三平面与圆锥面的截线

1、平面与圆锥面的截线核心必知1.平面与圆柱面的截线椭圆组成元素：FF?叫椭圆的焦点;F1F2叫椭圆的焦距；AB叫椭圆的长轴；CD叫椭圆的短轴.如果长轴为2a,短轴为2b,那么焦距2c=走三b2.（2）如图（1）, AB、CD是两个等圆的直径， AB/CD, AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF,切点分别为 Fi、F2,交BA、DC的延长线于 E、F,交AD于Gi,交BC于G2.设EF与BC、CD的交角分别为 6 ft(1) G2F1+G2F2三AD; G1G2=AD；G2F1G2E,三cos（）三sin如图（2）,将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓广为两

2、个平面 “、3, EF拓广为平面%则平面y与圆柱面的截线是椭圆.即得定理 1:圆柱形物体的斜截口是椭圆.2.平面与圆锥面的截线（1）如图，AD是等腰三角形底边 BC上的高，/ BAD= %直线l与AD相交于点P,且与AD的夹角为3"<华l',则：B > a , l与AB（或AB的延长线 卜AC相交；3 = ", l与AB不相交；3 < a , l与BA的延长线、AC都相交.(2)定理2:在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为a, l'围绕l旋 转得到以。为顶点，l'为母线的圆锥面.任取平面 兀，若它与轴l的交角为当兀与

3、l平 行时，记3= 0),则3 > a ,平面兀与圆锥的交线为椭圆；3 = a,平面兀与圆锥的交线为抛物线；3 < a ,平面兀与圆锥的交线为双曲线.问题思考用平面截球面和圆柱面所得到的截线分别是什么形状？提示：联想立体图形及课本方法，可知用平面截球面所得截线的形状是圆；用平面截圆柱面所得截线的形状是圆或椭圆.考点1圆的定义1、已知圆柱底面半径为 小,平面3与圆柱母线夹角为 60° ,在平面3上以G1G2所在直 线为横轴，以G1G2中点为原点，建立平面直角坐标系，求平面3与圆柱截口椭圆的方程.精讲t析本题考查平面与圆柱面的截线.解答本题需要根据题目条件确定椭圆的长 轴和短

4、轴.过 Gi 作 GiHXBC 于 H.圆柱底面半径为 V3,AB = 2<3.四边形ABHGi是矩形，AB=GiH=2寸3.GiH2 3,在 RtGiG2H 中,G1G2=sinZGiG2H=击=4.2又椭圆短轴长等于底面圆的直径2y3,椭圆的标准方程为x2+y2=i. 43- - 借助条件中已经建立的直角坐标系，通过相关平面图形转换确定椭圆的长、短轴的长是关键.变式训练：1 .平面内两个定点的距离为8,动点M到两个定点的距离的和为 10,求动点M的轨迹方程.解：以两点的连线段所在的直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为<

5、;+£=1.a b-1 2a= 10, 2c= 8,a=5, c= 4.则 b2= 9.2 2故所求椭圆的方程为- + =1.25 9考点2定理1和定理2的应用2、证明：定理2的结论（1）,即伊a时，平面兀与圆锥的交线为椭圆. 精讲t析本题考查平面与圆锥面的截线.解答本题需要明确椭圆的定义，利用椭圆 的定义证明.如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入Dandelin双球，一个位于平面兀的上方，一个位于平面兀的下方，并且与平面兀及圆锥均相切.当3>“时，由上面的讨论可知，平面兀与圆锥的交线是一个封闭曲线.设两个球与平 面兀的切点分别为 F1、F2,与圆锥相切于圆 6、S2.在截

6、口的曲线上任取一点P,连接PFi、PF2.过P作母线交Si于Qi,交S2于Q2,于是PF1和PQi是从P到上方球的两条切线，因此 PFi=PQi.同理，PF2 = PQ2.所以 PF1+ PF2= PQ1+ PQ2= Q1Q2.由正圆锥的对称性，QiQ2的长度等于两圆 Si、S2所在平行平面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在3>“时，平面兀与圆锥的交线是以Fi、F2为焦点的椭圆.- - 由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采用与上节中定理i的证明相同的方法，即 Dandel

7、in双球法，这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证 明，使问题得到解决. 变式训练2.在空间中，取直线l为轴，直线I'与l相交于。点，夹角为& I'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面 兀,若它与轴l的交角为以当兀与l平行时，记3=0),求证:A a时，平面证明：如图，设平面兀与圆锥内切球相切于点Fi,球与圆锥的交线为圆 S,过该交线的平面为兀，兀与兀相交于直线 m.在平面兀与圆锥的截线上任取一点P,连接PFi.过点P作PAm,交m于点A,过点P作兀的垂线，垂足为 B,连接AB,则ABm,PAB 是兀与兀所成二面角白平面角.连接点 P与圆锥

