【2020版】八年级数学下册专题讲练：借“数形结合思想”解题试题(含答案)

1、借“数形结合思想”解题t重点难点易错点点点着通1数形结合的经典分类1 .利用函数图象，寻找特殊图形的构成。(1)利用函 数图象，寻找等腰三角形的第三点坐标。如：在平面直角坐标系中，A (2,2),点P在x轴上，若 APO是等腰在三角形，求P坐标？答案:Pi ( 2衣,0), P2 (-242, 0), E (4, 0), P4(2, 0)。(2)利用函数图象，构造平行四边行(或特殊平行四边形)。如：函数 y=2x+2与x轴y轴交于A、B两点，在坐标平面内找一点C,使A、B、C、O构成平行四边形，求C 坐标。答案:C1 (-1,2 ), C2 (-1,-2 ), C3 (1,2)。2 .利用全等

2、三角形及函数图象解决问题。如图所示，直线 L: y=x+l与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A B两点。设Q为AB 延长线上一点，作直线 OQ过A B两点分别作 AML OQF M BNL OQF N,若A附4, BN=3, 求MNB勺长。答案：7。3 .利用动点及多函数交点坐标解决与面积有关的问题。如图，一次函数 y=axb与正比例函数 y=kx的图象交于第三象限内的点 A,与y轴交 于B (0, 4), OAB勺面积为6,在y轴上是否存在一点 E,使$ abe=5,若存在，求 E点 的坐标；若不存在，请说明理由。2答案：Ei (0, ), E23(0,3总结：综合性问题涉及的内容较多，解题

3、根本是熟练掌握各知识点；难度较大。3g直黑雅殿名校餐题爱经典】例题 如图，在平面直角坐标系中， 多边形0ABCD的顶点坐标分别是6) , B (4, 6) , C (4, 4) , D (6, 4) , E (6, 0)。若直线 l 经过点多边形OABCD的割成面积相等的两部分，则下列各点在直线A. (4, 3)B. (5, 2) C. (6, 2) D.l上的是(/c 1。、0 0,)30(0,M (2,)0) , A (0,3),且将DOECXf以上所举例子只是综合性习题中的一小部分，往往要多个问题综合到一起,解析：先延长 点的坐标得出四边形工6A.h jfl h *N,由所给BC交x轴于

4、点F,连接OB AF, DF, CE, DF和CE相交于点OABC四边形CDEF都为矩形，并且点 M (2, 3)是矩形OABFM角线的交点，点N是矩形CDEF勺中心，得出直线l必过MB N点，再设直线l的解析式为y=kx+b, 利用待定系数法即可求出直线l的函数表达式，然后把所给的点分别代入，即可求出答案。答案：如图，延长 BC交x轴于点F,连接OB AF, DF, CE, DF和CE相交于点N, 二。(0, 0) , A (0, 6) , B (4, 6) , C (4, 4) , D (6, 4) , E (6, 0) , .四边形 0ABF 为矩形，四边形CDEF为矩形，.点M(2,

5、3)是矩形0ABFF寸角线的交点，.点M为矩形ABF0 的中心，直线l把矩形ABF8成面积相等的两部分，同理可证：点N是矩形CDEF的中心，点N (5, 2) , 过点N (5, 2)的直线把矩形 CDE吩成面积相等的两部分，直线MN2kb = 3就是所求的直线l ,设直线l的解析式为y=kx+b,把M2,3）N5,2）代入上式得：，5k b = 2,_ 1丘/口一一31117 皿解得：33, .所求直线l的函数表达式是：y=1x+11,当x=4时，y=7,则A,11333b =3不正确；当x=5时，y=2,则B正确；当x=6时，y=5 ,则C不正确；当x=0时，y=,则D不正确；故选B。形对

6、角线交点点拨：本题考查了一次函数的综合，用到的知识点是矩形的性质即过矩的直线平分矩形的面积和待定系数法求解析式, 边形OABG口四边形CDEF都是矩形。解题的关键是根据图形作出辅助线，求证四展纷t拓展总结提升善分必读】利用特殊图形求解析式例题 如图，在平面直角坐标系中， 等腰直角 ABO的。点是坐标原点，A的坐标是（一 4, 0）,直角顶点B在第二象限，等腰直角4 BCD的C点在y轴上移动，我们发现直角顶点 D点随之在一条直线上移动，这条直线的解析式是（A. y=2x+1B. y= -x+22C. y= 3x 2 D. y= x+2解析：抓住两个特殊位置：当 BC与x轴平行时，求出 D的坐标；

