二项式定理应用常见题型大全含答案

1、二项式定理应用常见题型大全一选择题（共21小题）1（2012重庆）的展开式中常数项为（）ABCD1052（2012桃城区）在的展开式中，有理项共有（）A3项B4项C6项D7项3（2012湖北）设aZ，且0a13，若512012+a能被13整除，则a=（）A0B1C11D124（2008江西）展开式中的常数项为（）A1B46C4245D42465（2007湖南）在（1+x）n（nN*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n=（）A8B9C10D116（2006重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A540B162C162D5407（2008安徽）设（1+x）8=a0+a

2、1x+a8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为（）A2B3C4D58（2007江西）设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+a11的值为（）A2B1C1D29（2006江西）在（x）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于（）A23008B23008C23009D2300910（2004福建）若（12x）9展开式的第3项为288，则的值是（）A2B1CD11若则二项式的展开式中的常数项为（）A160B180C150D17012（a0）展开式中，中间项的系数为70若实数x、y满足则z=x+2y的最

3、小值是（）A1BC5D113（x+1）10的展开式中的第六项是（）A210x4B252x52C210x6D21014的展开式中第三项的系数是（）ABC15D15二项式（1x）4n+1的展开式中，系数最大的项是（）A第2n+1项B第2n+2项C第2n项D第2n+1项和第2n+2项16已知（1+x）n的展开式中，第二、三、四项的系数成等差数列，则n等于（）A7B7或2C6D6或1417设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）mx在区间，上恒成立，则m的取值范围是（）A5，+）B，+）C，5D，5）18在的展开式中系数最大的项是（）A第6项B第6、7项C第4、6项D第5、7项192.9986的近似值

4、（精确到小数后第三位）为（）A726.089B724.089C726.098D726.90820在（x+y+z）8的展开式中，合并同类项之后的项数是（）A16B28CC82DC10221今天为星期六，则今天后的第22010天是（）A星期一B星期二C星期四D星期日参考答案与试题解析一选择题（共21小题）1（2012重庆）的展开式中常数项为（）ABCD105考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：在的展开式通项公式中，令x的幂指数等于零，求出r的值，即可求得展开式中常数项解答：解：的展开式通项公式为Tr+1=，令=0，r=4故展开式中常数项为 =，故选B点评：本题主要考查二项式定理，

5、二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题2（2012桃城区）在的展开式中，有理项共有（）A3项B4项C6项D7项考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：求出展开式的通项公式，观察可得要使此项为有理项，r是6的倍数，故r=0，6，12，18，由此可得有理项的个数解答：解：由于 的通项公式为 Tr+1=，要使此项为有理项，则20r是偶数，且r还是3的倍数，即r是6的倍数，故r=0，6，12，18，故有理项共有4项，故选B点评：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题3（2012湖北）设aZ，且0a13，若512012+a能被13整除

6、，则a=（）A0B1C11D12考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：由二项式定理可知512012+a=（521）2012+a的展开式中的项含有因数52，要使得能512012+a能被13整除，只要a+1能被13整除，结合已知a的范围可求解答：解：512012+a=（521）2012+a=+a由于含有因数52，故能被52整除要使得能512012+a能被13整除，且aZ，0a13则可得a+1=13a=12故选D点评：本题考查的知识点是整除的定义，其中根据已知条件确定a+1是13的倍数是解答本题的关键4（2008江西）展开式中的常数项为（）A1B46C4245D4246考点：二项式定

7、理的应用501974 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0得常数项解答：解：的展开式的通项为，其中r=0，1，26的展开式的通项为=，其中k=0，1，2，10的通项为=当时，展开式中的项为常数项，时，展开式中的项为常数项展开式中的常数项为1+C63C104+C66C108=4246故选项为D点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决展开式的特定项问题的工具5（2007湖南）在（1+x）n（nN*）的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n=（）A8B9C10D11考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：本题的项的系数和二项式系数相等，根据二项

8、展开式中中间项的二项式系数最大求出n的值解答：解：只有x5的系数最大，又展开式中中间项的二项式系数最大x5是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10故选项为C点评：本题考查二项展开式中二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大6（2006重庆）若的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A540B162C162D540考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：据二项式系数和为2n，列出方程求出n，利用二项展开式的通项公式求出常数项解答：解：若的展开式中各项系数之和为2n=64，解得n=6，则展开式的常数项为=540，故选项为A点评：本题考查二项式

