新课标人教A版高中数学必修五第三章第3节《简单线性规划问题》专题练习

1、简单的线性规划问题知识点一线性规划中的根本概念名称意义约束条件关于变量x ,y的一次不等式(组)线性约束条件关于x ,y的一次不等式(组)目标函数欲求最大值或最小值的关于变量x ,y的函数解析式线性目标函数关于变量x ,y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解(x ,y)可行域由所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题知识点二线性规划问题1.目标函数的最值线性目标函数zaxby (b0)对应的斜截式直线方程是yx ,在y轴上的截距是 ,当z变化时 ,方程表示一组互相平行的直线.当b>0 ,截距最大时 ,z

2、取得最大值 ,截距最小时 ,z取得最小值；当b<0 ,截距最大时 ,z取得最小值 ,截距最小时 ,z取得最大值.2.解决简单线性规划问题的一般步骤在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下 ,解决简单线性规划问题的步骤可以概括为：“画、移、求、答四步 ,即 ,(1)画：根据线性约束条件 ,在平面直角坐标系中 ,把可行域表示的平面图形准确地画出来 ,可行域可以是封闭的多边形 ,也可以是一侧开放的无限大的平面区域.(2)移：运用数形结合的思想 ,把目标函数表示的直线平行移动 ,最先通过或最后通过的顶点(或边界)便是最优解.(3)求：解方程组求最优解 ,进而求出目标函数的最大值或最小值.(4)答

3、：写出答案.例题讲解：实数x ,y满足(1)求2xy的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值.解：不等式组表示的平面区域如图阴影局部所示.由得A(1 ,2).由得M(2 ,3).由得B(2 ,1)(1)z2xy ,y2xz.当直线y2xz经过可行域内的点M(2 ,3)时 ,直线在y轴上的截距最大 ,z也最大 ,此时zmax2×237.当直线y2xz经过可行域内的点A(1 ,2)时 ,直线在y轴上的截距最小 ,z也最小 ,此时zmin2×124. 2xy的最大值为7 ,最小值为4.(2)过原点(0 ,0)作直线l垂直于直线xy30 ,垂足为

4、N ,那么直线l的方程为yx.由得N.点N在线段AB上 ,也在可行域内 ,此时可行域内的点M到原点的距离最大 ,点N到原点的距离最小.又|OM| ,|ON| ,即 ,x2y2的最小值为 ,最大值为13.(3)表示可行域内一点(x ,y)与定点O(0 ,0)连线的斜率 ,知kOBkOA ,即2 ,的最大值为2 ,最小值为.题型一：求线性目标函数的最值问题1、 x、y满足约束条件 ,那么zx2y的最大值是3解析画出可行域(如图阴影局部所示)画直线l0：x2y0 ,平移直线l0到直线l的位置 ,直线l过点M解方程组 ,得点M(1,2)当x1 ,y2时 ,z取得最大值 ,且zmax12×23

5、2、变量x ,y满足约束条件那么zx2y的最大值为1解析作出不等式组表示的平面区域 ,得到如图的ABC及其内部 ,其中A(1 ,1) ,B(2 ,1) ,C(1 ,0) ,设zF(x ,y)x2y ,将直线l：zx2y进行平移 ,当l经过点C时 ,目标函数z到达最大值 ,z最大值F(1 ,0)13、设变量x ,y满足约束条件那么目标函数z3xy的最大值为4.解析作出可行域 ,如下图.联立解得当目标函数z3xy移到(2 ,2)时 ,z3xy有最大值4.4、实数x ,y满足约束条件那么z2x4y的最大值为8.解析由不等式组表示的可行域知 ,目标函数z在点A(0 ,2)处取得最大值8.5、设变量x

