面角问题中的几类常见错误剖析

1、二面角问题中的几类常见错误剖析洪秀满【原文出处】中学数学（江苏），1994.9. （3638）【作者简介】洪秀满，浙江省仙居中学（317000 ）二面角及其平面角是立体几何的重要内容之一。由于题目涉及的范围广、变化多、难度大，是教学中的一个难点。 针对学生学习和解题中的一些常见错误，本文拟就以下几个方面举例剖析。一、忽视二面角的范围致误课本中没有给出二面角的取值范围。教师应根据二面角的定义，指出二面角的取值范围是0,兀。忽视二面角的取值范围致误，不但学生的作业里屡见不鲜，而且在书刊中也 常有所见。例1在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面的距离的2倍，求二面角的度数？（课本（

2、必修）P43习题六第2题）。对此题，人教版90年出版93年第8次印刷的教学参考书 P 51给出了如下提示 和答案。提示：先证明 ABC为二面角的： -DE - -的平面角，然后从 Rt ABC中解出ABC =300，得二面角-DE - 1 是 300。剖析：此提示和答案是不全面的，忽视了二面角的范围。根据题意，二面角-DE - -可能是锐角，也可能是钝角。上述的提示只考虑了锐角的情形，以致造成漏解。正确解法：（1）当-DE - 1是锐角时，如图1,过平面内点A作AC _ 1 ,垂足为C，作AB _ DE于B，连BC ,则DE _ BC。 . ABC是二面角-DE - 的平面角，在 Rt ACB

3、1中， AB =2AC , sin ABC ，即 ABC =30°。2故二面角二- DE - 1是300。（2）当： -DE - 一：是钝角时，如图 2,过A作AC垂直于二面角的面 1的反向延展面，垂足为C，作CF _ DE交DE于B，连AB，贝U DE _ AB。 . ABF 是二面角一 DE 一 -的平面角，在 Rt ：ACB 中，：AB = 2AC , . ABC =30°，即.ABF =150°，故二面角- DE - -是 150° 。二、以偏概全致误例2在二面角内一点分别向两个面内引垂线，求证它们所成的角与二面角的平面角互 补（课本（必修） P

4、 43习题六第5题）。对此题，人教版（同上）出版的教学参考书P51给出了如下的证明。已知：从二面角：_ AB _ -内一点P，向面和分别引垂线PC和PD，它们的垂足是C和D。（如图3）求证：.CPD和二面角二AB - 1的平面角互补。证明：设过 PC和PD的平面PCD与棱AB交于E , PC _ ：- , PD _ ： , PC _ AB , PD _ AB ；平面 PCD _ AB, CE _ AB , DE _ AB。又 CE 二:< ,DE 二；/： CED 是二面角二- AB -2 的平面角。在四边形PCED内，.C =90°, D =90°，所以.CPD和二

5、面角- AB - 1的 平面角.CED互补。剖析：上述的证明是不合理的，犯了以偏概全的错误。依题设，P点在面:上的 射影C、D有如下三种情况：第一， C、D均不在棱AB上；第二，C、D中有且仅有 个在棱AB上；第三，C、D都在棱AB上；以上的解答只证明了第一种情况下的命题成 立。证明的论据是用了 P、C、E、D四点构成四边形，但此论据不全适用于第二、三种 情况，故作为完整的证明，还必须补上后面的两种情况。正确证明：（1 ）当C、D均不在棱 AB上，由上述的证明可知命题成立。P图4（2）当C、D中有且仅有一个在棱 AB上，不 妨设D在棱AB上，而C不在棱AB上，如图4;此 时，二面角二AB：的平

6、面角只可能是钝角（否 则将与P在二面角内或C不在棱AB上矛盾）。设过PC和PD的平面交于CD，交于DF ,/ PC _ ：- , PD _ 一：，. PC _ AB , PD _ AB , AB _ 平面 PCF。 AB _ DC , AB _ DF。即.CDF 是二面角二 _ AB _ 一：的平面角。t PD _ 一：， . PDF =90°, . CDF =90° . PDC 。在 Rt. ：PCD 中，.CPD =90° PDC , 乙 CDF £CPD =180°，即 CPD 和 二面角： _AB 一 -的平面角.CDF互补。（3）当

7、C、D 均在棱 AB 上时，t PC _ AB , PD _ AB , C AB , D AB ； PC 与 PD 重合，即乙CPD =0。；又：PC _ :- , PD _ ：；二面角二- AB -7的平面角为1800 ；故.CPD和二面角-AB - -的平面角互补，综上所述：命题成立。三、忽视二面角内一点在一个面上的射影位置致误二面角二-AB-2内一点，在平面:-（或一：）上的射影位置可能在半平面 :-（或1 ） 上，也可能在半:-（或：）的反向延展面上。如果忽视这一点，常会使问题产生错解。例3如图5, ? - EF - '是1200的二面角，从其内一点P ,分别向平面作垂线 PA

8、、PB，若PA = 3, PB = 1，求P点到棱EF的距离。（摘 自某测试题集，书中给出了如下解答）。解:如图6，过PA、PB作平面交EF于C , 分别交平面: >于AC、BC。t PA 丨二，PB _ ： , PA _ EF ,PB _ EF - EF _ 平面 PACB，即 EF _ AC ,EF BC，则 ACB 就是二面角-EF - 1由 PA _ AC , PB _ BC，可知 P、A、CB四点共圆，从而 APB =600，连结AB，在 APB中，依据余弦定理可求出AB二、7，又由正弦定理知:ABsin APB的平面角，即 ACB =120。，连PC,有PC _ EF。PCA

9、B 2 21sin 900 2R，PC 一 sin 600 一 3剖析：上述解法初看起来，步步有理有据，计算正确无误，似乎无懈可击。但我们仔细分析，此解法是错误的。错误在于：（1 ）过PA、PB 作平面交EF于C，据给定条件说不得 P、A、C、 B四点共圆。设延长BC、PA相交于D，则PBD 为直角三角形，又求得.APB = 600，则.PDB =30° ，因 PB =1 ， PD 3，则1PB ： PD，这与直角三角形的性质相矛盾 （如图7）。（ 2厂ACB不是二面角-EF - 2的平面角，即ZACB -120°。产生错误的原因在于原题给出了错误图形，即没有正确找出P在平

10、面的射影A的位置，而随意画出垂足 A的位置。3正确解法一：若 A在棱EF上，贝V PB =PAcos60°，而PB =1矛盾，所以A不2能在棱上。故 A只能在半平面:-的反向延展面上。过PA、PB作平面交EF于C，分别交半平面：的反向延展面于 AC和半平面于BC。/ PA _ : , PB _ ： PA _ EF , PB _ EF EF _ 平面 PACB ,即EF 丄 AC EF 丄 BC ；贝U . ACB就是二面角：- EF - '的平面角补角，ACB = 60。连PC，则PC _ EF。（如图8）设 PA、CB 交于 H，由 PA _ AC , PB _ BC ,可知 CHA 工/PHB =300，即 HPB = 600 ； PH =2 , HA =1。在Rt CAH中,CA 二 AHctg 600在 RtFAC 中，PCPA2