东城区高三上学期数学试卷及答案

1、东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学2020.1本试卷共 4 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡一并交回。第一部分（选择题共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。B =(1)已知集合 A = x | x 1， B = x | ( x - 2)( x +1) < 0，那么 A(A) x | -1 < x < 2 (B) x | -1 x < 1 (C) x |1 x < 2(2) 复数

2、 z= i(i -1) 在复平面内对应的点位于 (D) x | -1 < x 1(A) 第 一 象 限 (B) 第 二 象 限(C) 第三象限(D) 第四象限(3) 下列函数中，是偶函数，且在区间(0，+¥) 上单调递增的为(A)(C)y = 1xy = 2- x (B)(D)y = ln xy = 1- x (4) 设 a, b 为实数，则“ a > b > 0 ”是“ pa > pb ”的(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件(5) 设a, b 是两个不同的平面， m, n 是两条不同的直线，则下列

3、结论中正确的是(A) 若m a ， m n ，则 na(C) 若 na ， m n ，则m a(B) 若a b ， m a ， n b ，则m n(D) 若a b ， m Ì a ， n Ì b ，则m n(6) 从数字1, 2, 3, 4, 5 中，取出3 个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为 (A) 7(B) 9(C) 10(D) 13(7) 设a，b 是三角形的两个内角，下列结论中正确的是22(A) 若a + b < p ，则sin a + sin b <(B) 若a + b < p ，则cosa + cos b

4、 <p2(C) 若a + b >，则sina + sin b > 122p(D) 若a + b >，则cosa + cos b > 12(8) 用平面截圆柱面，当圆柱的轴与a 所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆著名数学家Dandelin 创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于a 的上方和下方，并且与圆柱面和a 均相切.给出下列三个结论：两个球与a 的切点是所得椭圆的两个焦点；3若球心距O1O2 = 4 ，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2 ；当圆柱的轴与a 所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大. 其中，所有

5、正确结论的序号是 (A) (B) (C) (D) 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。(9) 若双曲线x2 - 2= 1 与 x- y2 = 1有相同的焦点，则实数m = .y2m32(10) 已知 an 是各项均为正的等比数列，Sn 为其前n 项和，若a1 = 6 ，a2 + 2a3 = 6 ，则公比q = ，S4 = (11) 能说明“直线 x - y + m = 0 与圆 x2 + y2 + 4x - 2 y = 0 有两个不同的交点”是真命题的一个m 的值为 . uuuruuur(12) 在平行四边形 ABCD 中，已知 AB &#

6、215; AC = AC × AD ， AC = 4 ， BD = 2 ，则四边形 ABCD 的面积是(13) 已知函数 f (x) = 2sin(wx + j)(w > 0).曲线 y =f (x) 与直线 y =相交，若存在相邻两个交点间的距离为3p ，则w 的所有可能值为 .6(14) 将初始温度为0 C 的物体放在室温恒定为30 C 的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第n 次测量得到的物体温度记为tn ，已知t1 = 0 C .已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为k ）. 给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为 ；(填写模型

7、对应的序号） tn+1- tn=ktn - 30； tn+1- tn = k(30 - tn) ； tn+1=k(30 - tn) . 在上述模型下，设物体温度从5 C 上升到10 C 所需时间为 a min ，从 10 C 上升到15 C 所需时间为b min ，从15 C 上升到20 C 所需时间为C min ，那么 a 与 b 的大小关系是(用“ > ”，“ = ”或“ < ”号填bc空）三、解答题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。(15)（本小题 13 分）在 ABC 中，已知c sin A +（）求ÐC 的大小；3a cos C

8、 = 0 3（）若b=2，c = 2，求 ABC 的面积. (16)（本小题 13 分）用户分类 预计升级到 5G 的时段 人数 早期体验用户 2019 年 8 月至 209 年 12 月 270 人 中期跟随用户 2020 年 1 月至 20121 年 12 月 530 人 后期用户 2022 年 1 月及以后 200 人 2019 年 6 月，国内的 5G 运营牌照开始发放.从 2G 到 5G，我们国家的移动通信业务用了不到 20 年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平.为了解高校学生对 5G 的消费意愿，2019 年 8 月，从某地在校大学生中随机抽取了 1000 人进行调查，样

9、本中各类用户分布情况如下： 我们将大学生升级 5G 时间的早晚与大学生愿意为 5G 套餐支付更多的费用作比较，可得出下图的关系(例如早期体验用户中愿意为 5G 套餐多支付 5 元的人数占所有早期体验用户的 40%). （I） 从该地高校大学生中随机抽取 1 人，估计该学生愿意在 2021 年或 2021 年之前升级到 5G 的概率； （II） 从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取 1 人，以 X 表示这 2 人中愿意为升级 5G 多支付 10 元或10 元以上的人数，求 X 的分布列和数学期望； （III）2019 年底，从这 1000 人的样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约

