分式运算的几种技巧(专题复习)超好的整理资料

1、分式运算的几种技巧分式运算的一般方法就是按分式运算法则和运算顺序进行运算。但对某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，下面列举几例介绍分式运算的几点技巧。一、整体通分法2例1计算：上-a -a- 1【分析】本题是一个分式与整式的加减运算.如能把(-a-1 )看作一个整体，并提取“-”后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是 1的分式.2222【解】-a-1 = M-(a+1)= - - (a+1)(a-1) = a -(a+1)(a-1) = , a - 1a - 1a - 1 a -1a - 1 a - 1二、先约分后通分法,2 -x+1 x -

2、2x例2计算 工32 +丁工分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然，化简后再通分计算会方便许多。X 1x(x 2)1 x x 1解：原式=(x 1)(x 2) + (x-2)(x 2) = x 2 + x 2 = x 2三、分组加减法1221例 3 计算 a _2 + a +1 - a -1 - a +2分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组 .分组的原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便。1122解：原式=(a -2 - a +2)+( a+1- a 1)4 Y12=a2 -4 + a2-1 =

3、(a2-4)(a2-1)四、分离整数法例 4 计算士 .x13+T.Ix 1 x 2 x -4 x -3般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分;在解方法：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时， 某些分式方程中，也可使用分裂整数法。解：原式=3L(x+2)+1+(x-4)-1-(x-3)-1x+11(1+ -x + 11)-(1x + 21+x + 21x- 31-+x +1 x + 2 x- 4 x- 3)+(1K(1-，)1五、逐项通分法例5计算:11 2x 4x3- 2244a -x a x a x a -x分析：若一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，

4、采用分段分步法，则可使问 题简单化。同类方法练习题：计算11248x 1x 1 x2 1 x4 1x8 1六、裂项相消法例6计算:1111+ +.a(a+1) (a+1)(a + 2) (a + 2)(a+3)(a+9)(a+10)分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数的积(若一，111a是整数)，联想到 一1一 =-,这样可抵消一些项a(a+1) a a +111111斛：原式 =(- )+() +(a a +1 a +1 a + 2 a + 2)+.- +() a+3a+9 a+101110-a a+10 a(a +10)七、整体代入法例7.已

5、知1 + 1 =5求2x -5xy *2y的值 x y x 2xy y-522(1-)-5解法 1: l+l=5，xyw0,.所以 2x5xy 2y =yx =y=255 = 5x yx2xyy1211125 27yxxy解法 2:由 1 +工=5 彳导， y =5, x+y=5xyx yxy2x -5xy 2 y _ 2(x y) -5xy _ 2 5xy - 5xy _ 5xy _ 5x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy 7练习：若1-1=5,求3x.5xy3y的值.x y x - 3xy - y八、公式变形法1例8.已知a -5a+1=0 ,计算a + - 4a解：

6、由已知条件可得 a*0, a+=5a41212 _12_2_2_2_a+ 4 =(a + 2) -2=(a+) -2 -2=(5 -2) -2=5272.21练习：(1)已知x +3x+1=0,求x+p的值.xb+c=ak； a+c=bk； a+b=ck；九、设中间参数法b - c 例9,已知b_c =a解：设U =a把这3个等式相加得3,计算:cO-b=k,则2(a+b+c尸(a+b+c)k(a b)(b c)(c a)abc若 a+b+c=0, a+b= -c,则 k= -1若 a+b+cw0,贝U k=2(a b)(b c)(c a) ak bk ck 3 =kabc当k=-1时，原式=

7、-1 当k=2时，原式二8abc练习：（1）已知实数x、y满足x:y=1:2 ,则3x -y.xyz(2)已知一=,则456x -y 2x -3y 4z3z十、先取倒数后拆项法（尤其分子单项，分母多项）2例10.已知 -a=7,求 4 a .一的值 a2 -a 1 a4 a2 1解：由条件知 aw 0,a a +1 =1 ,即1a+ =a=a2+4+1=(a+1)2-1=K2 a 49练习:492a 1 15已知a+1=5.则aa4 a21H一、特殊值法（选填题）a 例11. 已知 abc=1,贝UFab a 1分析：由已知条件无法求出解：令 a=1, b=1, c=1,则11原式=1 + 1

