第十讲图形变换

1、第十讲：图形变换知识梳理知识点1、平移变换重点：掌握平移的概念及性质难点：平移性质的运用  1. 平移的概念：平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移注：平移变换的两个要素：移动的方向、距离  2. 平移变换的性质（1）平移前后的图形全等即：平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：（2）对应线段平行（或共线）且相等；（3）对应点所连的线段平行（或共线）且相等如图所示，且共线，且来源:21世纪教育网  3. 用坐标表示平移：（1）在平面直角坐标系中，将点：向右或向左平移a个单位点或向上或向下平移b个单位点或（2）对一个图形进行平移，相当于

2、将图形上的各个点的横纵坐标都按（1）中的方式作出改变 例1. 下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是（    ）来源:21世纪教育网          A.               B.               C

3、.                 D. 解题思路：根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置选项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变解答：选A例2如图1，修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面积为540米2，则道路的宽应是 米？32m20m图120-x32解题思路：尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了解答：将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左

4、方，设道路宽为x米，则有 ，整理，得 ， ，（不合题意，舍去）， 道路宽应为2米练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，若每个小长方形的面积都是1，则图中阴影部分的面积是 答案为5 知识点2、轴对称变换重点：掌握轴对称的概念及性质难点：轴对称的性质的运用  1. 轴对称的概念：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称或轴对称这条直线就是对称轴两个图形中的对应点（即两图形重合时互相重合的点）叫做对称点如图所示，关于直线l对称，l为对称轴  2. 轴对称图形：把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这

5、个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条  3. 轴对称与轴对称图形的区别与联系： 区别联系轴对称轴对称是指两个图形的对称关系把轴对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为轴对称图形；把轴对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成轴对称来源:21世纪教育网来源:21世纪教育网来源:21世纪教育网来源:21世纪教育网轴对称图形来源:21世纪教育网21世纪教育网轴对称图形是指具有某种对称特性的一个图形来源:21世纪教育网  4. 轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形全等；（2）对称点的

6、连线段被对称轴垂直平分；（3）对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上；（4）轴对称图形的重心在对称轴上如图被直线l垂直平分  5. 轴对称变换的作图：举例说明：已知四边形ABCD和直线l，求作四边形ABCD关于直线l的对称图形作法：（1）过点A作l于E，延长AE到A，使，则得到点A的对称点；（2）同理作B、C、D的对称点；（3）顺次连结则四边形为四边形ABCD关于直线l的对称图形  6. 用坐标表示轴对称：点关于x轴对称的点为；点关于y轴对称的点为；点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为；点关于直线的对称点为点关于直线的对称点为  例1. 下列图形中，是

7、轴对称图形的为（    ）            A.                B.                C.     &#

8、160;          D. 解题思路：根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分所以解决此题的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴解答：选D   例2. 如图所示，关于直线l对称，将向右平移得到由此得出下列判断：；其中正确的是（   ）A.          B.   &#

9、160;      C.         D. 解题思路：由于是从平移得来的，故，但与关于l成轴对称，不一定有，故不一定正确；平移和轴对称变换都是全等变换，故和正确解答：选B练习1. 如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点O，其直径CD、EF均和x轴垂直，以O为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F，则图中阴影部分的面积是_2. 已知AOB30°，点P在AOB内部，与P关于OB对称，与P关于OA对称，则等于（    ）A. 45&

10、#176;        B. 50°        C. 60°         D. 70°答案：1.     2. 60° 知识点3、旋转变换重点：掌握旋转的概念及性质难点：旋转的性质的运用1. 旋转变换的概念：在平面内，将一个图形绕一个定点O沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定的角度，这样的

11、图形变换叫做旋转这个定点O叫旋转中心，转动的角称为旋转角注：旋转变换的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角2. 旋转变换的性质：（1）旋转前、后的图形全等（2）对应点到旋转中心的距离相等（意味着：旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上）（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角3. 旋转变换的作图：（1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；（2）找出能确定图形的关键点；（3）连结图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关键点的对应点；（4）按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形5. 旋转对称性：如果某图形绕着某一定点转动一定角度（小于360°

12、;）后能与自身重合，那么这种图形就叫做旋转对称图形6. 中心对称：把一个图形绕着某个定点旋转180°，如果它能和另一个图形重合，那么这两个图形关于这个定点对称或中心对称这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于对称中心的对称点7. 中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋转的一切性质，另外，还有自己特殊的性质（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分（即：对称中心是两个对称点连线的中点）；（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或共线）；（4）中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线

