第五章 测量误差的基本知识-工程测量学

1、工程测量学中海洋大学中国海洋大学2010/4/27Basic Knowledge of Errors in Survey第五章测量误差的基本知识§5.1 观测误差概述§52衡量精度的标准§5.2 衡量精度的标准§53算术平均值及观测值的中误差§5.3 算术平均值及观测值的中误差§5.4 误差传播定律Basic Knowledge of Errors in Survey§5.1 观测误差的分类S1=56.743mS2=56.748mS3=56.745m理论上A+B+C=180理论上：A+B+C=180实测中：A+B+C180理

2、论上：h1+h2+h3+h4 =0实测中h1+h2+h3+h4 实测中：h1+h2+h3+h40 0Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.1 观测误差 观测误差指被观测对象的观测值与真实值或理论值间的差值。一般用符号表示。即：= L观X真（或X理）例如：例如角度测量三角形的闭合差：W A + B + C 180 O高程测量闭合水准线路的高差闭合差：fh = hiBasic Knowledge of Errors in Survey5125.1.2 观测误差产生的原因观测误差产生的原因 观测条件（1）测量仪器水准仪经纬仪等（1）测量仪器：水准仪、经纬仪等（

3、2）观测者：人者人作业员（3）外界条件：风、温度、日照等外界条件温度日照等观测误差Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.2 观测误差产生的原因仪器带来的钢尺量距刻划线刻划不均匀水准测量i角误差Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.2 观测误差产生的原因 观测人员水准测量水准尺上读数1591 ?1591中丝读数：1592 ?1593?1593Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.2 观测误差产生的原因 环境的影响照准目标大气折光Basic Knowledge of Errors

4、 in Survey5.1.2 观测误差产生的原因 产生的原因-观测条件测量仪器：仪器构造上无法达到理论上的要求；仪器构造上无法达到理论上的要求观测者：人的感官上的局限性、操作技能等；外界条件：观测时所处的外界环境；如风力、温度、日照、湿度、气压、大气折光等测量中我们将观测时的人仪器和环境折光等。测量中，我们将观测时的人、仪器和环境统称为观测条件；观测条件变了观测成果的质量也就不一样了。Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.3 观测误差的种类及其处理原则 系统误差：在相同观测条件下，对某一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小、符号上表现出系统性在大小符

5、号上表现出系统性，或者具有一定或者具有一定的规律性，或为一常数，这种误差就称为系统误差。偶然误差：在相同观测条件下，对一观测量进行多次观测，若各观测误差在大小和符号上表现出偶然性，即单个误差而即单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量的误差而言，具有一定的统计规律，这种误差就称为偶然误差。粗差：由于观测条件的不好，使得观测值中含有的误差由于观测条件的不好使得观测值中含有的误差较大或超过了规定的数值，这种误差就称为粗差。Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.3 观测误差的种类及其处理原则 系统误差的特点及解决办法Basic Knowledge

6、of Errors in Survey钢尺量距5.1.3 观测误差的种类及其处理原则 系统误差的特点及解决办法水准测量i角误差Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.3 观测误差的种类及其处理原则 偶然误差水准读数假若：此水准尺的中丝读数的真值：1592第一次估读：1591第二次：第次1591 ？1592 ？1593 ？第三次：？Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.3 观测误差的种类及其处理原则 多余观测测量中为防止错误出现和提高测量精度，一般需要对观测测量中为防止错误出现和提高测量精度一般需要对观测量（对象）采取

7、多次（或重复）观测，或除观测必要的观测量外还需观测与必要观测量有几何关系或函数关系的其他观测外，还需观测与必要观测量有几何关系或函数关系的其他观测量，用作对观测量的检核。因此，把重复观测值或与必要观测Basic Knowledge of Errors in Survey关于高斯的介关于高斯的介绍高斯(Carl Friedrich Gauss, 1777-1855) ，德国数学家、天文学家、物理学家、大地测量学家。1787年高斯10岁解答了数学老师提出的级数问题。1788年，11岁的高斯进入了文科学校，他在新的学校里，所有的功课都极好，特别是古典文学、数学尤为突出。1792年，高斯进入布伦兹维克

8、的卡罗琳学院继续学习。这年，高斯十五岁。在那里，高斯开始对高等数学作研究并且独立发现了二项式定理的般形等数学作研究。并且独立发现了二项式定理的一般形式、数论上的二次互逆定理(Law of Quadratic Reciprocity)、质数分布定理(prime numer theorem)、及算术几何平均(arithmetic-geometric mean)。1795年，他进入德国著名的哥丁根大学，1799年，高斯完成了博士论文，回到家乡布伦兹维克。名声从1802年起就已开始传遍欧洲，1802年，高斯被俄国彼得堡科学院选为通讯院士喀山大学教授1807年，高斯赴哥丁根就职哥丁根得堡科学院选为通讯院

9、士、喀山大学教授。年高斯赴哥丁根就职哥丁根大学数学和天文学教授，以及哥丁根天文台台长的职位。“最伟大的三位（或四位）数学家之一”（阿基米德、牛顿、高斯或加上欧拉）。Basic Knowledge of Errors in Survey本课程假定： 含粗差的观测值已被剔除；含粗差的观测值已被剔除含系统误差的观测值已经过适当改正：含系统误差的观测值已经过适当改正如加改正数采取适当的观测措施等如：加改正数、采取适当的观测措施等。因此在观测误差中仅含偶然误差或是偶因此，在观测误差中，仅含偶然误差，或是偶然误差占主导地位Basic Knowledge of Errors in Survey5.1.4 偶

