全等三角形几何证明-常用辅助线

1、几何证明-常用辅助线(一)中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图， ABC, AD是BC边上的中线，求证：AD < - (AB+AC)2分析：要证明AD < - (AB+AC),就是证明AB+AC>2AD也就是证明两条线段之和 2大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条 线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转 化。待证结论AB+AC>2A中,出现了 2AD即中线AD应该加倍。证明：延长 AD至E,使DE=AD连CE,贝U AE=2AD在ADBft "DC 中，A

2、D= DE ZADB= /EDCBD= DC .ADB EDC(SAS) . AB=CE又在ACE,AC+C 良 AE .AC+AB>2AD 即 AD < 1 (AB+AC)小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法 它可以将分居中线两旁的两条边 AB AC和两个角/ BACffi/CAC#中于同一个三 角形中，以利于问题的获解。课题练习：AABC中，AD是NBAC的平分线，且 BD=CD求证AB=AC例2:中线一倍辅助线作法 ABC延长AD到E,AD 是 BC 边 中 线E使 DE=AD接BE2:间接倍长CF延长MCgJ N,BE ±AD

3、的延长使 DN=MDBE连接CD例 3: 4ABC中,AB=5,AC=3求中线AD的取值范围例4:已知在 ABC中，AB=AC D在AB上，E在AC的延长落上，DE交BC于 F,且 DF=EF 求证：BD=CE课堂练习：已知在 ABC中，AD是BC边上的中线,延长BE交AC于F,求证：AF=EF例5:已知：如图，在 MBC中，AB#AC, D、E在BC上，且 DE=EC过D作DF BA交AE于点 F, DF=AC.求证：AE平分. BAC课堂练习：已知CD=AB / BDAh BAD人£是4ABD的中线，求证：/ C=/ BAE作业：1、在四边形 ABC冲，AB/ DC, E为BC边

4、的中点，/ BAE之EAF, AF与DC的延长线相交于点Fo试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图，？ABC中，？C=9S, CMAB于 M, AT平分？BAC交 CMT D,交BC于T,过D作DE/AB交BC于E,求证：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且 BE=AC延长BE交AC于F,求证：AF=EF4:已知 CD=AB Z BDA=/ BAD AE是4ABD的中线，求证-/ /C=/ BAE5、在四边形ABC冲，AB/ DC, E为BC边的中点，/ BAE之EAF, AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段AB与AF、

5、CF之间的数量关系,并证明你的结论（二）截长补短法例1.已知，如图1-1 ,在四边形 ABCW, BO AB AD=DC BD平分/ ABC求证：/ BAB/BCD180 .分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转 化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形, 可通过“截长补短法”来实现 .证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点 E,作DF BC于点F,如图A. BD平分/ ABCDE=DF,在 RtAADEEW RtACDF,.RtAADEiRtCDFHD，DA=/DCFE又/ BAD/DAE=180 , .BAD/ DCF=180 ,图1-2

6、即/ BAB/BCB180例2.如图2-1 , AD/ BC点E在线段 AB上，/ AD巨/ CDE / DC巨/ ECB求证：CD=AHBC图2-1ABfBC=2BD求证：/ BAF+/BC=180° .例4. 已知：如图 4-1 ,在 ABC43, / C= 2/ B, Z 1 = 72.求证：AB=AGCD作业：1、已知：如图，ABC匿正方形，/FA®/FAE求 证：BEbDF=AE2、五边形 ABCDE中,ABAE, B&DE=CD, /AB（+/AE®180° ,求证：AD平分/ CDE（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在

7、角的两边截取相 等的线段，构造全等三角形。例：如图1:已知AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2,ANBD C图 3-1?BDC图4-1/3=/4,八求证：B曰CF> EF。2、有以线段中点为端点的线段时， 常延长加倍 构造全等三角形。例：如图2: AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2, /： 证：BE+ CF> EF此线段，NI'求人入例3.已知，如图3-1, /1 = /2, P为BN上一点，且 PDLBC于点D,已知 ABC AD是BC边上的中线，分别以 AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图 4,求证EF= 2AD3、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AO BD, ADL AC于A , BCL BD于B,求证：AD= BC4、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三 角形来解决。例如：如图 7: AB/ CD AD/ BC 求证：AB=CDA5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段/延长。例如：如图 8:在 RtABC中，AB= AC / BAC= 90° , 乙- /1 /2, CEL BD 的延长于 E。求证：BD= 2CEB6连接已知点，构造全等三角形。BD图1 Ei 1/ /