13、平分该图形的面积如图所示，若关于点O中心对称，则对称中心O是线段共同的中点，且，且；反过来，若线段都经过点O且O是它们的中点，那么关于点O中心对称  8. 中心对称的作图：以上图为例，作关于点O的对称图形：（1）找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；（2）分别作出原图形的关键点的对称点如：连结AO，并在AO的延长线上截取，则点A为点A关于点O的对称点；（3）按原图形的连结方式顺次连结各关键点的对应点，即点所得的图形即为求作的对称图形  9. 中心对称图形：一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中心对称图形这个定点叫做该图形的对称中心中心

14、对称图形是一种特殊的旋转对称图形（旋转角等于180°）  10. 中心对称与中心对称图形的区别与联系 区别联系中心对称中心对称是指两个图形的对称关系把中心对称的两个图形看成一个“整体”（一个图形），则称为中心对称图形；把中心对称图形的互相对称的两个部分看成“两个图形”，则它们成中心对称中心对称图形中心对称图形是指具有某种对称特性的一个图形  11. 关于原点对称的点的坐标点关于原点对称的点的坐标为  例1. 在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1，构成的图形是中心对称图形（1）画出此中心对称图形的对称中心；（2）画出将沿直线DE方向向上

15、平移5格得到的；（3）要使重合，则绕点顺时针方向旋转；至少要旋转多少度？（不要求证明）解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的大小画出图形后，可以看出，点与点是旋转变换的一组对应点，则等于旋转角解答（1）如图，画出对称中心点O（2）画出（3）至少需要旋转90°   例2 .如图所示，是绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心，并测量出旋转角的大小解题思路：可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心解答：如图，连结、，分别作和

16、的垂直平分线，交于点O则点O即为旋转中心连结、，测量得，故旋转角等于练习1. 如图所示，均为等腰直角三角形，BAFEAC90°，那么以点A为旋转中心逆时针旋转90°之后与_重合，其中点F与点_对应，点C与点_对应2. 如图两个全等的正六边形ABCDEF，PQRSTU，其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如果它们的面积均为3，那么阴影部分的面积是（    ）答案：1. ，B，E 2.1知识点4、位似变换重点：掌握位似的概念及性质难点：位似的性质的运用（1）如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位似图形，这个点叫

17、做位似中心（2）如果两图形F与是位似图形，它们的位似中心是点O，相似比为k，那么：设A与是一双对应点，则直线过位似中心O点，并且设A与，B与是任意两双对应点，则；若直线AB、不通过位似中心O，则（3）利用位似，可以将一个图形放大或缩小（4）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或  例 已知等边，画一个与之相似且它们的相似比为2的。 解题思路：已知一个等边，要求画一个三角形，使这两个三角形相似，并且相似比为2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形

18、与原三角形相似，这样形成的对应边的关系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值2，那么要画的三角形边与原三角形的边是对应边，要满足比值为2的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。 根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，它们都可以实现放大或缩小的作用。 解：如图1，当设位似中心在的形内时，取内心O作为位似中心。 （1）在AO、BO、CO上分别取中点，连结AB、BC、AC，则，且有； （2）取的内心O，连接OA、OB、OC且延长，使，连结，则有，且。 如图2，设位似中心在的外部时 （1）在外任取一点O，过O点作射线OA、OB、OC，并截取，且

19、。 （2）在外任取一点，过O作直线OA，OB，OC，在OA、OB、OC的另一侧取，使，。连结、，则可证，且。练习下列说法正确的是（ ） A分别在ABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E，使DEBC，则ADE是ABC放大后的图形； B两个位似图形的面积比等于位似比； C位似多边形中对应对角线之比等于位似比； D位似图形的周长之比等于位似比的平方答案：C最新考题中考要求及命题趋势 1理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；2掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。3理解图形的平移性质；4会 按要求画出平移图形；5会利用平移进行图案设计。6理解图形旋转的有关性质；7掌握基本中心对称图形；8会

20、运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计2010年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。应试对策 1要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图形予以辨认轴对称图形，并能按要求作图。2要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。 3要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关知识进行图案设计。 考查目标一、平移变换问题例1(09.盐城)在5×5方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示，那么正确的平移方法是(

21、).A.先向下移动1格，再向左移动1格B.先向下移动1格，再向左移动2格C.先向下移动2格，再向左移动1格D.先向下移动2格，再向左移动2格解题思路： 利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移2格，再向左平移1格或先向左平移1格，再向下平移2格均可.选C.例2(2009扬州) 如图在AOB中，AO=AB.在直角坐标系中，点A的坐标是(2,2)，点O的坐标是(0,0)，将AOB平移得到AOB，使得点A在y轴上.点O、B在x轴上.则点B的坐标是_.解题思路：AOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为(4,0)，将AOB平移得到AOB，使得点A在y轴上是将图形向左平移2个单位长度.根据平移特点，平移