9、系数的性质及二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具7（2008安徽）设（1+x）8=a0+a1x+a8x8，则a0，a1，a8中奇数的个数为（）A2B3C4D5考点：二项式系数的性质501974 分析：利用二项展开式的通项公式判断出展开式中项的系数即为二项式系数，求出所有的二项式系数值，求出项为奇数的个数解答：解：由（1+x）8=a0+a1x+a2x2+a8x8可知：a0、a1、a2、a8均为二项式系数，依次是C80、C81、C82、C88，C80=C88=1，C81=C87=8，C82=C86=28，C83=C85=56，C84=70，a0，a1，a8中奇数只有a0和a8两个

10、故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、利用组合数公式求二项式系数8（2007江西）设（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11，则a0+a1+a2+a11的值为（）A2B1C1D2考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：本题由于求的是展开式右边a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+a11（x+2）11中a0+a1+a2+a11的和，所以可以利用赋值的办法令x+2=1，由此将x=1代入展开式即可求出结果为2解答：解：令x+2=1，所以x=1，将x=1代入（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）

11、+a2（x+2）2+a11（x+2）11得（1）2+1（2+1）9=a0+a1+a2+a11；a0+a1+a2+a11=2×（1）=2所以选A点评：本题主要考查二项式定理的应用问题，属于基础题型，难度系数为0.7，一般在求有关系数和等问题时，常常借助赋值的办法来加以解决9（2006江西）在（x）2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于（）A23008B23008C23009D23009考点：二项式定理的应用501974 专题：计算题分析：利用二项式定理将二项式展开，令x分别取，得到两个等式，两式相减，化简即得解答：解：设（x）2006=a0x2006+a1x

12、2005+a2005x+a2006则当x=时，有a0（）2006+a1（）2005+a2005（）+a2006=0（1）当x=时，有a0（）2006a1（）2005+a2005（）+a2006=23009（2）（1）（2）有a1（）2005+a2005（）=23009¸即2S=23009则S=23008故选项为B点评：本题考查二项式定理的展开式形式及赋值法求系数和10（2004福建）若（12x）9展开式的第3项为288，则的值是（）A2B1CD考点：二项式系数的性质；极限及其运算501974 专题：计算题分析：根据二项式定理，写出（12x）9展开式的第3项，结合题意，可得T92=C9

13、2（2x）2=36（2x）2=288，化简计算x的值，代入中，化简可得答案解答：解：根据题意，（12x）9展开式的第3项为T92=C92（2x）2=36（2x）2=288，化简可得，2x=，解可得，x=；则=2；故选A点评：本题综合考查二项式定理、有理数指数幂的化简、极限的计算、等比数列的前n项和公式，解题的关键在于由二项式定理，化简计算得到x的值11若则二项式的展开式中的常数项为（）A160B180C150D170考点：定积分；二项式定理的应用501974 专题：计算题；函数的性质及应用分析：先计算定积分，再写出二项式的通项，令x的指数为0，即可求得展开式中的常数项解答：解：=2二项式=的通

14、项为=令62r=0，可得r=3，二项式的展开式中的常数项为=160故选A点评：本题考查定积分知识，考查二项展开式，考查展开式中的特殊项，属于基础题12（a0）展开式中，中间项的系数为70若实数x、y满足则z=x+2y的最小值是（）A1BC5D1考点：简单线性规划；二项式系数的性质501974 专题：计算题分析：由题意可得，展开式中的中间项为共有9项，中间项为第5项，利用二项展开式的通项可求a，然后作出不等式组表示的平面区域，由z=x+2y可得，y=，则表示直线在y轴上的截距，截距越小，z越小，结合图形可求z的最小值解答：解：由题意可得，展开式中的中间项为共有9项，中间项为第5项=70a0a=1

15、，作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=x+2y可得，y=，则表示直线在y轴上的截距，截距越小，z越小当z=x+2y经过点B时，z最小，由可得B（1，1），此时Z=1故选A点评：本题主要考查了二项展开式的通项的应用，线性规划在求解目标函数中的最值中的应用，本题具有一定的综合性13（x+1）10的展开式中的第六项是（）A210x4B252x52C210x6D210考点：二项式定理501974 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令通项中的r=5得到展开式中的第六项解答：解：（x+1）10展开式的通项为Tr+1=C10rxr令r=5得展开式中的第六项是T6=C105x5

