上海高一上期末数学复习专题三：函数

1、学习必备欢迎下载高一(上)数学期末专题复习三：函数(1)函数的有关概念、函数的运算、函数关系的建立知识梳理：1、某个变化过程中有两个变量 x和y,如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值， 按 照某个对应法则f, y都有唯一的值与它对应，那么 y就是x的函数，记作y=f (x), x CD , x叫做自变量，y叫做应变量。x的取值范围D叫做函数的 定义域，y叫做函数 值，函数值的集合叫做函数的值域.2、函数的三大要素：定义域、值域、解析式 3、函数的和运算、积运算(注意定义域)4、函数的表示方法：解析法、列表法和图像法具体训练：1、下列各组函数中，表示同一函数的是().A. y=l, y =-

2、 B. y =Jx _1Jx +1, y = “ 1 C. y = x, y =3/x3 D. y=|x|, y=(Tx)2 x2、给出下列两个条件：(1) f(57+1)=x+26：。山酎为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试分别 求出f(x)的解析式|3、求下列函数的定义域:(x 1)0 .(D y= ),v| x| -X y-1 一丹.5_x2：,x2 -34、设函数y=f(x)的定义域为(1) y=f(3x);0, 1,求下列函数的定义域I(2)y=f(-)；x(3)y=f( x1 f(x -3)(4)y=f(x+a)+f(x-a).5、求下列函数的值域:(1

3、) y=- x2x -x(2)y=x- .1 -2x .度xe -16、已知函数1 1+ ,g(x )=Ux+1 ，求 f(x)+g(x)xx作业附加：1、 .等腰梯形 ABCD的两底分别为 AD=2a , BC=a, / BAD=45 ,作直线 MN LAD交AD于M, 交折线ABCD于N,记AM=x，试将梯形 ABCD位于直线 MN左侧的面积y表示为x的函数，并 写出函数的定义域|2、若函数f(x)的定义域是0, 1,则f(x+a) f(x-a) (0vav ；)的定义域是()A. 0氏a, 1-aC, -a, 1+aD, 0, 13、求下列函数的值域：(1)y=三：尸|x J1T712x

4、 5学案答案:1、 C 2、解：(1)令 t= TX +1, 1-1 k x= (t-1) 2则 f(t)=(t-1) 2+2(t-1)=t2-1,即 f(x)=x2-1,xC 1, 一).(2)设 f(x)=ax2+bx+c (混0),4a =44 a +2b =2 -f(x+2)=a(x+2)2bx+2)+u,贝U f(x+2)-死%)=4川+琲&+2b=4x+2,a =1 ,又 f(0)=3 = c=3, f(x)=x 2-x+3. b =_13、解：（1）由题意得？x,故函数的定义域为x|x0且x六1.x 0x -二.3 .；5 x 0故函数的定义域为x|- 55 Wxq5且X丰书3人

5、（3）要使函数有意义，必须有，十0,即J，x1故函数的定义域为1, +8）| x -1 0x 14、解：（1） 0W3xt0Wx1： 了一旦3）的定义域为0, 1 | 33（2）仿（1）解得定义域为1, 一叫11.（3）由条件，y的定义域是益十）与仪）定义域的交集 33列出不等式组0 _x 1 130 _x - _13-1x233= Lx M2,1,43-x _33故 y=f (x1+f（x&）的定乂域为1 2 ,3,3 .(4)由条件得0a+a当二/.1-a讨论：0 _x _a _1a _x _1 a当W1r；即0wa2时，定义域为a,1-a；1 -a 1 a,2当尸士?；即-1waw时，定

6、义域为-a,1+a |-a 1 +a,2综上所述：当时，定义域为a, 1旬；当成时，定义域为-a, 1+a |5、解：（1）方法一（配方法）y=1-1z33-x 1 =(x ),244 1.01_4x2 -x 13113 4,值域为方法二(判别式法)2由 y= X-，得(y-1) X2 +(1 _y)x +y. x -x 7,y=1 时，XW0 二 y#1.又 XWR, .必须 A=(1-y) 2-4y(y-1)心 0.1-3y 1.-.- y#1,，函数的值域为(2)方法一(单调性法)函数 y=x,y=- J1 -2x均在故 y! _ 1 -21- =!. 222二函数的值域为Coq! I.

