平面基本性质

1、【课题】立体几何平面基本性质教材导引(1)公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在平面内(2)公理2：如果两个平面(不重合的两个平面)有 ，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是 (3)公理3：经过 的三点，有且只有一个平面推论1：经过 ，有且只有一个平面推论2：经过 ，有且只有一个平面推论3：经过 ，有且只有一个平面【思考】 试试看，你能说出公理2的作用有哪些？答案：它的作用有五个：判定两个平面相交；证明点在直线上；证明三点共线；证明三线共点；画两个相交平面的交线（4）公理4：平行于 的两条直线互相平行基础训练1、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同

2、的平面，下列推理不正确的是 ，直线，且不共线与重合共线2一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是3对于空间三条直线，有下列四个条件：三条直线两两相交且不共点；三条直线两两平行；三条直线共点；有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交其中，使三条直线共面的充分条件有 4若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 7 部分5空间内五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定 7 个平面 典例精析【题型一】三点共线与三线共点问题1、证明点共线时，一般都是将点看成是两个相交平面的

3、公共点，根据公理2就可以证明了2、证明线共点，基本方法是先确定两条直线的交点，再证交点在第三条直线上，也可将直线归结为两平面的交线，交点归结为两平面的公共点，由公理2证明点在直线上例1如图，在四边形ABCD中，已知ABCD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面相交于点E，G，H，F求证：E，F，G，H四点必定共线DCBAEFHG解：ABCD，AB，CD确定一个平面又ABE，AB，E，E，即E为平面与的一个公共点同理可证F，G，H均为平面与的公共点两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，E，F，G，H四点必定共线【题型二】点线共面问题证明点线共面的常用方法1纳入平面法：先确定一个

4、平面，再证明有关点、线在此平面内2辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面，再证明其余元素确定平面，最后证明平面、重合3反证法：可以假设这些点和直线不在同一个平面内，然后通过推理，找出矛盾，从而否定假设，肯定结论例2已知：是不共点且两两相交的四条直线，求证：共面证明 1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但AÏd，如图1badcGFEA图1直线d和A确定一个平面又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，GA，E，A，Ea，a同理可证b，ca，b，c，d在同一平面内abcdHK图22o当四条直线中任何三条都不共点时，如图2这四条直线两两相交，则

5、设相交直线a，b确定一个平面设直线c与a，b分别交于点H，K，则H，K又 H，Kc，c,则c同理可证da，b，c，d四条直线在同一平面内说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内本题最容易忽视“三线共点”这一种情况因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义【题型三】公理2的灵活运用E·BA D·FC ····例3如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线

6、EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线解：如图3，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，则G平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于点M，则M平面ABD，且M平面CEF所以，M在平面ABD与平面CEF的交线上同理，可作出点N，N在平面ABD与平面CEF的交线上连结MN，直线MN即为所求DCBAl例4ME·BAl例3GHD·FCM···例4如图，已知平面，且l设梯形ABCD中，ADBC，且AB，CD，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）证明 梯形ABCD中，ADBC，AB，CD是梯形ABCD的两条腰 AB，CD必定

7、相交于一点，设ABCDM又AB，CD，M，且MM又l，Ml，即AB，CD，l共点说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的自我检测1在空间四边形的边、上分别取点，如果与相交于一点，那么下列说法正确的是 一定在直线上； 一定在直线上；可能在直线上，也可能在直线上；既不在直线上，也不在直线上2有下列命题：空间四点中有三点共线，则这四点必共面；空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；垂直于同一直线的两直线平行两组对边相等的四边形是平行四边形其中正确的命题是 3一个平面把空间分成_2_部分，两个平面把空间最多分成_ 4_部分，三个

8、平面把空间最多分成_8_部分ABCDMNLPQR4四边形中，则成为空间四面体时，的取值范围是5如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线证明：易证M，N，L平面PQR，且M，N，L平面BCD，所以M，N，L平面PQR平面BCD，即M，N，L共线A1ABB1DD1CC1RQP···6如图，P、Q、R分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图作法 连接PQ，并延长之交A1B1的

9、延长线于T；连接PR，并延长之交A1D1的延长线于S；连接ST交C1D1、B1C1分别于M，N，则线段MNA1ABB1DD1CC1STRQP图4NM为平面PQR与面A1B1C1D1的交线连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC1D1，面BCC1B1的交线得到的五边形PQNMR即为所求的截面图（如图4）说明 求作二平面的交线问题，主要运用公理1解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识7如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1的中，A1C1B1D1O1，B1D平面A1BC1PA1ABB1DD1CC1O1P求证：PBO1证明 在

10、平行六面体ABCDA1B1C1D1中，B1D平面A1BC1P，P平面A1BC1，PB1DB1D平面BB1D1DP平面A1BC1，且P平面BB1D1DP平面A1BC1平面BB1D1D，A1C1B1D1O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，O1平面A1BC1，且O1平面BB1D1D又B平面A1BC1，且B平面BB1D1D，平面A1BC1平面BB1D1DBO1PBO18如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点证明：(1)如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EF=0.5A1B，又A1D1/BC，四边形A1BCD1是平行四边形， A1BCD1，EFCD1，EF