二重积分的系统题型与题法2009

1、第23专题讲座-二重积分的系统题型与题法2009一、二重积分的六大对称性 如果积分区域具有轴或点对称（令表示的一半区域，即中对应部分，余类推），被积函数同时具有奇偶性，那么，二重积分的计算可以得到不同程度的简化，这一技巧在研考数学中每年都必出题，务必理解记住下列6类对称性定理。 关于轴对称（关于轴对称类推）关于都对称关于原点对称当和关于某一直线对称，对同一被积函数，则关于轴对称万能轮换对称性 轮换对称性描述 如果将与及交换，即 , ，后，积分区域方程不变，则将被积函数中的变量作同样变换后所获得的积分值与原积分值相等，这个性质在二重积分，三重积分，曲线积分和曲面积分等六类多元函数积分中都成立。轮

2、换对称性实例二、 二重积分次序选择原则与积分次序的更换方法陈氏穿线法【原创】后积先定常数限，先积方向正直穿；相交必须同一线，否则域内要分拆；隐含边界须周全，6类对称挂耳边；极坐标逆弧线，多种边界同园拆。先看积分区域的边界方程，那个变量幂次高，就后积此变量； 题型一 关于积分交换次序题法【例1】计算 由所围。解：幂次高，所以先积若被积函数只有一个变量，就后积此变量；【例2】，D由所围。解：被积函数只有一个变量，先积积分次序一般以尽可能不拆分区域（即为正规区域）为基准。【例3】 更换积分次序 解： 及 作图形，得：【例4】 交换积分次序 解： 画出图形，得：【例5】更换积分次序 解： 【例6】更换

3、积分次序 解：如改为先后则有下列两点技巧的边界曲线全都用极坐标表示 若以原点为圆心的一系列同心圆与y区域的边界曲线中的不同曲线相交，则应在交点处用逆时针园弧线把的区间分为两个正规区域：三、换元法技巧以尽可能简便为出发点，再参考的特征。如球对称用球坐标，锥体用柱坐标等，微分元换算利用雅可比行列式。 其中雅可比矩阵 题型二 关于对称性题法【例7】:解：为偶函数数，关于都对称，正好是的，故【例8】计算 解：（1） 关于对称关于都是奇数（2）关于原点对称，为偶函数，故=【例9】 设区域D由所围，试计算解：作辅助线，则D分为。显然，关于X轴对称，关于Y轴对称。【例10】 计算解：由于D关于X，Y轮换对称

4、性，故 中被积函数又可以轮换，积分值不变又由于D关于X，Y轴均对称，故【例11】设二元函数， 计算二重积分，其中。解：记，【例12】计算，其中：，求。解：关于轴对称，关于是偶函数，则 题型三 关于极坐标题法陈氏第14技能否使用极坐标主要由被积函数的特点决定，而不是由区域特点所决定；使用极坐标方式有两种：原位法：平移法：，选择的原则是使被积函数容易积出，一般来说，被积函数具有或形式时，使用极坐标会大大简化计算。如果选择不当会使积分求解复杂。常用结论【例13】计算 设在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上为零，试证明：解：积分区域为： 显然本题适合用原点极坐标，由对称性知：积分区域为： 使用原点极坐

5、标，【例14】计算 。解：为偏心圆域，由于被积函数的特点，故可使用极坐标，而这里有两种取法。如使用原位法，即 如使用平移法，即 ，本质上是把圆心平移到原点，则 显然上述积分十分繁琐，本题不能使用平移法。但在别的场合，必须使用平移法以简便计算，因为平移法有个优点就是能使积分上下限常数化。参见下例。【例15】求积分。解：方法一：平移法方法二：原位法读者可以尝试计算上述积分，其中的计算过程要必平移法复杂得多！【例16】 求球面 被平面和 所夹部分的表面积解：上半球由于对称性【例17】 由在第一象限所围成的区域。解：由解出相当困难，为此采取极坐标，令 为广义极坐标，则所研究的曲线在第一象限，于是解出上

6、下限， 【例18】 求椭球体的体积 （广义极坐标）解：作广义极坐标变换 再采用穿线法，有【例19】求曲线包围的面积。解： 【例20】求曲线包围的面积。解：题型四 关于换元题法【例21】计算 所围区域。解：令【例22】求 和 所围的面积。解：作变换，令，由此把原有的曲线区域变成矩形区域【例23】计算由曲线所围成的面积。（）解：令，雅克比行列式故【例24】解：设 ；题型五 关于隐含边界题法【例25】计算解： 用隐含边界圆弧将区间分为和两部分，使用原点极坐标，得【例26】 解：题中为隐含边界【例27】 解：评 注 如果本题改为，则【例28】 解：关于Y轴对称（二个区域），而被积函数相等，故xy【例2

7、9】 解：（利用）同步练习： 答案：。【例30】计算 解：隐含边界为 ，令【例31】计算。解：使用和或共3条隐含边界把积分区间从上到下划分为，故 【例32】，由所围。解：隐含放边界 在图上画出此辅助线。用表示积分区域的下半部分，则：【例33】计算。解：隐含边界把区域的第一象限部分分为左右两子域【例34】计算积分。 解：将区间分为5个部分【例35】计算积分。解：将区域分为由下到上的4个积分区间。【例36】 求【例37】计算解：【例38】计算，其中。解：用双曲线的上支将分成两块：而为非正规区域，过点作平行于轴的直线，把分为左右两个正规区域和题型六 关于含参积分题法【例39】已知；求。解：当时，记

8、当时，记根据积分中值定理：【例40】 设函数 ， ，求。 解：含参数的积分问题采用平移法决定参数的取值范围是作者的精妙秘诀。平移法的思想是：先画出的区域图，再令为基准直线，然后把该基准直线分别平移到的全部边界点上，如本题，把基准直线平移到边界点，得分界直线，再把基准直线平移到边界点，得分界直线，于是得出所求积分关于参数的三个分段点，所以有，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点为，于是，把基准直线平移到该区域任意位置，得直线，该直线与轴的交点在区域外，不可作为积分限，但该直线与交于，为于是，【例41】，求。解： 利用区间变换将参量转移到被积函数中，令 【例42】，求。解： 利用极坐标等将参量转移到积分变限中，令 【例43】, 求解：【例44】计算题型七 二重积分应用题法【例45】设为恒大于零的连续函数，求证：。证明：采用二重积分的逆向