7、,2方法二(换元法)令 J1 -2x =t,则 t 且 x= 12y=- 1 (t+1) 2+1 0,即30,解得-1丫,e F1 -y1 y，函数的值域为y卜1 vyv7、f x g x = . 1 - x . x 1, x 1-1,0 一 0,1 1作业附加答案：1、解：作BHAD, H为垂足，CGXAD, G为垂足,依题意，则有 AH= - , AG= -1 22(1)当M位于点H的左侧时，NCAB,由于 AM=x , / BAD=45C, -MN=x| .y=SAAMN = -x2 (0WxW ) |22(2)当 M 位于 HG 之间时，由于 AM=x , MN= - , BN=x-

8、a I 222 1a,_/ a、r 1aa3, , y=S amnb = x+ (x ) = ax -( 0.7 .已知函数f(x)是(一8, +8止的奇函数，且f(x)的图象关于x= 1对称，当xC 0,1时，f(x)= 2x1, (1)求证：f(x)是周期函数；(2)当xC 1,2时，求f(x)的解析式； (3)计算 f(0) + f(1)+f(2)+ +f(2013)的值.8 .设 f(x)是(一8, 十 oo止的奇函数，f(x+2)= f(x),当 0aW1 时，f(x)=x.(1)求出兀的值；(2)当一4虫W4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积；(3)写出(一8, + oo内

9、函数f(x)的单调增(或减)区间.9 .已知函数 f(x)=ex 1, g(x)=x2+4x3.若有 f(a) = g(b),则 b 的取值范围为().A. 2-V2, 2 + V2B. (2-V2, 2 + V2) C. 1,3 D. (1,3)ax10、讨论函数f(x)=(aw 琏(一1,1)上的单倜性.x 1x2+ a11、已知函数f(x)=(a0)在(2, + 8止递增，求实数 a的取值范围.x12、已知函数 f(x)对于任意 x, yCR,总有 f(x) + f(y)=f(x+y),且当 x0 时，f(x)0, f(1)2=0.(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3

10、,3上的最大值和最小值.313、 当xC (1,2)时，不等式x2+mx + 4Q|Jx+ 3|3WQ得2土0,或 00 时，2x1,2 10,所以 f(x)= x,x1 + 1 | 0.当xv 0时，一x0,所以f(-x) 0,又f(x)是偶函数， f(-x)=f(x),所以 f(x)0.综上，均有f(x)0.方法总结根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反.所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可.7.审题视点(1)只需证明f(x+T)=f(x),即可说明f(x)为周期函数；(2)由f(x)

11、在0,1上的解析式及f(x)图象关于x=1对称求得f(x)在1,2上的解析式；(3)由周期性求和的值.(1)证明 函数f(x)为奇函数，则f(-x)= - f(x),函数f(x)的图象关于x= 1对称，则f(2 + x) = f(-x)=-f(x),所以 f(4 + x)=f(2 + x) + 2 = f(2+x)=f(x),所以 f(x)是以 4 为周期的周期 函数.(2)解 当 xC 1,2时，2 xC0,1,又 f(x)的图象关于 x= 1 对称，则 f(x)=f(2-x) = 22 x- 1 , xC 1,2.(3)解 .f(0) = 0, f(1)=1, f(2) = 0,f(3)

12、= f(-1) = -f(1)=-1又f(x)是以4为周期的周期函数. f(0) + f(1)+f(2)+f(2013)=f(2 012) + f(2 013) = f(0) + f(1) = 1.方法总结判断函数的周期只需证明f(x+T)=f(x)(Tw联可证明函数是周期函数，且周期为T,函数的周期性常与函数的其他性质综合命题，是高考考查的重点问题.8.思维突破第(1)问先求函数f(x)的周期，再求f(兀;)第(2)问，推断函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，再结合周期画出图象，由图象易求面积；第(3)问，由图象观察写出.解答示范(1)由f(x + 2) = f(x)得，f(x+ 4)

