高三复习：导数的概念

1、导数的概念和求导 知识回顾：(1)导数的定义：设函数在处附近有定义，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即(2)导数的几何意义：是曲线上点（）处的切线的斜率因此，如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为(3)导函数(导数):如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数， (4)可导: 如果函数在开区间内每一点都有导数，则称函数在开区间内可导(5)可导与连续的关系：如果函数y=f(x)在点x0处可导，那么函数y=f(x)在

2、点x0处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.(6)求函数的导数的一般方法：（1）求函数的改变量（2）求平均变化率（3）取极限，得导数 (7) 常见函数的导数公式：；对数函数的导数： 指数函数的导数： (8)法则1 法则2 , 法则3 (9)复合函数的导数：设函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f( (x)在点x处也有导数，且 或fx( (x)=f(u) (x).(10)复合函数求导的基本步骤是：分解求导相乘回代 体验高考：1.已知曲线的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为（ ）A

3、3B2C1DA2.是的导函数，则的值是33.曲线在点处的切线方程是4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则 25.若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）A B C D解：与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A如何求函数的导数：例1 求f(x)=sinx2的导数.解：令y=f(x)=sinu; u=x2=(sinu)u(x2)x=cosu2x=cosx22x=2xcosx2f(x)=2xcosx2例2求y=sin2(2x+)的导数.分析: 设u=sin(2x+)时，求ux，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.解：令y=u2，u=s

4、in(2x+)，再令u=sinv，v=2x+=yu(uvvx)yx=yuuvvx=(u2)u(sinv)v(2x+)x=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=4sin(2x+)cos(2x+)=2sin(4x+)即yx=2sin(4x+)例3函数的导数.解：设，则 例4求的导数解：，例5 y= 解：y=(2x21)3y=(2x21)3=3(2x21)4(2x21)=3(2x21)4(4x)=12x(2x21)4例6 y=解：y=y=(3x+1)= (3x+1)(3x+1)= (3x+1)3= (3x+1).有的函数要先进行变形，化成幂函数的形式，这样求导起来会比较方便.例7 y=sin(3x)解：y=sin(3x)=cos(3x)(3x)=cos(3x)3=3cos(3x)例8 y=cos(1+x2)解：y=cos(1+x2)=sin(1+x2)(1+x2)=sin(1+x2)2x=2xsin(1+x2).例9求的导数解： y=ln(2x2+3x+1)= (2x2+3x+1)=练习：1.y=xlnx解：y=(xlnx)=xlnx+x(lnx)=lnx+x=lnx+12. y=ln解：y=(ln)= ()=x(1)x2=x1=.3.y=loga(x22).