10、然误差的特性通过对大量的实验数据进行统计分析后，特别是当观测次数n足够多时，可以得出偶然误差具有以下的规律性：足够多时可以得出偶然误差具有以下的规律性：（1）在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值;-限值特性-小误差大概率特性（3）绝对值相等的正负偶然误差出现的可能性相等;-等值等概率特性（4）当观测次数无穷增多时，偶然误差的算术平均值为零）当观测次数无穷增多时偶然误差的算术平均值为零.-均值零特性Basic Knowledge of Errors in Survey（2）绝对值较小的偶然误差比绝对值大的出现的可能性要大;5.1.4 偶然误差的特性 直方图Basic Knowl

11、edge of Errors in Survey5.1.4 偶然误差的特性 误差分布曲线观测次数n1）f () 是偶函数；f (-) = f ()2）|，f (f() )；当当=0 =0时；时f()有最大值；f (有最大值±时，f ()0，Basic Knowledge of Errors in Survey§5.2 衡量精度的标准5.2.1 精度 概念：准确度：精度好说明观测值误差分布得越密集精度好，说明观测值误差分布得越密集,但这并不等价于观测值离真值就越接近只说明了观测值很稳定准确度好则离只说明了观测值很稳定。准确度好则离真值越接近。同精度、不同精度：Basic Kn

12、owledge of Errors in Survey5.2.2 衡量精度的指标 方差f () 二阶导数等于零时，可求得曲线拐点拐=±当拐= ±愈大时，曲线愈平缓，小误差出现的个数较少且分布较分散；当拐= ±愈小时，曲线愈陡峭小差愈陡峭，小误差出现的个数越多的个数越多越集中。Basic Knowledge of Errors in Survey5.2.2 衡量精度的指标 方差观测次数n1、标准差观测次数n2、中误差观测次数n有限个数在相同的观测条件下进行的一组观测称为等精度观测；等精度观测值具有相同的中误差。Basic Knowledge of Errors in

13、 Survey5.2.2 衡量精度的指标方差：标准差中误差在计算中误差m时应取2-3位有效数字，并在数值前冠以"±"号，数值后写上“单位”。号数值后写上“单位”Basic Knowledge of Errors in Survey5.2.2 衡量精度的指标 极限误差（限差）容许误差根据误差理论可知，在大量同精度观测的一组误差中，误差落在以下区间的概率分别为：P（-+） 68.3%P（-2+2） 95.5%P（-3+3） 99.7%大于三倍标准差的观测误差出现的概率只有0.3%，是小概率事件。通常将2倍标准差作为偶然误差的极限值，称为极限误差，即：限=2Basic

14、Knowledge of Errors in Survey5.2.2 衡量精度的指标 相对误差相对误差Basic Knowledge of Errors in Survey5.2.2 衡量精度的指标 相对误差相对中误差Basic Knowledge of Errors in Survey§5.4 误差传播定律5.4.1 概述定义是阐述观测值中误差与观测值函数的中误差之间关系的定律，称为误差传播定律。用途可根据观测值中误差求得观测值函数的中误差。例如xP=xA+SAPcosAP面积：P=ab;yP=yA+SAPsinAP已知mxA,myA,mS,m已知：mxP=?测距：a,b已知：知m

15、a=mb=m求：mP=?Basic Knowledge of Errors in Survey5.4.2 误差传播定律 传播定律问题：设有一般函数：Z= f（x1，x2，xm）式中xi为独立观测值，其中误差为mi 1，2，m），求z z的i，（i=1中误差？前提：在推导和运用误差除传播定律时，函数中的自变量，两两之间不能相互表达观测值间应该是相互独立的，两两之间不能相互表达。推导思想：函数Z的误差z与观测值xi的误差i间的关系可由全微分的形式来表达。Basic Knowledge of Errors in Survey5.4.4 误差传播定律的几个特例1. 观测值与常数乘积的中误差，等于观测值

16、中误差乘常数。2.3. k个观测值代数和的中误差平方，等于k个观测值中误差的平方和。4. 注意：观测值必须是独立观测值观测值必须是独立观测值。Basic Knowledge of Errors in Survey5.4.5 误差传播定律题例值无误差，则B点的坐标精度mx、my ?Basic Knowledge of Errors in Survey5.4.7 同精度条件下，中误差的计算 由双观测值的差数计算中误差di=L1i-L2i（i=1，2，3，n）例6：对8条边作等精度双次观测，结果如下。取每条边的算术平均值为该边的最或然值，求观测值中误差和最或然值中误差。编号：1 2 3 4 5 6

17、7 8L1：103.478, 99.556, 100.373, 101.763, 103.350, 98.885, 101.004, 102.293Basic Knowledge of Errors in Survey5.4.8 同精度条件下，中误差的计算小结同精度条件下，观测值中误差的计算： 由真误差计算：由双观测值计算：由改正数计算：Basic Knowledge of Errors in Survey1、在等精度观测的条件下，正方形一条边a的观测中误差为1m，则正方形的周长（则正方形的周长（=4a）中的误差为（）.mm；.2m2m；.4m4m2、丈量某长方形的长为a=20，宽为b=15，它们的丈量精度（）相同；.不同；.不能进行比较3、衡量一组观测值的精度的指标是（衡量组观测值的精度的指标是（）.中误差；.允许误差；.算术平均值中误差4、在距离丈量中，衡量其丈量精度的标准是（）.