13、=f(x+ 2)+2 = - f(x+ 2) = f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数，(2分) .f(兀 f(1X4+ 兀4 f( l 4) = f(4兀)=一(4 一兀甘兀一4.(4分)(2)由 f(x)是奇函数与 f(x+2)=f(x),得：f(x-1)+2 = - f(x-1) = f-(x- 1),即 f(1 + x) = f(1 -x).j. A1故知函数y = f(x)的图象关于直线 x=1对称.(6分)又0技wi时，f(x)=x,且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示.(8分)当一4虫W4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S,则，1S= 4S

14、aOAB = 4X2X2X1 尸 4.(10 分)(3)函数f(x)的单调递增区间为4 k- 1,4k+1(kCZ)，单调递减区间4k+1,4k+3(k C Z). (12 分)题后反思关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题.9.解析 函数f(x)的值域是(1, 十 )要使得f(a) = g(b),必须使得x2+4x31.即 x2-4x+20,解得 2V2vxv2+V2.答案 B10、解设一1XiX20 时，f（Xi）-f（X2）0,即 f（Xi）f（X2）, 函数f（X）在（1,1）上递减;11、解当 a0 时，f（X1）-f

15、（X2）0,即 f（X1）f（X2）, 函数f（X）在（1,1）上递增.审题视点求参数的范围转化为不等式恒成时要注意转化的等价性. 22X1+ a X2+ aX2- X1法一 设 2X1 X2,由已知条件 f(X1) f(X2) =-=(X1 X2) + a=(X1 X1X2 - aX2）=T0恒成立.即当X1X2X1X22X1a 恒成立.又 X1X24,贝U 0 0 得 f(X)的递增区间是(一00,他)，(, +),根据已知条件解得0x2,则x1一x20,f(X1) f(X2) = f(X1) + f( X2) = f(X1 X2).又X0 时,f(x)0,f(X1-X2)0,即 f(X1

16、)X2,则 f(X1) - f(X2) = f(X1 - X2 + X2) - f(X2)=f(x1 x2) + f(X2) f(X2) = f(X1 x2).又X 0 时,f(x)v0,而 x1一 X20, f(X1-X2) 0,即 f(X1) f(X2), f(x)在R上为减函数.(2)解f(x)在R上是减函数， f(x)在3,3上也是减函数， f(x)在 3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3).而 f(3)= 3f(1) = 2, f(- 3) = - f(3) = 2. f(x)在 3,3上的最大值为2,最小值为一2.对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目

17、所给性质和相f X1应的条件，对任息X1, X2在所给区间内比较f(X1) f(x2)与0的大小，或f x 与1的大小.有时根据需要，需作适当的变形：如X1 = X24或X=X2+X1一 X2等.X213、解析 法一 当xC (1,2)时，不等式x2+mx+ 40可化为：m-5,则 m0)f(x) = ax2 + bx+ c( a 10V a 1图象邛口-1 W0yi 定义域R值域（0, 十 00）性质过定点(GJ)x0 时，0vyv1 x 1. 在L00, + 8止是减函数当 x0 时，0vyv1;当 x 0 时，y 1;在（00, + 00止是增函数【X】一个关系：分数指数哥与根式的关系根

18、式与分数指数哥的实质是相同的，分数指数哥与根式可以相互转化，通常利用分数指数募进行根式的化简运算.两个防范：(1)指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按：0vav 1和a1进行分类讨论.(2)换元时注意换元后 新元”的范围.三个关键点：画指数函数 y=ax(a0,且aw)的图象，应抓住三个关键点：(1, a), (0,1),抽象函数的解题技巧：换元法、方程组法、待定系数法、赋值法、转化法、递推法。具体训练：1.若函数f(x)=(x+ a)(bx+2a)(常数a、bCR)是偶函数，且它的值域为(, 4,则该函数的解析式 f(x) =.12,若函数f(x)=27，则该函数