16、=252x5故选B点评：解决二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式14的展开式中第三项的系数是（）ABC15D考点：二项式定理501974 专题：计算题分析：由二项式 性质直接得出第三项，计算出该项的系数，得出正确选项解答：解：的展开式中第三项是故第三项的系数15×=故选B点评：本题考查二项式定理，求解本题的关键是熟练掌握理解二项式的项的公式，利用此公式写出第三项，即可得到该项的系数15二项式（1x）4n+1的展开式中，系数最大的项是（）A第2n+1项B第2n+2项C第2n项D第2n+1项和第2n+2项考点：二项式定理501974 专题：计算题分析：利用二项展开

17、式的通项公式求出通项，据通项判断出项的系数与二项式系数只有符号之差，据二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大求出系数最大的项解答：解：由二项展开式的通项公式Tk+1=Ck4n+1（x）k=（1）kCk4n+1xk，可知系数为（1）kCk4n+1，与二项式系数只有符号之差，故先找中间项为第2n+1项和第2n+2项，又由第2n+1项系数为（1）2nCk4n+1=Ck4n+1，第2n+2项系数为（1）2n+1C2n+14n+1=C2n+14n+10，故系数最大项为第2n+1项故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题、二项式系数的性质：中间项的二项式系数最大16已知（1

18、+x）n的展开式中，第二、三、四项的系数成等差数列，则n等于（）A7B7或2C6D6或14考点：二项式定理；等差数列的性质501974 专题：计算题分析：由二项式定理，可得（1+x）n的展开式的第二、三、四项的系数，再结合题意，其展开式的第二、三、四项的系数成等差数列，可得n+=2×；解可得答案解答：解：根据题意，（1+x）n的展开式为Tr+1=Cnrxr，则第二、三、四项的系数分别为Cn1、Cn2、Cn3，即n、；又由这三项的系数成等差数列，即n+=2×；解可得：n=7，n=0（舍）n=2（舍）；故选A点评：本题考查二项式定理的运用，难点在于解关于n的方程n+=2

19、5;，注意化简的技巧即可17设f（x）等于展开式的中间项，若f（x）mx在区间，上恒成立，则m的取值范围是（）A5，+）B，+）C，5D，5）考点：二项式定理；函数的最值及其几何意义501974 专题：计算题分析：先由二项式定理可以得到展开式的通项，再求出其展开式的中间项，即可得f（x），由x的范围，可将f（x）mx变形为x2m，由二次函数的性质，求出x2在区间，上的最大值，结合不等式恒成立的意义，即可得答案解答：解：展开式的通项为Tr+1=C6r（x2）6r（）r=（）rC6rx123r，其展开式的中间项为T4=（）3C63x3=x3，即f（x）=x3，f（x）mxx3mx，当x时，x3mx

20、x2m，且x时，x2的最大值为5，则若x2m恒成立，则必有m5，故m的取值范围是5，+），故选A点评：本题考查二项式定理与函数的恒成立问题，关键由二项式定理求出f（x）并求出其最大值18在的展开式中系数最大的项是（）A第6项B第6、7项C第4、6项D第5、7项考点：二项式定理501974 专题：计算题分析：由二项展开式通项公式Tr+1=C10r（x2）10r（）r=（1）rc10r（x）203r可知，在展开式的共11项中，系数（1）rc10r最大时，只需当r=4或6，从而获解解答：解：由Tr+1=C10r（x2）10r（）r=（1）rc10r（x）203r可知，展开式中每一项系数为（1）rc1

21、0r，系数要最大，当且仅当r=4或6时，第5项系数c104等于第7项系数c106且最大，故选D点评：本题考查二项展开式系数最大项的求法，需要注意以下几点：（1）二项展开式系数和二项式系数的区别，前者是展开以后除未知数x外剩下部分可正可负，后者仅指组合数cnr，所以恒正（2）要熟悉展开式共多少项（3）展开式系数最大可能在中间项也可能不再中间项，而二项式系数最大项必在中间本题也可以解不等式组：从而获解，但比较麻烦，在选择填空中不提倡用，不可小题大做，要小题小做更要巧做192.9986的近似值（精确到小数后第三位）为（）A726.089B724.089C726.098D726.908考点：二项式定理501974 专题：计算题分析：利用二项式定理将其展开，再取前3项即可解答：解：2.9986=（30.002）6=36C61×35×0.002+C62×34×0.00227292.916+0.00486726.089故选A点评：本题是考查二项式展开式的应用，难点是项数的舍弃2