10、 5G 套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由. (17)（本小题 14 分）如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BB1 平面 ABC ， AB BC ， AA1 = AB = BC = 2 （）求证： BC1 平面 A1B1C ；（）求异面直线 B1C 与 A1B 所成角的大小；11（）点 M 在线段 BC 上，且 B1M = l(l Î(0,1) ，点 N 在线段 AB 上，B1C 若 MN 平面 A ACC求 A1 N 的值(用含l 的代数式表示)11 ， (18)（本小题 13 分）A1B 已知函数 f (x) = 1 x3 - x2 - 3ax

11、(a Î R) .3（）若 f (x) 在 x = -1时，有极值，求a 的值；（）在直线 x =1上是否存在点 P ，使得过点 P 至少有两条直线与曲线 y = f (x) 相切？若存在，求出 P 点坐标；若不存在，说明理由. (19)（本小题 14 分）已知椭圆C : x2 + y2 = 1 (a > 1) 的离心率是2 a22（）求椭圆C 的方程；（）已知 F1 ， F2 分别是椭圆C 的左、右焦点，过 F2 作斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于 A, B 两点，直线 F1 A , F1B分别交 y 轴于不同的两点 M , N . 如果ÐMF1N 为锐角，求k

12、的取值范围(20)（本小题 13 分）nii +1j已知数列a ，记集合T = S (i , j) S (i , j) = a + a+L + a , 1i < j , i , j Î N* （）对于数列an 1，2，3，4 ，写出集合T ；n（）若a = 2n ，是否存在i , j Î N* ，使得 S (i , j) = 1024 ？若存在，求出一组符合条件的i , j ；若不存在，说明理由；（III） 若 an = 2n - 2 ，把集合T 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 B : b1 ，b2 ，L ，bm ，L . 若bm £ 2020 ，求m

13、 的最大值东城区 2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准2020.1 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分） （1）D（2）C（3）B（4）A（5）B（6）C（7） A（8）C二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分） （9） 4（10）14524（11） 0 （答案不唯一）（12） 4（13） 2 或10（14）> 三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分） 解：（）由正弦定理可得sin C sin A +3 cos CsinA=0 .因为sin A > 0 ， 所以 tan C =-

14、 3. 又因为0 < ÐC < p , 2所以ÐC=3. .7 分b sin C（）由正弦定理得sin B=2 ´3=2= 1 , cp又因为0 < ÐB <， 32 32所以ÐB =, ÐA = p - ÐB - ÐC =. 663所以 ABC 的面积 S = 1 bc sin A = 1 ´ 2´ 2 3 ´ 1 =13 分 222（16）（共 13 分） 解：（）由题意可知，从高校大学生中随机抽取 1 人，该学生在 2021 年或 2021 年之前升级到

15、5G 的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，即 270 + 530= 0.83 分 10001000(13) 由题意 X 的所有可能值为 0,1,2. 记事件 A 为“从早期体验用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 事件 B 为“从中期跟随用户中随机抽取 1 人，该学生愿意为升级 5G 多支付 10 元或 10 元以上”， 由题意可知，事件 A，B 相互独立，且 P( A) = 1- 40% = 0.6 ， P(B) = 1- 45% = 0.55 ， 所以 P( X=0) = P( AB) = (1- 0.6)(1- 0.55)

16、= 0.18 ， P( X = 1) = P( AB+AB) = P( AB) + P( AB)= P( A)(1- P(B) + (1- P( A)P(B) = 0.6 ´（1- 0.55）+（1- 0.6) ´ 0.55= 0.49，P( X=2) = P( AB) = 0.6´ 0.55 = 0.33. 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 0.18 0.49 0.33 故 X 的数学期望 E（X）= 0´ 0.18 +1´ 0.49 + 2´ 0.33 = 1.15 10 分 (14) 设事件 D 为“从这 1000 人的

17、样本中随机抽取 3 人，这三位学生都已签约 5G 套餐”，那么 C3C3P(D) = 270 » 0.02. 1000回答一：事件 D 虽然发生概率小，但是发生可能性为0.02 ，所以认为早期体验用户没有发生变化. 回答二：事件 D 发生概率小，所以可以认为早期体验用户人数增加13 分 （17）（共 14 分） 解：（）在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，由于 BB1 平面 ABC ，所以 BB1 平面 A1B1C1 又 BB1 Ì 平面 B1BCC1 ， 所以平面 B1BCC1 平面 A1B1C1 ，交线为 B1C1 .又因为 AB BC ， 所以 A1B1 B1C1

