3.1.5空间向量运算的坐标表示导学案

1、§ 空间向量运算的坐标表示',学习目标1. 掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式;2. 会用这些公式解决有关问题J学习过程一、课前准备(预习教材P95 P97，找出疑惑之处)AB |=复习1:设在平面直角坐标系中，A (1,3) , B (_1,2)，则线段|复习 2：已知 a - -3,2,5 ,b = 1,5, -1，求:a + b .3a b;6a ;a b.二、新课导学探学习探究探究任务一一 :空间向量坐标表示夹角和距离公式问题：在空间直角坐标系中，如何用坐标求线段的长度和两个向量之间的夹角？ 新知：1. 向量的模：设 a = (a1, a2

2、, a3)，则 | a |=2. 两个向量的夹角公式：设 a = (aa2,a3), b= (dbd),由向量数量积定义：a b= |a|b|cosva,b>,又由向量数量积坐标运算公式：a b=,由此可以得出： cosv a ,b>=试试: 当cosv a、b>= 1时，a与b所成角是; 当cosv a、b>= 1时，a与b所成角是 当cosv a、b>= 0时，a与b所成角是,即a与b的位置关系是 ，用符合表示为 .反思：设 a=忌忌),b= (b1,b2,b3)，则aIIB.a与b所成角是a与b的坐标关系为 a丄b：= a与 b的坐标关系为 ;3. 两点间的

3、距离公式：在空间直角坐标系中，已知点A(X1,y1,zJ , Bgyz)，则线段AB的长度为：ABf、'；(X2 -X1)2 (% -丫2)2 -Z2)2 .4. 线段中点的坐标公式：在空间直角坐标系中，已知点A(X1,y1,zO , B(X2,y2,Z2),则线段AB的中点坐标为：探典型例题例1.如图，在正方体ABCD ABGDi中，点EF分别是ABiQDi的一个四等分点，求 BEi 与DFi所成的角的余弦值.变式：如上图，在正方体 ABCD -ABiGDi中，B1E1 =DiFi旦，求BEi与DFi所成角的余3弦值.变式：如图，正方体例2.如图，正方体 ABCD -ABiCiDi中

4、，点E,F分别是BBi，DiBi的中点，求证：EF _DAi.ABCD -ABiCiDi中，点M是AB的中点，求DBi与CM所成角的余弦 小结：求两个向量的夹角或角的余弦值的关键是在合适的直角坐标系中找出两个向量的坐 标，然后再用公式计算探动手试试练 1.已知 A(3,3,1)、B(1，0，5)，求：线段AB的中点坐标和长度；练2.如图，正方体的棱长为 并和你的同学交流到A、B两点距离相等的点 P(x,y,z)的坐标x、y、z满足的条件.2,试建立适当的空间直角坐标系，写出正方体各顶点的坐标,二、总结提升探学习小结1. 空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式；2. 解决立体

5、几何中有关向量问题的关键是如何建立合适的空间直角坐标系，写出向量的坐 标，然后再代入公式进行计算 .在平面内取正交基底建立坐标系后，坐标平面内的任意一个向量，都可以用二元有序实数对表示，平面向量又称二维向量 空间向量可用三元有序实数组表示，空间向量又称三维向量 - 1 i 1 = - * - . - -' - - 1 - 1 _ - 二维向量和三维向量统称为几何向量1.若 a = (ai,a2,a3),b= (b1,b2 , b3 )，则=bb2B.必要不充分条件D.既不充分又不不要条件a -13 是 a/b 的()b3A.充分不必要条件C.充要条件2. 已知 a = 2, 1,3 ,

6、 b = -4,2, x，且 a _ b ,贝y x=.3. 已知A 1,0,0 , B 0, -1,1 ,OA ，OB与OB的夹角为120 °，则，的值为()A+廉 厂亞 C庞A.B.C.6 6 6D. 6(a 2b)/(2 a b)，则(1A. x , y =13B.C. x =2,y =-4D.x =1,y - -14. 若a=x,2,0 ,b=3,2_x,x如图，正方体 ABCD ABC D'棱长为a , 求AB,BC的夹角；求证： AB _ AC'.，且a,b的夹角为钝角，贝Vx的取值范围是()A. x -4B. -4 ：x ：0C. 0 ：: x ：:4D.