6、,y满足约束条件那么目标函数zy2x的最小值为7解析可行域如图阴影局部(含边界).令z0 ,得直线l0：y2x0 ,平移直线l0知 ,当直线l过D点时 ,z取得最小值.由得D(5 ,3).zmin32×57.6、假设x ,y满足约束条件那么zx2y的取值范围是2 ,6解析如图 ,作出可行域 ,作直线l：x2y0 ,将l向右上方平移 ,过点A(2 ,0)时 ,有最小值2 ,过点B(2 ,2)时 ,有最大值6 ,故z的取值范围为2 ,6.7、设x ,y满足求xy的取值范围.解如图 ,zxy表示直线过可行域时 ,在y轴上的截距 ,当目标函数平移至过可行域A点时 ,z有最小值.联立解得A(2

7、 ,0).z最小值2 ,z无最大值 ,xy2 ,).8、O是坐标原点 ,点A(1 ,1) ,假设点M(x ,y)为平面区域上的一个动点 ,那么·的取值范围是0 ,2解析作出可行域 ,如下图 ,因为·xy.所以设zxy ,作l0：xy0 ,易知过点P(1 ,1)时 ,z有最小值 ,zmin110；过点Q(0 ,2)时 ,z有最大值 ,zmax022 ,所以·的取值范围是0 ,2.9、设x、y满足约束条件 ,那么z2x3y5的最小值为_10_解析作出不等式组表示的平面区域 ,如图中阴影局部所示 ,由图知当z2x3y5经过点A(1 ,1)时 ,z取得最小值 ,zmin2

8、×(1)3×(1)51010、在ABC中 ,三个顶点分别为A(2,4)、B(1,2)、C(1,0) ,点P(x ,y)在ABC的内部及其边界上运动 ,那么yx的取值范围为_1,3_解析画出三角形区域如图 ,易知kAB<1 ,令zyx ,那么yxz ,作出直线l0：yx ,平移直线l0 ,当经过点C时 ,zmin1 ,当经过点B时 ,zmax3 ,题型二：非线性目标函数的最值1、变量x ,y满足条件那么(x2)2y2的最小值为5解析作出不等式组对应的平面区域 ,设z(x2)2y2 ,那么z的几何意义为区域内的点到定点D(2 ,0)的距离的平方 ,由图象知CD的距离最小

9、,此时z最小.由得即C(0 ,1) ,此时z(x2)2y2415 ,2、x ,y满足约束条件那么目标函数z的最大值为5解析x ,y满足约束条件表示的可行域如图：目标函数z4× ,目标函数的几何意义是可行域的点与(2 ,1)连线斜率的4倍 ,由题意可知：DA的斜率最大.由可得A(2 ,4) ,那么目标函数z的最大值为：5.3、实数x ,y满足那么z的取值范围是1 ,1)解析作出可行域 ,如下图 ,的几何意义是点(x ,y)与点(0 ,1)连线l的斜率 ,当直线l过B(1 ,0)时kl最小 ,最小为1.又直线l不能与直线xy0平行 ,kl1.综上 ,k1 ,1).4、那么x2y2的最小值

10、是5解析令zx2y2 ,画出可行域 ,如图阴影局部(含边界)所示 ,令d ,即可行域中的点到原点的距离 ,由图得dmin ,zmind25.5、在平面直角坐标系xOy中 ,M为不等式组所表示的区域上一动点 ,那么|OM|的最小值是_解析此题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题不等式组所表示平面区域如图 ,由图可知|OM|的最小值即O到直线xy20的距离故|OM|的最小值为6、设x ,y满足约束条件那么的最大值是()解析画出可行域如图阴影局部(含边界) ,z2 ,的几何意义是点M(1 ,1)与可行域内的点P(x ,y)连线的斜率 ,当点P移动到点N(0 ,4)时 ,斜率最大 ,最大值为5

11、,zmax2×510.应选D.7、 ,求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的范围.3z|x2y4|的最大值解析 作出可行域如图 ,并求出顶点的坐标A(1,3) ,B(3 ,1) ,C(7,9)(1)zx2y210y25x2(y5)2表示可行域内任一点(x ,y)到定点M(0,5)的距离的平方 ,过M作直线AC的垂线 ,易知垂足N在线段AC上 ,故z的最小值是|MN|2.(2)z2·表示可行域内任一点(x ,y)与定点Q连线的斜率的2倍 ,因为kQA ,kQB ,故z的范围为.3作出不等式组表示的平面区域 ,如图中阴影局部所示法一：z|x2y4|× ,其

