特征函数和母函数（课堂PPT）

1、1.4 特征函数、母函数特征函数、母函数 一、特征函数的定义及例子一、特征函数的定义及例子 定义定义 设设X,Y是实随机变量是实随机变量, ,复随机变量复随机变量Z=X+i Y, ,的数学期望定义为的数学期望定义为1 i),()()(YEiXEZE 特别特别 tXEitXEeEitXsincos X是实随是实随机变量机变量 )(sin)(cosxtxdFixtxdF )( xdFeitx注注R,t 1） costx和和sintx 均为有界函数均为有界函数, 故故)(itXeE总存在总存在. .2) 是实变量是实变量t 的函数的函数. .)(itXeE 定义定义 设设X是定义在是定义在(,F,

2、P )上的随机变量上的随机变量, ,称称 )()(xdFeeEtgitxitX为为X 的的特征函数特征函数. .是是eitx 关于关于X的分布函数的分布函数的的富里埃富里埃- -司蒂阶变换司蒂阶变换 ;)()(dxxfetgitx.)( kkitxpetgk当当X 是连续型随机变量是连续型随机变量当当X 是离散型随机变量是离散型随机变量 , 1 cXPEx.1 单点分布单点分布R.,)()( teeEtgitcitcEx.2 两点分布两点分布pepetgitit10)1()( .,1Rtpeqpepitit 00.0,0;,)( xxexfxEx.3 指数分布指数分布 0)(dxeetgxit

3、x 00sincostxdxeitxdxexx.112222 itttit性质性质1 任意随机变量的特征函数均存在任意随机变量的特征函数均存在, ,并满足：并满足： 二、特征函数性质二、特征函数性质 ; 10)()1 gtg. )()() 2tgtg 1.)()( itXitXeEeEtg证证. )()(E)()(tgeeEtgitXitX 性质性质2：设随机变量：设随机变量X的特征函数为的特征函数为 则则Y=aX+b的特征函数是的特征函数是 gXt ,司蒂阶积司蒂阶积分性质分性质)()(atgetgXibtY a, b是任是任意实数意实数. . Ex.4 设设YN(,2 2),),求其特征函

4、数求其特征函数. . 解：设解：设XN( 0,1), ,有有Y=X+, 且且.,)(221RtetgtX .,ee)(2221XRtetgtgttitiY 性质性质3 随机变量随机变量X的特征函数的特征函数 在在R上一致上一致连续连续,即对即对 )(tg0, )( tghtg0, h使使 时时,对对t 一致地有一致地有一般，一般，t),( 性质性质4 特征函数是非负定的函数，即对任意特征函数是非负定的函数，即对任意正整数正整数n, 任意复数任意复数z1, z2 , zn,及及,1,2,nrRtr nrnssrsrzzttg110.有有注注 以上性质中以上性质中 一致连续性，非负定性一致连续性，

5、非负定性是本质性的是本质性的. 1,0 g 波赫纳波赫纳辛钦定理辛钦定理 函数为特征函数的充分必函数为特征函数的充分必要条件是要条件是 在在R上一致连续，非负定且上一致连续，非负定且 )(tg. 1)0( g 性质性质5 特征函数与矩的关系特征函数与矩的关系,若随机变量若随机变量X的的n阶矩存在阶矩存在, ,则则X的特征函数的特征函数)(tg的的k 阶导数阶导数)(tgk存在存在, ,且且)(0),)()(nkgiXEkkk Ex.5 随机变量随机变量X的概率密度为的概率密度为 .0,;22,cos21)(其它其它xxxf. )()(XDXE和和求求解解 20)()(coscos212)( x

6、fxfdxtxxtg 20)1(cos)1(cos21dxxtxt.,2)1(sin112)1(sin1121Rttttt 21 00,02 .4 因因故故 0;0)(1 giXE 三、三、反演公式及唯一性定理反演公式及唯一性定理 由随机变量由随机变量X的分布函数可惟一确定其特征的分布函数可惟一确定其特征函数：函数：)()(txF 2.414120)()(2222 giXEXD问题问题能否由能否由X的特征函数唯一确定其分布函数？的特征函数唯一确定其分布函数？)()(xFt)()(xFt？ 四、独立随机变量和的特征函数四、独立随机变量和的特征函数 nkkXY1)()(1tgtgkXnkY 则则

7、定理定理 随机变量随机变量X1 ,X2 ,Xn相互独立相互独立, ,令令 Ex.7 随机变量随机变量YB(n, p),写出其特征函数写出其特征函数.解解 二项分布随机变量二项分布随机变量Y可表示为可表示为 ,且且 nkkXY1XkB(1, p), ,k=1,2,n, 相互独立相互独立, ,故故Y 的特征的特征函数为函数为 nitXnkYpeqtgtgk)()()(1 Ex.8 若若X1,X2,Xn相互独立相互独立, ,且且XkN(0,1),证明证明 也服从也服从N(0,1)分布分布. . nkkXnY1122)(tket 证证 Xk的特征函数为的特征函数为 , ,则则 RtettntXnkXk

8、nkk ,)()(2121 RtenttXnkk ,)(t2Y21从而从而由唯一性定理知由唯一性定理知, ,YN(0,1). 五、五、多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数 定义定义 二维随机变量二维随机变量(X, Y)的特征函数定义为的特征函数定义为 ),(e ),(212121yxdFeEttgytxtiYtXti连续型连续型 dxdyyxfettgytxti),(),(2121 rssrYtXtipettgSr.),(,21s21离散型离散型 定义定义 n维随机向量维随机向量(X1,X2,Xn)的分布函数的分布函数 为为F(x1,x2,xn), ,则它的特征函数为则它的特征函数为 ),(1121nxntxtieEtttgn ),(111nnnxxdFxtxtie 性质性质：随机变量随机变量X1,X2,Xn相互独立的充要条件是相互独立的充要条件是 ),(n21tttg)(1kXnktgk 母函数的概念母函数的概念: 定义：定义：离散型随机变量离散型随机变量X 的分布律为的分布律为PX=k=Pk, k=0,1,2, kkXXsPsEsk,)()(记记称为随机变量称为随机变量X的的母函数母函数. 100!)(!)( skkkkkekseskes如如XP(),则则母函数母函数性质性质 1）有限个相互独立的随机变量之