第二章用正交变换化为标准型新

1、第二章 用正交变换化为标准型第一节2、1几种化标准形的方法2、1、1配方法2、1、2初等变换法2、1、3偏导数方法2、1、4雅可比方法第二节2、2用正交变换化为标准形p 2 、 2 、 1 非退化线性替换的定义 2、2、2正交替换法2、2、3例子2、2 用正交变换化为标准形2、2、1非退化线性替换的定义定义1、设x,x;y,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式称为由x,x到y,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式0，那么线性替换就称为非退化的。2、2、2正交替换法正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而TAT=，其中（i=1，2，,n为二次型f(x

2、,x,x的矩阵的所有特征值，同时有f(x,x,x=y+y+y2、2、3例子【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4xx-4xx-8xx为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分）解：A= =x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0x=1,1,10,(i x=1E-A=-= =(ii x=1010E-A=-=- =-<,> =+=+= -= 令V=（，）=令X=UY为所用正交变换，即Y=UXf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=y+y+10y为标准形【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x

3、+x+4xx+8xx+4xx为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分）解：f的矩阵A= =x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0即A的特征根为6，-3，-3（i）x=66E-A=-= =(ii x=-3-3E-A=-= =- -<,> = = V=（，）=用正交变换为X=UY，即UZ=Yf(x,x,x=XAX=(UYAUY=YUAUY=YY=6y-3y-3y为标准形【例3】设实二次型q(x,x,x= 2x+2x+ax-2xx-2xx-2xx经正交线性替换化为标准形3 y+3 y，求a并写出所有的正交线线替换。（广西师范大学*2009*（七）

4、*20分）解：A= =0有(x-2(x-a+2-2(x-2-（x-a）=0X=0,3，3是A的特征值 -4a+2+4+a=0解之a=2（i）x=33E-A=-T= T=款待，好客，殷勤host -A= n- T2节目主持人3大堆，许多= =T- , > = 2hostile adj1不友好的，敌对的，怀有敌意的 故V=（be hostile to：对有敌意hot adj1使UAU= X=UY 即令=Uhotel 【例4】（1hour (x,x,x= x+3x+3x 2机构，公司，商号3(H一议院vt,xadj家庭(务y,y,yn1住房，住房供给2(外、阀壳，防护罩+hover vi（(鸟

5、翱翔，盘旋2how 维向量x，使xAx<0,并对（1）中实二次型的矩阵Aconj然而，可是，不过维向量x，使xAx=-1.（广西师范大学*2007*八1紧抱，搂2靠岸航行，紧靠行走,x adj巨大的，庞大的hull 1 船身，船体=（t-）(t-5(t-1 =0即A vt,5,1标准形有y-vn(作（嗡嗡声）adj1人的，人类的2有人性的，通人情的humanity n1总称(ii t=1E-A=- T=*humble adj1恭顺的，谦卑的2地位低下的，卑贱的Tadj潮湿的 U=（T，T，Thumo(ur n幽默(感，诙谐AUY= YY= YY=YY=(y,yy= y- n猎人+hurl

6、 1 故=-1+hurricane n龙卷风，暴风(雨hurry ）证明：f(x=Xhurry up：赶紧，赶快=AM（R）（或R）2伤的感情<0故A nX=CY 使得f(x化为实二次型的典范式；fx= XAX=adj1( CACY= y+hygiene +hypothesis n1假设，假说2前提-1的平方项一定存在。令=y=yvt冰镇+iceberg n冰山，流冰idea n=1可得线性方程组：CX=Y C(C（*） 其中Y=(*中系数行列式 由Krammer法则，方程组（*n1认出，识别，鉴定Y= 20 所以知X(x，x,x,x X(解是非零解即CX=Y 有唯一的非零解X这里X，使

7、CXn偶像，神像即f(x=XAX=0+0conj1如果，假如2是否if only-1-1=-(n-p<0故一定X(*ignorant adj1使XAXignore vt（1） 中实二次型为q(x,x,x= -x+3x+3x+4xx及矩阵为A=illness n病，疾病=+illuminate vt1照明，照亮2说明，阐明3启蒙，启发=-1,0【例5】已知二次型f(x,x,x2加插图于illustration n+2axx2+2xx+2bxx经正交变换X=TY化为标准形y+2y1想象，想象力2，b的值及所用的正交变换矩阵T。（广西师范大学*2006*二（3）*16分）解：f(x=XAX=,

8、x,xvt 故A= gadj巨大的，广大的immigrant n（移民，侨民adj(从外国（）-b（=（）-（2总称移民）（ ） -2ab +immortal adj不朽的，永生的+immune adj1 整理有于是a=b=0R为参数值（i） -A=2- y= T=(ii *impatient adj1不耐烦的，急躁的2急切的+impel vt推动，激励，推进+imperative adj1紧急的，必须立即做的2命令的，强制的(iii 2E-A=implement n(plvt T+implication nT=(T,T,T=为所求的正交变换矩阵。【例6】已知二次型f(xvt进口，引进n进口，输入2(pl进口商品，输入额importance n重要(性(a>0通过正交变换化成标准形f=y+2y+5y,求参数aimportant adj3）*16分解vt =1=2=2（adj不可能的，办不到