三次函数与四次函数的认知及其应用

1、三次函数与四次函数的认知及其应用俗话说：时势造英雄. 同样，知识的背景与考纲的制约，造就出三次函数以及四次函数的显赫地位. “何须浅碧深红色，自是花中第一流”：当今高考的导数试题，特别是文科高考导数试题，三次函数自然是无可争议的“当家花旦”，四次函数也逐渐走上前台，并且呈现出与三次函数一争天下的态势. 注意到现行教材中三次函数与四次函数理论的空缺，本文试对上述两函数的图象与性质作以探究与梳理，希望对教与学有所帮助.一、三次函数的图象与极值设 .则 令方程 ，则三次函数的图象与性质当分为三种情形：此时，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考虑循着从特殊到一般的辩证途径去认知三次函数的图象与性质.特

2、殊：考察下列函数的图象的特征与函数的极值.(1) （方程的判别式情形）；(2) （方程的判别式情形）；(3) （方程的判别式情形）.品悟上述函数的共性：(I)它们的图象呈“N”字形（时的常态情形更为形象）；(II)一次方程有实根并且在点两侧的符号相反.由此猜想“一般”，从而认知1、三次函数的图象(1)当三次项系数时，三次函数的图象呈“N”字形； 当三次项系数时，三次函数的图象呈“倒N”字形.(2)令方程=0的实根为则点为三次函数的对称中心与拐点.（证明从略）.2、三次函数的极值(1)三次函数极值的存在性对于二次方程 的判别式(i) 有极大值与极小值. 令方程的两个实根为，则当时，函数图象左“峰

3、”右“谷”：； 当时，函数图象左“谷”右“峰”：.(ii) 无极值. 其中，当在R上单调递增； 当在R上单调递减.(2)三次函数的极值与相应三次方程的实根(i)三次方程有一个实根与两个虚根.(ii)三次方程有二相等实根.此时，三次方程有二相等实根 .(iii)三次函数有一个实根与两个共轮虚根 或单调且.范例：1、(07·津). 设函数.(1)当a=1时，求曲线在点处的切线方程；(2)当a0时，求函数的极值；(3) 当a>3时，证明：存在使得不等式对任意恒成立.分析：幸会三次函数问题，关于三次函数的认知立即浮上脑海：图象已然在胸，只待展示过程. 在这里，这一特殊的三次函数的图象为

4、常态“倒N”字形，经过原点，并且在点a处与x轴相切. 当a>0时，其图象形如于是，的单调性及其极值系列一片清明.解：(1)当a=1时， 曲线在点处的切线方程为 即 (2)当 令 以下为比较的大小而讨论.(i)若的变化情况如下表：00时取得极小值； 当时取得极大值(ii)若 同理可得 的极小值 的极大值(3)证：注意到 令 ， 则当 又由(1)知当上递减， 欲使不等式 成立， 只要 对任意成立 只要 恒成立 又令 则等价于 而且由得 由此解得 注意到这里于是由得.因此可知，在区间-1，0上存在，使得对任意恒成立.点评：对于(3)，为利用的单调性“脱去”所给不等式中的函数符号“f”，往往循着

5、“从内向外”的顺序走向深入：首先了解内层函数的取值范围，再而锁定所要“立足”的单调区间，进而利用在相应区间上的单调性脱去“f”. 于是，化生为熟或化繁为简的意图得以实现.2、（08·徽）已知函数 (1)已知函数；(2)已知不等式成立，求实数x的取值范围.解：(1) 由题设得 .(2)由题设知 成立 成立. 成立 （分离参数） 令 则由得 成立 由得 “下确界”) 所求实数x的取值范围为-2，0.点评：当年李清照感慨：“一种相思，两处闲愁”. 今日面对中的不等式，亦有类似的感悟：“一个式子，两方转化”：恒成立的最大值（或的“上确界”）；亦有恒成立的最小值（或的“下确界”）.二、四次函数

6、的图象与极值设四次函数则 借鉴研究三次函数的经验，循着“特殊一般”的途径，不难发现四次函数图象的特征.1、四次函数的图象(1)宏观形状当四次项系数a>0时，若有三个相异实根（即），则的图象呈“W”字形；若有等根或虚根（即），则的图象呈“”字形；当四次项系数a<0时，若有三个相异实根（即），则的图象呈“倒W”字形；若有等根或虚根（即），则的图象呈“倒”字形.(2)“对称”认知当时，令的两个实根分别为，则由韦达定理得 .此时，若则成立，从而的拐点关于直线对称，的图象亦关于直线对称.2、四次函数的极值与相应四次方程的实根(1)若三次方程 有相异的三个实根则当四次项系数a>0时，有一

7、个极大值，两个极小值、.(2)若三次方程有等根或虚根则当四次项系数a>0时，仅有一个极小值； 当四次项系数a<0时，仅有一个极大值.(3)设四次函数的极小值为（或极大值为），则四次方程的实根情况，一般是立足于(1)、(2)关于四次函数的极值情况的认知，通过考察的图象与直线或的交点情况获知结果.范例：设函数 (1)当的单调性； (2)若函数处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意上恒成立，求b的取值范围.分析：由前面的认识可知，(1)中四次函数的图象为“W字形”. 于是，未曾解题之时，脑海中已经呈现的单调区间与极值点的明晰的轮廊，解题之时自然倍加清明而坚定. “世路如今看惯，此心到处悠然”（宋·张孝祥）. 此时，（函数）图象如今见惯，此心自信悠然. 解题凭此又增添几分胜算.解：(1) 当 令 此时，当变化时的变化情况如下表：02000由此可知，在，内是增函数； 在，内是减函数.(2)注意到 显然 的根. 仅在处有极值 附近改变符号 成立 此时，的唯一极值（极小值） 所求a的取值范围为(3)由 成立 当对任意 上恒成立.由此得 所求满足条件的b的取值范围为点评：对于(2)，需要注意方程的根（驻点）与极值点