7、C与原点重 合时，D 在y轴上，求出此时 D的坐标，设所求直线解析式为y=kx+b ,将两位置D坐标代入得到关于k与b的方程组，求出方程组的解得到k与b的值，即可确定出所求直线解析式。答案：解：当BC与x轴平行时，过 B作BHx轴，过D作DFL 轴，交BC于点G,如 图1所示，二.等腰直角 ABO 的O点是坐标原点，A的坐标是（ 4, 0）,，AO=4bc=be=ae=eo=gF=oa=z2OF=DG=BG=cG=BC=1, DF=DG+GF= 3.1.D 坐标为（一1, 3）;当 C 与原点。重合时，D2在y轴上，此时OD=BE=2即D （0, 2）,设所求直线解析式为 y=kx+b （kw

8、0）,将两点坐标-k b =3 k = -1、,代入得：，解得：/。则这条直线解析式为y=x+2。故选D。b=2b=2点坐标问题例题 (江东区)如图，矩形OABC勺顶点B的坐标为B (8, 7),动点P从原点O出发, 以每秒2个单位的速度沿折线 OA AB运动，到点B时停止，同时，动，点Q从点C出发，以 每秒1个单位的速度在线段 CO上运动，当一个点停止时，另一个点也随之而停止。在运动 过程中，当线段 PQ恰好经过点 M (3, 2)时，运动时间t的值是 。-W解析：设直线PQ的方程为y=kx+b (kw0)。分类讨论：当点 P在线段OA上和点P在 线段AB上运动时两种情况。把点 P、Q M的

9、坐标分别代入函数解析式，通过方程组来求 t 的值。1小事0 2 C X答案：解：设直线PQ的方程为y=kx+b (kw0)。矩形 OABC勺顶点B的坐标为B (8, 7) ,OA=7 OC=8 当点 P在线段 OA上，即 0<t< 3.5 时，如图，P (0, 2)、Q (8b =2tt, 0)。二.直线 PQ经过点 M (3, 2) , (8t)k+b=0。解得 t=2 ;3k+b = 2当点 P在线段 AB上，即 3. 5Wt<7 时，如图，P' ( 2t-7 , 7)、Q (8 t, 0)。.:(2t -7)k +b = 7直线PQ经过点M (3, 2) ,&l

10、t;(8t)k+b=0 。解得，t=5 ；综上所述，t的值是2或5。3k b = 2故答案是：2或5。工即学即需肌固提升】(答题时间：45分钟)、选择题1 .如图，在平面直角坐标系中，直线 y=2x2与矩形ABCM边OC BC分别交于点E、33F,已知OA=3 OC=4则4CEF的面积是（A. 6 B. 3 C. 12 D.2 .如图，把RtABC放在平面直角坐标系内，其中/ CAB=90 , BC=5点A B的坐标分 别为（1, 0）、 （4, 0） , WA ABC沿x轴向右平移，当点 C落在直线y=2x 6上时，线段 BC扫过的面积为（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 82-O A

11、 / B/I A*3.在平面直角坐标系中，已知直线y=3x+3与x轴、y轴分别交于 A、B两点，点C4（0, n）是y轴正半轴上一点。把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，则点C的坐标是（）A. （0, 3） B. （0, - ） C. （0, 3） D. （0, 4）43*4.如图，一次函数 y=3x+3的图象分别与x轴、y轴交于点A B,以线段AB为边 4在第一象限内作等腰 RtAABtC / BAC=90。则过 B C两点直线的解析式为（）A. y= x+3 B. y= - x+3 C. y= x+3 D. y= - x+37543*5. 正方形 AiBiGQ A2B2C2G,

12、 A3B3C3c2,按如图所示的方式放置。点Ai, A2, A3,和点C, G, G,分别在直线 y=kx+b (k>0)和x轴上，已知点 Bi (i, 1) , B2 (3, 2), 则R的坐标是()A. (2n1, 2nIB.(2n1+1, 2n I C. (2n 1, 2n1)D.(2n1, n)、填空题*6.如图，直线y=4x+4与x轴、y轴分别交于 A、B两点，点C在OB上，若将 ABC沿 3AC折叠，使点B恰好落在x轴上的点D处，则点C的坐标是 .*7.在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A (0, 1) , B (1, 2),点P在x轴上运动，当点P到A、B两点距离之差的绝

