分式知识点和典型例习题

1、【知识网络】分式【思想方法】1 .转化思想转化是一种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题，把生疏的问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思 想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想：异分母的分式加减法、 同分母的分式加减法； 解分式方程的基本思想： 把分式方程转化为整式方程，从而得到分式方程的解等.2 .建模思想本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识 解决实际问题时，首先要构建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历 实际问题分式方程模型求解解释解的合理性”的数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培

2、养通过数学建模思想解决实际问题具有重要 意义.3 .类比法本章突出了类比的方法， 从分数的基本性质、 约分、通分及分数的运算法则类 比引出了分式的基本性质、 约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程.2 .与分式运算有关的运算法则3 .分式的化简求值（通分与约分）4 .哥的运算法则【主要公式】1.同分母加减法则：9 ±£=2（a# 0） aaabdbcdabc 二 da5 .异分母加减法则：一土一 = ± =（a= 0,c0 0）;acacacac6 .分式

3、的乘法与除法：_b,d=里，g=bd a c ac a d a c ac7 .同底数哥的加减运算法则：实际是合并同类项8 .同底数哥的乘法与除法；aman =am+n; a m+ an =an6.积的乘方与哥的乘方7.负指数哥：a-p= ap8.乘法公式与因式分解：(ab)上 a mbn, (a m)a0=1：平方差与完全平方式（a+b）（a-b尸 a 2-b2 ;（a ± b） 2= a2 ± 2ab+b2（一）、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义1 -22【例1】下列代数式中：2x y,告b,旦上，是分式的有： - 2, a b x y x- y第一讲分式的运算题

4、型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时，下列分式有意义11【知识要点】1.分式的概念以及基本性质x -4K3x / 0、21一 (3)x2 2x2 -1/ 、 6 -x4|x|-3(5)11 xx(1)<ox，1题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x取何值时，下列分式的值为0.2(3) x2 _2x -3x -5x -6分式的基本性质及有关题型题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x为何值时，分式为正;1.分式的基本性质:A A M A- M2.分式的变号法则:-a -a a(2)当x为何值时，分式(3)当x为何值时，分式5x 为负;3 (x -1)2金为非负数.

5、x 3题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数练习：1.当12x y (1)2M-x - y340.2a -0.03b(2)0.04a - bx取何值时，下列分式有意义:(1)16| x | 3(3)题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1)- _ x - y- a一口- a一工(1)x为何值时，下列分式的值为零:5-| x -1|x 44x2 -6x 5题型三：化简求值题【例3】已知:2x-3xy+2y 的值. x 2xy y3.解下列不等式提示：整体代入， x + y = 3xy,转化出-+

6、- x y（三）分式的运算【例4】已知：x _1 =2 ,求x2十工的值. Xx【例 5】若 | X y +1 | H2x 3)2 =0 ,求 一1一 的值.4x -2y1 .确定最简公分母的方法：最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次哥.2 .确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公 约数；取分子、分母相同白字母因式的最低次哥.题型一：通分【例1】将下列各式分别通分练习：1 .不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数0.4a b0.03x -0.2y50.08x 0.5y,11 人a - -b410(1)(3

7、)c b a: ，一 2 ， 2 '-2ab 3a c - 5b c1 x22,2 , 2x - x 1 - 2x x xx2(2)a b,a - b 2b - 2a题型二：约分例2约分:2(1)20xy(3)(3)2x x - 2""2"x - x - 61x2 .已知：x + =3 ,求-一的值.xx4 x2 1右 112a -3ab -2b3 .已知：=3 ,求的值.a bb -ab -a题型三：分式的混合运算【例3】计算:4 .若 a2 +2a +b2 -6b +10 =0,求 2a工 b 的值.3a 5b5 .如果1 <x <2 ,试

8、化简 区乌匕二L 十凶.2 -x | x -1 | x，23. 一a b3 c c 2 . 7by/3a 3 3a .3 , 22. . .y -x. 2(1)()(-)丁(一)；(2)() (x y 广()；-c- ab ax yy x(1)2a 5 a -12a -3十；2(a 1)2(a 1)2(a 1)(2)22 _a2b2 -2ab；(3)(5)m 2n n 2m+；n -m m -n n -m311 2x 4x1 -x 1 x 1 x21 x42-a- -a -1 ;a -1(6)11 (x -1)(x 1) (x 1)(x 3)x2 -4x 4题型四：化简求值题2x -2xx -

9、 1【例4】先化简后求值一 2.(1)已知：x=-1,求分子 1 一一2(x-1) 4(一 一)的值;x -44x2 x(2)已知：工=工=马，求xy+2yz3xz的值;2 3 4x2 y2 z2(3)已知:a2 -3a +1 =0，试求(a2 2)(a -)的值.a2 a题型五：求待定字母的值【例5】若 =3x = +，试求M ,N的值.x2 -1 x 1 x-1练习：1 .计算 a - b - c a - 2b. 3c b - 2c aqb-c b-cqa c-a-b(5) (ab+fb/a+bfab)； a -ba b J-"")(4)(6),2b2ab+;a b11

10、2 +_ +；1f 1 x 1 ： x22.先化简后求值(1)旦二1 , a、4,其中 a满足 a2a = 0.a 2 a -2a - 1 a T22(2)已知 x:y = 2:3 ,求(x - y )+(x + y) 1(*二y)3户一x2 的值. xyx y3.已知:瑞七T*hbv试求A、B的值.399a 8054.当a为何整数时，代数式 9 的值是整数，并求出这个整数值a - 2(四)、整数指数哥与科学记数法题型一：运用整数指数哥计算2.已知 x2 5x+1=0 ,求(1) x + x,，(2) x2+x/的值.(1)；上=0 ； x-1 xx -3 x(3)段；=1； (4)x-1 x

11、2 -1【例 1】计算：（1） （a），（bc）3（2） （3x3y2z,）N <5xyz3）2,、与， ,x5（a - b） （a -b） ,23 ,、_2_2 /、上（3）-v（4）（x+y） '（xy） （x+y）（ab） （a ' b）题型二：化简求值题【例2】已知x +x，=5 ,求（1） x2 +x'的值； 求x2(x y)4(x -y), +x”的值.题型三：科学记数法的计算【例 3】计算：（1） （3 父10"）父（8.2 父10 二）2 ; （2） （4 父10二）2 十（2 叼0“）3.第二讲分式方程【知识要点】1.分式方程的概念以及

12、解法；2 .分式方程产生增根的原因3 .分式方程的应用题【主要方法】1.分式方程主要是看分母是否有外未知数；2 .解分式方程的关健是化分式方程为整式方程；方程两边同乘以最简公分母3 .解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数.（一）分式方程题型分析题型一：用常规方法解分式方程【例1】解下列分式方程提示易出错的几个问题： 分子不添括号；漏乘整数项；约去相同因式至使漏根；忘记验根练习：1.计算：(1) (一5)，力+(1-七)0+(25)2007.42008(2)7 -I 3 2223(3 m n ) (m n)题型二：特殊方法解分式方程【例2】解下列方程x 4x 4.（1） +=4；x 1 x(2)(3)2 -22 2(2ab2)(a2b)2提示：（1）换元法，设 一一 = y ;（2）裂项法, x - 1二1六.3. 23. -2(3a b ) (ab )(4)【例3】解下列方程组22 24(x -y) (x y)111-+x y一21 1_1+-(2)y z一31+1_1(3)z x一4题型三：求待定字母的值【例4】若关于x的分式方程 3