8、的顶点，与 S相交于点Qi,连接BQi, 则/ BPQ= a, / APB= 0在 RtAPB 中，PB= PAcos 3 .在 RtPBQi 中，PB = PQicosPQi= cos".PFi又 PQi = PFi, a = 3, . . _j. = i ,PA即PF = PA,动点P到定点F1的距离等于它到定直线m的距离，故当 e= 3时，平面 与圆锥的交线为抛物线.本课时考点在高考中很少考查.本考题以选择题的形式考查了平面与圆柱面的截线的形状， 是高考命题的一个新动向.已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45。角，则截线椭圆的焦距为（）A. 2/B. 2C. 4 D

9、. 4啦命题立意本题主要考查平面与圆柱面的截线问题，同时考查椭圆的相关性质.解析选C由题意知，椭圆的长半轴长 a= . 2 =2娘,sin 45短半轴长b=2,则半焦距c=后=b2=.8- 4 = 2.所以焦距2c=4.一、选择题1 .下列说法不.正确的是（）A.圆柱面的母线与轴线平行B.圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C.圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角 有关D.平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径解析：选D 显然A正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B正确，C显然正确，D中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确.2 .

10、过球面上一点可以作球的 （）A. 一条切线和一个切平面B.两条切线和一个切平面C.无数条切线和一个切平面D .无数条切线和无数个切平面解析：选C 过球面上一点可以作球的无数条切线，并且这些切线在同一个平面内，过球面上一点可以作一个球的切平面.3 .球的半径为3,球面外一点到球心的距离为6,则过该点的球的切线和过切点的半径所成的角为（）B. 60°A. 30°C. 90° D.不确定解析：选C 由平面内圆的切线垂直于过切点的半径，我们推广到空间中仍有球的切线垂直于过切点的球的半径，因为切线与过切点的半径仍相交，故可以转化为平面图形，因而可以利用平面图形的性质来解决.

11、4. 一圆锥面的母线和轴线成 30°角，当用一与轴线成 30°的不过顶点的平面去截圆锥 面时，所截得的截线是（）A.椭圆 B.双曲线C.抛物线 D.两条相交直线解析：选C 如图可知应为抛物线.二、填空题5. 一平面与半径为 3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10,则截面与圆柱面母线的夹角的余弦值为 .解析：因为两焦球的球心距即为椭圆的长轴长，所以2a=10,即a= 5.又椭圆短轴长 2b=6,即b=3,c 41- c= 4.故 e= cos 6 =-=-.4答案：456. 一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截线椭圆的长轴长为6,则圆柱面的半

12、径为.2解析：由 2a =6,即 a =3,又 e= cos 45 =,得b = c= ea=2x3 = 32,即为圆柱面的半径.答案:3227. 设圆锥面V是由直线l绕直线l旋转而得，1'与l交点为V, 1'与l的夹角为 40。<“<90° ）,不经过圆锥顶点 V的平面兀与圆锥面V相交，设轴l与平面兀所成的角为3,则:圆锥面的交线为圆；圆锥面的交线为椭圆；圆锥面的交线为双曲线;圆锥面的交线为抛物线.3< a 3= a当 时，平面兀与当 时，平面兀与当 时，平面兀与当 时，平面兀与答案：3= 90°”<为90°8 .半径分别

13、为1和2的两个球的球心距为 12,则这两个球的外公切线的长为 , 内公切线的长为.解析：设两个球的球心为 O1 , O2 ,外公切线的切点为 A、B ,则有|AB| = 4。1。2- (Ri-R2)2 =522- (2-1) 2 = Vi43,设内公切线的切点分别为 C、D,则|CD|= Nod- ( R1+ R2) 2=，122 (2+1) 2 = <1449 = V135 = 3/15.答案：7143 3亚三、解答题9 . 一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为8,长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10,求椭圆的离心率.解:如图所示为截面的轴面，则 AB= 8, SB=6, SA=

14、 10,31 + cosZ ASB；22,55则/SBA=，cos/ASB=t 251 , cos/ BSP= cos? / ASB =5cos/ SPB . cos/ SPB= sin/ BSP=, . e=5cos/ BSP10.如图，上面一个 Dandelin球与圆锥面的交线为圆S,记圆S所在的平面为 兀，设兀与兀的交线为m.在椭圆上任取一点 P,连接PF1,在兀中过P作m的垂线，垂足为 A, 过P作兀的垂线，垂足为 B,连接AB是PA在平面兀上的射影.若 RtAABP 中，/ APB= 0求平面兀与兀所成二面角的大小.解：由已知PBtt',平面兀n平面兀=m. mPB.又 RA,m, . m,面 PAB, / pab是兀与兀所成二面角的平面角.兀又/apb=3，/pab=-2b11 .定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 y2=x上移动，设线段 AB的中点为M, 求点M到y轴的最短距离.11解：设 A(x1，y1)，B(x2, y2),则 AF=X1+Z，BF = X2+* 右 AB 过 F,则 AF+BF = AB,3 1