12、几何意义为阴影区域内的点到直线x2y40的距离的倍由得点B的坐标为(7,9) ,显然点B到直线x2y40的距离最大 ,此时zmax21.法二：由图可知 ,阴影区域(可行域)内的点都在直线x2y40的上方 ,显然此时有x2y4>0 ,于是目标函数等价于zx2y4 ,即转化为一般的线性规划问题显然当直线经过点B时 ,目标函数z取得最大值 ,由得点B的坐标为(7,9) ,此时zmax21.题型三：由目标函数的最值求参数的值1、实数x ,y满足如果目标函数zxy的最小值为1 ,那么实数m等于5解析作出不等式组对应的平面区域如图：由目标函数为zxy ,得yxz ,当z1时 ,函数为yx1 ,此时对

13、应的平面区域在直线yx1的下方 ,由解得即A(2 ,3) ,同时A也在直线xym上 ,即m2352、在平面直角坐标系中 ,不等式组(a为正常数)表示的平面区域的面积是4 ,求2xy的最大值解析由题意得：S×2a×a4 ,a>0 ,a2设z2xy ,y2xz ,由 ,得(2,2) ,即z在(2,2)处取得最大值63、在如下图的坐标平面的可行域内(阴影局部且包括边界) ,目标函数zxay取得最小值的最优解有无数个 ,那么a的一个可能值为-3解析假设最优解有无数个 ,那么yx与其中一条边平行 ,三边斜率分别为 ,1 ,0与对照知a3或a1.又因为zxay取最小值 ,那么a3

14、.4、x ,y满足约束条件使zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个 ,那么a的值为1解析如图 ,作出可行域 ,作直线l：xay0 ,要使目标函数zxay(a0)取得最小值的最优解有无数个 ,那么将l向右上方平移后与直线xy5重合 ,故a15、假设x、y满足约束条件 ,目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值 ,那么a的取值范围是(4,2)解析作出可行域如下图 ,由可得：1<<2 ,即4<a<26、变量x ,y满足的约束条件为假设目标函数zaxy(其中a0)仅在点(3,0)处取得最大值 ,求a的取值范围解析 依据约束条件 ,画出可行域直线x2y30的斜率k1 ,

15、目标函数zaxy(a0)对应直线的斜率k2a ,假设符合题意 ,那么需k1k2.即a ,得a.7、x ,y满足约束条件假设zyax取得最大值的最优解不唯一 ,那么实数a的值为2或1解析 如图 ,由yaxz知z的几何意义是直线在y轴上的截距 ,故当a0时 ,要使zyax取得最大值的最优解不唯一 ,那么a2；当a2时 ,要使zyax取得最大值的最优解不唯一 ,那么a1.8、假设变量x ,y满足约束条件且z2xy的最小值为6 ,那么k2解析如图 ,画出可行域 ,l0：2xy0 ,当l0：2xy0运动到过点A(k ,k)时 ,目标函数取得最小值6 ,所以2kk6 ,k2.题型四：线性规划的实际应用1、

16、某公司方案2019年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300 min的广告 ,广告费用不超过9万元 ,甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/min和200元/min.甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元 ,问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间 ,才能使公司的收益最大？最大收益是多少万元？解设公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为x min和y min ,总收益为z元.由题意 ,得目标函数z3 000x2 000y.二元一次不等式组等价于作出可行域如图阴影局部所示 ,当直线z3 000x2 000y过点M时 ,z最大.由得M(100 ,200).所以zmax3 000×1002 000×200700 000(元)70(万元).所以该公司在甲电视台做100 min广告 ,在乙电视台做200 min广告 ,公司收益