJmR 25zR 334R 2223103480ZxyJmrJJm( rl ) 223103480zxyr( rl ) 23r l 2234ZJm( Rr )2234zRr 222r R 矩形矩形薄板薄板长方体长方体椭圆形椭圆形薄板薄板2222444ZyymJ(ab )mJamJb 221222zxyabab abh222222121212ZyymJ(ab )mJ(ac )mJ(bc )222222112112112zxy(ab

10、 )(ac )(bc ) abc2222121212ZyymJ(ab )mJamJb 221120 2890 289zxy(ab ).a.b abh10-2 10-2 质点和质点系的动量矩质点和质点系的动量矩一、质点的动量矩一、质点的动量矩对点对点O的动量矩的动量矩()OMmvrmv对对 z z 轴的动量矩轴的动量矩()()zOxyMmvMmv 代数量代数量,从从 z 轴正向看轴正向看, 逆时针为正逆时针为正,顺时针为顺时针为 负负.()()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv 1()nzziiiLMmv 单位单位:kgm2/s 二、质点系的动量矩二、质点系的动量矩 对点的动量矩对点的

11、动量矩 对轴的动量矩对轴的动量矩OzzLLOxyzLL iL jL k 即即 iiiiizzrvmvmML)(2ii ii izmrrm rJ （1 1） 刚体平移刚体平移.可将全部质量集中于质心可将全部质量集中于质心,作为一个质点来计算作为一个质点来计算.()zzCLMmv()OOCLMmv,（2 2） 刚体绕定轴转动刚体绕定轴转动（3 3） 刚体做平面运动刚体做平面运动zzCCLm (mv )J 平面运动刚体对垂直于平面运动刚体对垂直于质量对称平面质量对称平面的固定轴的的固定轴的动量矩，等于动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩动量对该轴的动量矩

12、与与绕质心轴作转动时的动量矩绕质心轴作转动时的动量矩之和。之和。32221112vvRR 1223232222OJJL(mm )R vRROCOBOAOLLLL 1122222332J( Jm v R )m v R 解解： 例例33 滑轮滑轮A A：m m1 1，R R1 1，R R1 1=2=2R R2 2，J J1 1 滑轮滑轮B B：m m2 2，R R2 2，J J2 2 ；物体；物体C C：m m3 3 求系统对求系统对O O轴的动量矩。轴的动量矩。dd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt 10-3 10-3 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 一、质点的动量矩定

13、理一、质点的动量矩定理设设O为定点为定点,有有0vmvd()dmvFt其中其中:ddrvt （O为定点）为定点）d()( )dxxMmvMFtd()( )dyyMmvMFtd()( )dzzMmvMFt投影式投影式:d()( )dOOMmvMFt因此因此 称为称为质点的动量矩定理质点的动量矩定理:质点对某定点的动量矩对质点对某定点的动量矩对时间的时间的一阶导数一阶导数,等于作用力对同一点的矩等于作用力对同一点的矩.ddd()()dddOOi iOi iLMmvMmvttt( )d()deOOiLMFt 得得称为称为质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理:质点系对某定点质点系对某定点O的动量矩对的

14、动量矩对时间的导数时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和矢量和.( )( )d()()()dieOiiOiOiMmvMFMFt( )( )d()()()dieOi iOiOiMmvMFMFt 二、二、 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理 由于由于 ( )()0iOiMF( )d()dexxiLMFt ( )d()dyeyiLMFt 投影式投影式:( )d()dezziLMFt 内力不能改变质点系的动量矩内力不能改变质点系的动量矩.RmgMMeOsin)(RmgMmvRJtsindd22sinmRJmgRMRa例例4 4 已知：已知： ,

15、 ,小车不计摩擦小车不计摩擦. .,MJRma求求:小车的加速度小车的加速度 .RvmJLO解解:Rvatvdd由由 , ， 得得例例5 5：已知：已知 , , , , , , , , , , , ,不计摩擦不计摩擦. .mOJ1m2m1r2r求求: :（1 1）NF （2 2）O处约束力处约束力 （3 3）绳索张力绳索张力 ，1TF2TF)(222211rmrmJO222111rvmrvmJLOO解：解：(1)(1)( )1 12 2()()eOMFm rm r g2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO 由由 ,得得( )d()deOOLMFt （2）由质心运动定理由质心运动定

16、理CyNammmgmmmF)()(2121212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy 111111rmamFgmT)(111rgmFT)()(221121rmrmgmmmFN （3） 研究研究1m222222rmamgmFT)(222rgmFT2m（4）研究研究三、三、质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理1 1对质心的动量矩对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmv(0)i iCmrrm 因有有CiiirLrmv由于由于iCirvvvCiiCiiirLrmvrmv得得( )0iiCiiCrmvmrv其中其中即：即：无论是以相对速度或以绝对