8、a、bc b 1b、c的值,ca c 1可根据已知条件取字母的一组特殊值，然后代入求值.= 1+1+1=1.1111111111113 3 3说明：在已知条件的取值范围内取一些特殊值代入求值，可准确、迅速地求出结果.练习：(1)已知:xyz 丰 0,x+y+z=0,计算 y +z + x +z + x + yx(2)已知x4十二、主元法2x - 3y 4z _3z例12.22 + 2已知 xyz w 0,且 3x 4y z=0,2x + y 8z=0,求y-的值.xy yz 2zx解:得将z看作已知数，把 3x4y z=0与2x + y8z=0联立,3x 4y z=0,2x + y 8z=0.

9、解得 x=3z,y=2z.所以，原式=(3z)2 (2z)2 z2生11.(3z) (2z) (2z) z 2z (3z) 14z2练习：已知 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算:ab bc ac混合运算练习题x 3y x 2y2x - 3y22y -x(2)a2 -11.a -12x dx- 1x -1(4)六a2 -3a2xy22x -y(10)(13)(15)y -x(6)2x 626 -2x 9-x(x y x+y.x2 -2x 1x -1计算:(8)(1xyx 23)x 1(11)a -2 a 2)4ax 3(x 2x - 2(9)(12)(x2 -12x1x 3(14)x

10、2 -2x x2 - 4x 43xx 22x9+2) .ab2 J a -b ab2 -16x2 4x(-x-2- x -2xx _Jx2 -4x 4.4 -xx并求当x=-3时原式的值.【错题警示】一、错用分式的基本性质1-X-V31,一 _ -a + v例1 化简2=-ly（4-x+y） 2 = -错解：原式C分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变”， 而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.（；五-尸6 2x-6y（4+尸）6 =正解：原式 二.一二、错在颠倒运算顺序_L（3-a）例2 计算1131=t （1 -a） = 1

11、错解：原式一分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误_ 1 1 1-1正解：原式 ；一,-.,三、错在约分X-1例1当工为何值时，分式/ -% + 2有意义？_彳-1_ 1错解原式 .：.由x-2mQ得工工2.X-1. 2时,分式?-3x + 2有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、 分母的公因式（X-1）,扩大了未知数的取值范围， 而导 致错误.正解由/-3i+2h0 得ihI 且 im 2.，当xhI且工工2,分式/一3x+2有意义.四、错在以偏概全1二例2为何值时，分式X + 1有意义？错解当1h0,得T.当xh-L原分式有意义.Ai

12、-A解析上述解法中只考虑 工+1的分母，没有注意整个分母工+1,犯了以偏概全的错误正解i+kO,得-1,1-#0日由 1+1,得IM 0.当且XH-1时，原分式有意义.五、错在计算去分母a2 (2 - 1例3计算 1+1 .错解原式一= ,.】11.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母，._ (g-lXa+1) ?正解原式 1+1 白+1_?-Pa3_1一.一 .六、错在只考虑分子没有顾及分母例4当工为何值时，分式 /+工- 6的值为零.错解由1-2=0,得工二2当了二2或1二-2时，原分式的值为零.解析当二2时，分式的分母x2 + x-6=0,分式无意义，谈不

13、上有值存在，出错的原因是忽视了分母不 能为零的条件.正解由-2=0,得工二丑.由9 +工一6工0,得了工一3且工工2.当X二一2时，原分式的值为零.七、错在“且”与“或”的用法例7 X为何值时，分式 :-工-2有意义错解：要使分式有意义，工须满足了一了一2工0,即Q-D(x+2)h。.由得xhI ,或由1+2=0得工w-2.1.当X H1或1M -2时原分式有意义.分析：上述解法由。得犬一 1m。或 x+2n0是错误的.因为 QT)# 0 与1+2 = 0 中的一个式子成立并不能保证 (1)。+2”0 一定成立，只有x-U。与2 = 0 同时成立，才能保证 62-2)=0一一定成立.故本题的正确答案是 X M1且1M -2 .八、错在忽视特殊情况2m _=5-m例8 解关于X的方程X-1.错解：方程两边同时乘