19、在(8, + 00止是().A.单调递减无最小值B.单调递减有最小值C.单调递增无最大值D.单调递增有最大值1133、已知函数 f(x)= gx_ 1 + 2 x (a0 且 aw 1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)讨论函数f(x)的奇偶性；(3)求a的取值范围，使f(x) 0在定义域上恒成立.4、已知方程10x=10x, lg x+x= 10的实数解分别为“和3,则 计3的值是.5、设函 数y = f(x)在(一十 )内有定义.对于给定 的正 数K,定义函 数fK(x)=f x , f x 米，一皿-x一,， 一、一一取函数 f(x) = 2 + x+ e ,右对任息的 xC (8,

20、+ 8),恒有 fK(x)=f(x), Ik, f x 0,nCN;f(n i+n2)=f(n i)f(n2),ni,n2 c N* ;f(2)=4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由 作业课一练 P80-82】学案答案：1.解析f(x)=bx2+(ab+2a)x+ 2a2由已知条件 ab+2a=0,又f(x)的值域为(8, 4,awQ则，b= 2, 因此 f(x)= 2x2+4.：2a2= 4.答案2x2+ 42.解析设 y= f(x), t=2x+1,1则 y=t=2 + i, xe(8, 十 oo)t= 2x+ 1 在(, + 8)上递增，值域为(1 , + O

21、O).一 .1 ,因此y=,在(1, 十 比递减，值域为(。,1).答案 a3、审题视点对解析式较复杂的函数判断其奇偶性要适当变形；恒成立问题可通过求最值 解决.解(1)由于ax 1wq且axw,所以xw0.，函数f(x)的定义域为x|xC R,且xw 0.(2)对于定义域内任意 x,有f(-x)=x_ 1 + 2 j-x)3x=卷 +2Ax)3= T-口 +2,(-x)3=.x_ 1 + 2 产3 = f(x),，f(x)是偶函数.当a1时，对x0,由指数函数的性质知ax1,x .一 11 一 a 1 0, a*_ 1 + 2 0.-331,1又 x0 时，x30,x3x_ 1 + 2 |0

22、,即当 x0 时,f(x)0.又由(2)知f(x)为偶函数，即f(-x) = f(x),则当 x 0,有 f(x)=f(x)0 成立.综上可知，当a1时，f(x)0在定义域上恒成立.“I rax+1 x3当 0vav1 时，f(x)=-.二 a当 x0 时，1ax0, ax+ 1 0,ax-10,此时f(x)0,不满足题意；当x0, f( x) = f(x)1.以达到所需要的形式，另外,方法总结(1)判断此类函数的奇偶性，常需要对所给式子变形,f x还可利用f( x)f(x), f二x来判断.(2)将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题，是解决恒成立问题的常用方法.ex- e xx 小y=2,

23、 y=lg(10x1)等.4、 解析 作函数y=f(x)=10x, y=g(x)=lg x, y= h(x)= 10 x的图象如图所示，由于 y = f(x)与y= g(x)互为反函数，它们的图象是关于直线y=x对称的.又直线y=h(x)与y=x垂直，y=f(x)与y=h(x)的交点A和y=g(x)与y=h(x)的交点B是关于直线 y=x对称的.而同理,y = x与y=h(x)的交点为(5,5).又方程10x=10 x的解a为A点横坐标, 坐标.， 5,即 a+ 3= 10.答案 10.九(丁)=/(父)恒成立/(上)K对任意的*：工 R恒成立*由K 恒成立得RGmin何题意得K产.G =2

24、H I亡工对H R恒成立,出小H)= - 2 =或F = 3得- 1. j = 0. 且5V0 时,fY父) 0：附，* G 0,所以Kn = *0) = 3,所以KW3，K的最大值为3I5、一此题较好地体现广化归思想【抽象函数】1 .换元法解:令 u=1+sinx,则 sinx=u-1(0 u 2),贝U f(u尸-u 2+3u+1 (0 u 2)故 f(x)=-x 2+3x+1(0u2)2 .方程组法1 119_解:用一代换 x,得f (一) 2f (x)=,与已知得 x2 +3xf (x) +2=0 xxx由至0得 9f 2(x) -4X2 至0,.|f(x)户2 J2.3 .待定系数法解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (aw。)代入比