17、速度计算质点系对于无论是以相对速度或以绝对速度计算质点系对于 质心的动量矩其结果相同质心的动量矩其结果相同.OCiiiCiiiiiLrrmvrmvrmv,iiCiiiCmvm vrmvLOCCCLrmvLOCCMmvL对任一点对任一点O的动量矩：的动量矩： ddddeOCCCiiLrmvLrFtt2 2 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理 eeCiiirFrFdd,0ddCCCCrrvmvtt由于由于ddddddCCCCCrLmvrmvttt即即 ddeCCCirmvrFt eeCiCirFrF质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩定理: 质点系相对于质心的动量矩质点系相对

18、于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩. ddeCiiLrFt得得 d()deCCiLMFt或或四、动量矩守恒定律四、动量矩守恒定律若若 , ( )()0eOMF若若 , 则则 常量。常量。( )()0ezMFzL OL 则则 常矢量；常矢量； 质点系动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只质点系动量矩定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。有外力才能改变质点系的动量矩。解解: 取整个系统为研究对象，取整个系统为研究对象， 受力分析如图示。受力分析如图示。 运动分析：运动分析： v v =

19、= rPPrPrPMBABAeO)()(ABOOPPLv rv rJgg 22122OOABPrPJr , L( PP)gg 将将代代入入得得由动量矩定理：由动量矩定理：22ABABdrP( PP)( PP )rdtg 2ABABPPdgdtrPPP / 例例6 已知已知: : ABPP ; P ; r 。求求。解解： 系统的动量矩守恒。系统的动量矩守恒。0(e)Om (F) , 0AABAm v rm (vv )r 2Avv 猴猴A A与猴与猴B B向上的绝对速度是一样的向上的绝对速度是一样的, ,均为均为 。2v例例7 已知：猴子已知：猴子A A重重 = = 猴子猴子B B重，猴重，猴B

20、B以相对绳速度以相对绳速度上爬，猴上爬，猴A A不动，问当猴不动，问当猴B B向上爬时，猴向上爬时，猴A A将如何动？将如何动？动的速度多大？（轮重不计）动的速度多大？（轮重不计）v 10-410-4刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程对于对于一个定轴转动刚体一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有代入质点系动量矩定理，有zzLJ zzd(J)M (F )dt d( )dzzJMFt 即即:( )zzJMF 或或22d( )dzzJMFt 或或转动转动微分微分方程方程 特殊情况特殊情况： 若若 , ,则则 恒量，刚体作匀速转动恒量，刚体作匀速转动或保持静止。或保持静止。 若若 常量，则常量

21、，则 = = 常量，刚体作匀变速转动。常量，刚体作匀变速转动。将将 与与 比较，刚体的转动惯量比较，刚体的转动惯量 是刚是刚体转动惯性的度量。体转动惯性的度量。0(e)(e)zzMm (F) , 0( e )zM ( e )zzJM maF zJ解决两类问题解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。 例例8: 已知已知: ，求，求 .12, ,R J

22、 F FRFFJ)(21JRFF)(21解解:求微小摆动的周期求微小摆动的周期 .例例9 ： 物理摆（复摆），已知物理摆（复摆），已知 ，aJmO,22dsindOJmgat 解解：sin微小摆动时，微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即即：)sin(tJmgaOO通解为通解为 称称角振幅角振幅， 称称初相位初相位，由初始条件确定，由初始条件确定.OmgaJTO2周期周期求：制动所需时间求：制动所需时间 .t例例10： 已知：已知： ，动滑动摩擦系数，动滑动摩擦系数 ，RFJNO,0f000ddtONJfF R t0ONJtfF RddONJFRf F Rt解解：例例11 提

23、升装置中，轮提升装置中，轮A、B的重量分别为的重量分别为P1 、 P2 ,半径分别半径分别为为 r1 、 r2 , 可视为均质圆盘可视为均质圆盘; 物体物体C 的重的重量为量为P3 ; 轮轮A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求求 物体物体C上升的加速度。上升的加速度。取轮取轮B连同物体连同物体C为研究对象为研究对象23222223212PPd(rvr )TrP r (2)dtgg 21111112PrMTr (1)g 解解: 取轮取轮A为研究对象为研究对象补充运动学条件补充运动学条件22221 1rv, rar化简化简(1) 得：得：化简化简(2) 得：得：23322PPaTPg 1112PM