22、后对应线段相等，因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B的坐标为(2,0).考查目标二、旋转变换问题例1（08徐州） 如图所示，在图甲中，RtOAB绕其直角顶点O每次旋转90°，旋转三次得到右边的图形.在图乙中，四边形OAB绕O点每次旋转120°，旋转二次得到右边的图形.下列图形中，不能通过上述方式得到的是().解题思路：(A)、图(B)、图(C)都可以用一个基本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到，而图(D)不能由旋转得到.故选(D).例2 （09.宿迁）如图5所示，把一个直角三角形尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合.(1

23、)三角尺旋转了多少度？(2)连结CD，试判断CBD的形状；(3)求BDC的度数.解题思路：(1)顶点A顺时针旋转后与点E重合，ABE和CBD都等于旋转角.ABC=30°，所以ABE=180°-30°=150°，所以三角尺旋转了150°.(2)BC和BD是对应边，BC=BD，所以CBD是等腰三角形.(3)CBD是等腰三角形，CBD=150°，所以.考查目标三、折叠问题例1 如图6，梯形纸片ABCD，B=60°，ADBC，AB=AD=2，BC=6.将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE，则CE=_.解题思路：折叠后点B与点D重

24、合，BAE=DAE.B=60°，BAE=60°.ABE是等边三角形.BE=AB=2，CE=CB-BE=6-2=4.例2（09苏州）在矩形中，如图，将矩形折叠，使点与点重合，求折痕的长 解题思路：连结，则=设= ，则= 在CDE中，所以解得 即在中，由题意知：所以，在中，又因为 所以，所以，综合练习.： 如图所示，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点（1）求B、A两点的坐标；（2）把以直线AB为轴翻折，点O落在平面上的点C处，以BC为一边作等边求D点的坐标答案：（1）令，由，令点的坐标为，A点的坐标为（0，1）（2）由（1）知，过点C作轴于M，则在中，C点坐标为连结OC，为等边

25、三角形过点C作轴，并截取CEBC，则BCE60°连结BE，则为等边三角形作轴于F，则点D的坐标为（0，0）或 过关测试一、选择题1.下列图形中，是中心对称图形的是-（ ） A.菱形 B.等腰梯形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形ABCD2下列图案中，不是中心对称图形的是 （ ）3下列图案中，不是轴对称图形的是 （ ） A B C D 4下列图形中，旋转600后可以和原图形重合的是（） A.正六边形 B.正五边形 C.正方形 D.正三角形5在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）6下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）等边三角形正方形正六边

26、形圆7下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（ ）A圆B正六边形C正方形D等边三角形8下面四个图案中，是旋转对称图形的是（） 9下列图案属于轴对称图形的是 （） A B CD10下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是 （）A.正三角形B.菱形C.直角梯形D.正六边形11下列图形中，轴对称图形的是 （） 12下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （）正六边形正五边形平行四边形等腰三角形二、填空题1如图1，小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°，再沿直线前进10米，又向左转30°，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了 米。图1图22.如图

27、2用等腰直角三角板画，并将三角板沿方向平移到如图所示的虚线处后绕点逆时针方向旋转，则三角板的斜边与射线的夹角为_3.如图3，已知RtABC中，C=，AC=4cm，BC=3cm，现将ABC进行折叠，使顶点A、B重合，则折痕DE= cm。4如图4，直角梯形中，将腰以点为中心逆时针旋转至，连结，则的面积是 5如图5，在的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的，请你找出格纸中所有与成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有 个（图4）图5图3（图6）6如图6，RtABC中，B90°，AB3cm，AC5cm，将ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则ABE的周长等于_cm.三、解答题1.

28、如图,已知O是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3，-1)、(2,1) (1)以0点为位似中心在y轴的左侧将OBC放大到两倍(即新图与原图的相似比为2)，画出图形； (2)分别写出B、C两点的对应点B、C的坐标；(3)如果OBC内部一点M的坐标为(x，y),写出M的对应点M的坐标2如图是规格为8×8的正方形网格,请在所给网格中按下列要求操作： 请在网格中建立平面直角坐标系, 使A点坐标为(2，4)，B点坐标为(，2)； 在第二象限内的格点上画一点C, 使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形, 且腰长是无理数, 则C点坐标是 ， ABC的周长是 (结果保留根号)； 画出ABC以点C为旋转中心、旋转180°后的ABC, 连结AB和AB, 试说出四边形ABAB是何特殊四边形, 并说明理由.3.在平面直角坐标系中，直线过点M(3,0)，且平行于轴.(1)如果ABC三个顶点的坐标分别是A(-2,0),B(-l,O),C(-1,2)，ABC关于轴的对称图形是A1B1C1，A1B1C1关于直线的对称图形是A2B2C1，写出A2B2C1的三个顶点的坐标；(2)如果点的坐标是(,0)，其中，点P关于轴的对称点是，点关于直线的对称点是，求的长.4如图，中，（1）将向右平移个单位长度，ABCOxy画出