一元二次方程根的判别式与韦达定理

1、一元二次方程根的判别式与韦达定理一.一元二次方程根的判别式.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),记=b2-4ac.则有:0方程有两个不等实数根;=0方程有两个相等实数根;0方程没有实数根.注意：（1）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。（2）如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac0切勿丢掉等号.(3)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a0.(4)显然,当、异号时，0，方程必有两不等的根，此结论宜熟记于心.二.根的判别式有以下应用：  不解

2、一元二次方程，判断根的情况.例1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0;(2).   根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围.例2.求k的何值时,关于x的方程2(k+1)x2+4kx+2k-1=0（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根；(4)有一根.  证明字母系数方程有实数根或无实数根.例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。 三.韦达定理(一元二次方程根与系数的关系). 若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)有两个根分别为、，则有： ，. 注意:此定理成立的前

3、提是方程为一元二次方程(a0),且方程有两根(包括相等的两根,即要满足0)四.韦达定理的应用.  求根或参数的值.例4.(1)已知方程的两个根为和,求、的值. (2)已知方程的一个根是,求方程的另一个根及m的值. (3)若方程的一个根是2, 求方程的另一个根及k的值. 说明:这3个题目均有两种解法,即代根法与韦达定理法,其中(1)(2)用韦达定理更简单,(3)用代根法更简单.  求与两根有关的对称式的值.例5.设、是方程的两根,试求下列各式的值: (1);(2);(3);(4);(5);(6);(7);(8) ;(9). 说明(1)这类题目除了利用韦达定理解外,也可以直接求

4、出方程的根代入各式求值,对于此题这样做显然计算量大.但如果方程的根为全整数时,比如方程替换为,则宜选用带人求值的方法.(2)一般的,对于方程ax2+bx+c=0(a0),当时,有=,此结论及其推导过程必须牢记于心. 分析一元二次方程根的范围(主要指符号).例6.已知关于的方程.根据下列各条件分别求的取值范围.(1)两根异号;(2)两根均为正数;(3)两根异号,且负根绝对值大.构造一元二次方程.理论依据是:以x1、x2为根的一元二次方程是x2-（x1+x2）x+x1x2=0.例7. 求作一个一元二次方程使它的两根分别是1和1+.例8.解下列方程组: (1) ; (2) ; (3) ;

5、(4) .五.作业1一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是()ABCD2若是方程的两个根，则的值为( )ABCD3已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于的方程的根，则等于()ABCD4若是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )ABCD大小关系不能确定5若实数，且满足，则代数式的值为( )ABCD6如果方程的两根相等，则之间的关系是 _ 7已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _ 8若方程的两根之差为1，则的值是 _ 9设是方程的两实根，是关于的方程 的两实根，则= _ ，= _ 10已知实数满

6、足，则= _ ，= _ ，= _ 11对于二次三项式，小明得出如下结论：无论取什么实数，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？请您说明理由12若，关于的方程有两个相等的的正实数根，求的值13已知关于的一元二次方程(1) 求证：不论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；(2) 若方程的两根为，且满足，求的值14已知关于的方程的两根是一个矩形两边的长(1) 取何值时，方程存在两个正实数根？(2) 当矩形的对角线长是时，求的值15已知关于的方程有两个不相等的实数根(1) 求的取值范围；(2) 是否存在实数，使方程的两实根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请您说明理由16已知关于的方程的两个实数根的平方和等于11求证：关于的方程有实数根17若是关于的方程的两个实数根，且都大于1(1) 求实数的取值范围