18、 所以 A1B1 平面 B1BCC1 因为 BC1 Ì 平面 B1BCC1 ， 所以 A1B1 BC1.又因为 BB1 = BC = 2 ，所以 B1C BC1 又 A1B1 B1C = B1 ,所以 BC1 平面 A1B1C 5 分（）由（）知 BB1 底面 ABC ， AB BC 如图建立空间直角坐标系 B - xyz 由题意得 B(0, 0, 0) ， C(2, 0, 0) ， A1 (0, 2, 2) ， B1 (0, 0, 2) 所以 B1C = (2,0, -2) ， A1B = (0, -2, -2) uuur uuur所以cosá A1B, B1Cñ

19、; =A B × B C11uuuruuur| BA1 | B1C |= 1 2故异面直线 BC 与 AB 所成角的大小为p 9 分113（）易知平面 A1 ACC1 的一个法向量为n = (1,1, 0) ，由 B1M = l ，得 M (2l , 0 , 2 - 2l).B1C 设 A1 N = m ，得 N (0 , 2 - 2m , 2 - 2m) ，A1B ¾¾®则 MN = (-2l , 2 - 2m , 2l - 2m)¾¾®因为 MN / 平面 A1 ACC1 ，所以 MN× n = 0 ，即(-2

20、l , 2 - 2m , 2l - 2m) × (1 , 1 , 0) = 0 ， 解得 m = 1 - l 所以 A1 N = 1- l 14 分A1B （18）（共 13 分） 解：() 因为所以f (x) = 1 x3 - x2 + 3ax ，3f ¢( x) = x2 - 2x + 3a . 由 f (x) 在 x = -1 时，有极值得f ¢(-1) = 1+ 2 + 3a = 0 ， 解 得 a = -1 . 经检验， a = -1时， f (x) 有极值. 综上， a = -14 分（）不妨设在直线 x =1上存在一点 P(1,b) ， 00设过点

21、P 与 y = f (x) 相切的直线为l ，切点为(x , y ) ， 则切线l 方程为 y - 1 x3 + x2 - 3ax = (x2 - 2x + 3a)(x - x ) . 3 000000又直线l 过 P(1,b) ，有b - 1 x3 + x2 - 3ax = (x2 - 2x + 3a)(1- x ) ， 3 000000即 2 x3 - 2x2 +2x- 3a + b = 0 . 3 000设 g(x) = 2 x3 - 2x2 + 2x - 3a + b ， 3g '(x) = 2x2 - 4x + 2 = 2(x -1)2 ³ 0 . 所以 g(x)

22、在区间(-¥, +¥) 上单调递增， 所以 g(x) = 0 至多有一个解. 过点 P 与 y =f (x) 相切的直线至多有一条. 故在直线 x =1上不存在点 P ，使得过 P 至少有两条直线与曲线 y = f (x) 相切13 分 （19）（共 14 分） ìïc =2 ，a2ï解：（）由题意íb2 = 1， 解得a2 = 2 .ïïa2 = b2 + c2ïî所以椭圆C 的方程为x2 + 2y2= 1.4 分（）由已知直线l 的斜率不为 0.设直线l 方程为 y = k ( x -1)

23、.直线l 与椭圆C 的交点为 A( x1, y1 ), B ( x2 , y2 ) .ì y = k ( x -1)，ï2222由í x2ïî 2+ y2 = 1得(2k+1) x(E) 4k x + 2k- 2 = 0 .4k 22k 2 - 2由已知，判别式D > 0 恒成立，且 x1 + x2 = 2k 2 +1 , x1x2 = 2k 2 +1 . 直线 F A 的方程为 y =y1 ( x +1) ，令 x = 0 ，则 M (0 ,y1 ) .1x +11同理可得 N (0,y2 ) .x1 +1uuuur uuurx2 +1

24、y y k 2 ( x-1)( x-1)所以 F M × F N = 1+1 2= 1+1211( x+1)( x +1)( x +1)( x +1)1212k 2 é x x - ( x + x ) +1ù(1+ k 2 ) x x + (1- k 2 )( x + x ) +1+ k 2= 1+ ë 1 212û =x1 x2 + x1 + x2 +11 212.x1x2 + x1 + x2 +1将代入并化简，得uuuur uuur7k 2 -1F1M × F1N = 8k 2 -1 .uuuur uuur7k 2 -1依题意，

25、ÐMF1N 我锐角，所以 F1M × F1N > 0 ，即 F1M × F1N = 8k 2 -1 > 0 .解得k 2 > 1 或 k 2 < 1 .78综上，直线l 斜率的取值范围是(-¥ , -7 ) U(-2 , 0) U(0 ,2 ) U( 7 , + ¥)14 分（20）（共 13 分） 7447解：（） T =3，5，6，7，9，10 3 分（）假设存在i ，j Î N* ，使得 S(i，j)=1024 ，则有1024 = ai + ai+1 +L+ a j = 2i + 2(i +1) +L+ 2 j = ( j - i +1)(i + j) ，由于i + j 与 j - i 奇偶性相同