13、对值最大时，点P的坐标*8.(铁岭)如图，在平面直，角坐标系中，直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐 角为60° ,过点A(0, 1)作y轴的垂线交l于点B,过点B作直线l的垂线交y轴于点Ai, 以AR BA为邻边作？ABACi；过点A作y轴的垂线交直线l于点Bi,过点B作直线l的垂 线交y轴于点A2,以A2B、BA为邻边作？AiBiA<2;；按此作法继续下去，则 C的坐标*9.(攀枝花)如图，已知直线li： y= 2x+8与直线l2： y=-2x+16相交于点C,直33线li、I2分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG勺顶点D E分别在l i、l 2上，顶点F、G都在x轴上，

14、且点G与B点重合，那么 S 矩形 DEFG SaAB(= OI三、解答题*i0.在平面直角坐标系 xOy中，A (2, m) , B (3, i) , C (6, 0),且点A在函数y=-x的图象上，点P为x轴上一动点，当 OAP与CBP的周长和最小时，点 P的坐标为？*ii.图所示，直线 L： y=mx+5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于 A、B两点。(i)当OA=O酎，试确定直线 L解析式；(2)在(1)的条件下，如图所示，设 Q为AB延长线上一点，连接 OQ过A、B两 点分另1J作 AML OQ于M BNL OQ于N,若AM=4 MN=7求BN的长；(3)当M取不同的值时，点 B在y轴

15、正半轴上运动，分别以 OB AB为边在第一、第二 象限作等腰直角 OBF和等腰直角4ABE连 EF交y轴于P点，问当点B在y轴上运动时， 试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值；若不是，请求其取值范围。*12.直线AB: y=xb分别与x、y轴交于A (6, 0)、B两点，过点B的直线交x轴负 半轴于C,且OB OC=3 1。(1)求直线BC的解析式；(2)直线EF: y=2x- k (kw0)交 AB于E,交BC于点F,交x轴于D,是否存在这样 的直线EF,使得Saebd=S；afbd?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；(3)如图，P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点、BP为腰

16、在第一象限内作等 腰直角三角形 BPQ连接 QA并延长交y轴于点K,当P点运动时，K点的位置是.否发生变1. B 解析：当 y=0 时，2x- 2=0,解得 x=1 , .点 E 的坐标是（1, 0）,即 OE=1 ,OC=433EC=OG OE=4- 1=3, .点 F 的横坐标是 4,y= 2 X4- 2 =2,即 CF=2,. CEF 的面积331 _1=_ XCEX CF=X3X2=3。故选 Bo2 22. C 解析：二,点 A、B 的坐标分别为（1, 0）、（4, 0） ,，AB=3 BC=5 / Z CAB=90 , ，AC=4 二点 C的坐标为（1,4）,当点 C落在直线y=2x

17、 6上时，令y=4,得到4=2x 6,解得x=5, 平移的距离为 5-1=4, 线段BC扫过的面积为4X4=16,故选 Co3. B 解析：过C作CDLAB于D,如图，又行1直线 y=- - x+3,令x=0,得y=3;令y=0,4x=4,，A （4, 0） , B （0, 3）,即 OA=4, OB=3AB=5 又二.坐标平面沿直线 AC折叠， 使点 B 刚好落在 x 轴上，AC 平分/ OAB CD=CO=n则 BC=3-n,DA=OA=4DB=5-4=1,在 RtBCD中，dC+bD=bC, .,.n2+12= （3-n）：解得 n=4 , ,点 C的坐标为（0, -_） o33故选Bo

18、4. A 解析：:一次函数 y= x+3中，令x=0得：y=3 ;令y=0,解得x=4, . .B的坐标4是（0,3）,A 的坐标是（4, 0）。如图，作 CDLx 轴于点 D= ,一/BAC=90° ,OAB+ CAD=90 ,BOA »ADC =90又 /CAD+ACD=90 , /ACD=BAO 在 ABO与ACAD中,«/BAO =ACDIAB =CA.ABW CAD（ AAS , OB=DA=3 OA=DC=4 OD=OA+AD=7则 C 的坐标是（7, 4）。设直线BC的解析式是y=kx+b ,根据题意得:7k b-4b = 31k =-解得 7，直线