24、aTgr 11312322M / rPagPPP 【例【例1212】均质直杆】均质直杆AB和和OD, ,长度都是长度都是l，质量均为，质量均为m，垂直，垂直地固接成丁字形地固接成丁字形, ,且且D为为AB的中点，如图所示。此丁字杆可的中点，如图所示。此丁字杆可绕过点绕过点O的固定轴转动，开始时的固定轴转动，开始时OD段静止于水平位置。求段静止于水平位置。求杆转过杆转过 角时的角速度和角加速度。角时的角速度和角加速度。 A OxF OyF O gm2 D B C A OxF OyF O gm2 D B C ( )OOiJM F 解：选丁字杆为研究对象，进行受力分析。如图所示。解：选丁字杆为研究对

25、象，进行受力分析。如图所示。应用刚体定轴转动微分方程，有应用刚体定轴转动微分方程，有 由平行移轴定理，有由平行移轴定理，有 2222121712131mlmlmlmlJO质心质心C到转轴到转轴O的距离为的距离为OC=3l/4。故有。故有cos23cos432)(mgllmgMOF将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得将以上两式代入刚体定轴转动微分方程得 cos2312172mglml解得杆的角加速度为解得杆的角加速度为 cos1718lg ddddddt刚体定轴转动微分方程可写为刚体定轴转动微分方程可写为dcos1718dlg两边积分，并利用初始条件，可得两边积分，并利用初始条件，可得 0 01

26、8dcosd17gl 解得杆的角速度解得杆的角速度为为 lg17sin6 A OxF OyF O gm2 D B C 一、刚体平面运动微分方程一、刚体平面运动微分方程 设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系设有一平面运动刚体具有质量对称平面，力系可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形可以简化为该平面内的一个力系。取质量对称平面为平面图形S，质心一定位于质心一定位于S内。内。12nF ,F ,F 取质心取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为为动系原点，则此平面运动可分解为 随质心随质心C的平动的平动 (xC , yC) 绕质心绕质心C的转动的转动 （ ）可通过质心运动定理和相

27、对质心的动量可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。矩定理来确定。10-5 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程写成写成投影形式投影形式( e )C xixC yiyCCmaF , maF , J m (F) 或或( e )CixCiyCCmxF , myF , J m (F) 上式称为上式称为平面运动微分方程平面运动微分方程。(e )CCC maF , Jm (F) C rC rCCCdLLJ , J Jdt Q 例例13 13 半径为半径为r，质量为，质量为m 的均质圆轮沿水平直线的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示滚动，如图所示. .设轮的惯性半径为设轮的惯性半径为 ，作用于轮

28、的力，作用于轮的力偶矩为偶矩为M. .求轮心的加速度求轮心的加速度. .如果圆轮对地面的滑动摩擦如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为因数为fs，问力偶，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动必须符合什么条件不致使圆轮滑动? ?CM解解：FrMmmgFmaFmaCNCyCx2其中其中raaaaCCCxCy, 0得得mgFmaFrrFMrmMraNCCCC,2222纯滚动的条件纯滚动的条件：NsFfF 即即rrmgfMCs22 例例14 均质圆轮半径为均质圆轮半径为r质量为质量为m ， 受到轻微扰动，半径为受到轻微扰动，半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示。设表面足够粗糙，使圆轮在的圆弧上往复滚动，如图所

29、示。设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动滚动时无滑动. 求求:质心质心C的运动规律。的运动规律。ratC由于由于21, sin2tCCaSJmr很小解解:sinmgFmatCCJFr cos2mgFrRvmNCrRs其解为其解为)sin(00tss式中式中rRg3220运动方程为运动方程为trRggrRvs32sin230grRvs23,000得得0dd2322srRgts得得0t由由 时时, 00vss O r r A B 【例【例1515】均质圆柱体】均质圆柱体A和和B的重量均为的重量均为P，半径均为，半径均为r，一绳，一绳缠在绕固定轴缠在绕固定轴O转动的圆柱体转动的圆柱体A上，绳的另一端

30、绕在圆柱体上，绳的另一端绕在圆柱体B上，如图所示。不计摩擦及绳子自重。求：上，如图所示。不计摩擦及绳子自重。求：(1) (1) 圆柱体圆柱体B下降时质心的加速度；下降时质心的加速度；(2) (2) 若在圆柱体若在圆柱体A上作用一逆时针上作用一逆时针转向的转矩转向的转矩M，试问在什么条件下圆柱体，试问在什么条件下圆柱体B的质心将上升。的质心将上升。 B P B T F Ba C O A O yF P A O xF TF 解：分别取轮解：分别取轮A和和B为研究对象，为研究对象，受力如图所示。轮受力如图所示。轮A做定轴转动，做定轴转动，轮轮B做平面运动。对轮做平面运动。对轮A应用刚体应用刚体定轴转动微分方程，有定轴转