19、b = 3BC的解析式是y= x+3o故选A75. C 解析：B i的坐标为(1, 1),点 的坐标为(3, 2) , .正方形 ABC。边长为1,正方形 ABGG边长为2,，Ai的坐标是(0, 1) , A的坐标是：(1,2),设直线 AA一.一.b=1.一 k=1的解析式为：y=kx+b , 4,解得：，直线 AA2的解析式是：y=x+1。，.点k b =2b =1B的坐标为(3, 2) , .点 A的坐标为(3, 4) , .点 区的坐标为(7, 4) ,Bn的横坐标是：2n1,纵坐标是：2nIn的坐标是(2n1, 2nT)。故选Ao6. (0, 1.5) 解析：由题意得：A (3, 0

20、) , B (0, 4) ; OA=3 OB=4 那么可得AB=S 易得ABCAAD(C . . AD=AB=5 . . OD=AD OA=2 设 OC为 x。那么 BC=CD=4x。那 么 x2+22= (4x) 2,解得 x=1.5,，C (0, 1.5)。7. (1, 0) 解析：由题意可知，当点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P在直线 AB上。设直线 AB的解析式为 y=kx+b, .力 (0, 1) , B (1, 2) ,b= 1 k+b=2,y=0,得0=x+1,解得x=1。点P的坐标是(1, 0)。故答k =1人解得乂 。 y=x+1,令b =1案为(一1, 0)。1i

21、 * * ' 1 睢,，T w < / 4 , 事8.（ 73 X4nT, 4n）易得直线l的解析式为解析：.直线l经过原点，且与y轴正半轴所夹的锐角为 60° , y='!x。.ABly 轴，点 A (0, 1) , 可设 B 点坐标为(x, 1),、:,、小、3将 B （x, 1）代入 y=x,在 RtA1AB中，/AA1B=90°3得 1 = ±3x,解得 x=/3 , B 点坐标为（33 , 1） , ABZ3。-60° =30° , /A1AB=90 , .1.AA1=-y3 AB=3, OA=OA+AA=1+3

22、=4,''' ?ABAG 中，A1C=AB=r 3 ,C1 点的坐标为（-33,4）,即（一33 X 4 , 4 ）;由 x=4 ,解得 x=4 J3,，B1 点坐标为（4 后,4） , AB=4 J3。在 RtAA2AB1 中，ZA 1A2Bi=30° , ZA2A1B1=90° ,，A A=M3 AB产12, OA=OA+AA2=4+12=16, ？AB1A2G 中，A2G2=AB=4V3 , .C2点的坐标为（一443,16）,即（一屈X41, 42）;同理，可得C3点的坐标为（一163 , 64）,即（一J3 X 42, 43）;以此类推，则

23、 。的坐标是（一 屈X"-1, 4n）。故答案为（一 M "I 4n）。9. 8 : 9 解析：由 2x+8=0,得 x=-4o /.A 点坐标为(4, 0),由一2x+16=0,得 33x=8. -.B点坐标为(8, 0)/、, y =,AB=8- ( 4) =12。由 J28广xx = 53 ,解得Wy = 6y = -2x 16点的坐标为(5,6) , Saabc= -AB?yc=1 X 12X6=36。22丁点 D在l 1上且xd=xb=8 ,.,.y D= 2 X 8 + 8 =8,点坐标为(8, 8),又丁点 E 在 12 上且 yE=yD=8,.一 2xe+1

24、6=8,，xe=4, 33，E 点坐标为(4, 8) ,DE=8- 4=4, EF=8。.矩形面积为：4X8=32,S 矩形 defg Sa abc=32 : 36=8: 9。故答案为：8: 9。10. 解：二.点 A在函数y=1x的图象上，且 A (2, m) ,m=1，A( 2, 1)，在平2面直角坐标系中描出 A B、C三点，. OAP与4CBP的周长和中OA BC及OP+PC勺和者B是 定值，AP+BP最小就是 OAP与4CBP的周长和最小。作 B点关于x轴的对称点 D,连接AD交x轴于点P,连接AB,.AB/x轴，且x轴平分 BD1.x轴平分 AD, DE=BE . - AP=PD，PE是 ABD的中位线，1 .PE=AB,且 AB=1, . PE=0.5, . OP=2.5, . . P ( 2.5 , 0)。故答案为：P (2.5, 0)。2端6 .4-611.解答：(1).直线L：y=mx+5m，A( 5,0),B (0,5m),由 OA=OB导 5m=5m=1,AMO = ONBI，直线解析式