2016年江苏省苏锡常镇四市高考数学二模试卷(解析版)

1、WORD格式2021年*省苏锡常镇四市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1U=12345 A=12 B=2 3 4A B =全集 ， ， ，那么 "U2 a i 2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数a=3从某班抽取 5 名学生测量身高单位： cm，得到的数据为160， 162， 159，160， 159，那么该组数据的方差 s2=4同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，那么至少有两枚硬币正面向上的概率为5假设双曲线 x2+my 2=1 过点， 2，那么该双曲线的虚轴长为6函数 f x=的定义域为7某算法流

2、程图如下列图，该程序运行后，假设输出的x=15，那么实数 a 等于8假设 tan= ，tan =，那么 tan 2 =9假设直线 3x+4y m=0 与圆 x2+y2+2x 4y+4=0 始终有公共点，那么实数m 的取值X围是10设棱长为a 的正方体的体积和外表积分别为V 1， S1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V2， S2，假设= ，那么的值为32x，假设f1flog30a 0a 1，那么实数a的取值11函数 f x =x + 且 X围是12设公差为d d 为奇数， 且 d1的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，假设 Sm1= 9，Sm=0，其中 m 3，且 mN*，那么

3、 an=2 a，假设存在x 12 ，使得fx2a的取值X围13fx=xx |， ，那么实数函数|是专业资料整理WORD格式第1页共 23页专业资料整理WORD格式14在平面直角坐标系xOy 中，设点A 1， 0，B 0，1， C a， b，D c， d，假设不2m2"+m"""对任何实数a b c，d都成立，那么等式 ， ，实数 m 的最大值是二、解答题：本大题共6 小题，共计90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是a， b，c，向量= cosB，cosC， = 4a

4、b， c，且 1求 cosC 的值；2假设 c=， ABC 的面积 S=，求 a， b 的值16在直三棱柱ABC A 1B 1C1中， CA=CB ，AA 1=AB ，D 是 AB 的中点（ 1求证： BC1平面 A 1CD；（ 2假设点 P 在线段 BB 1上，且 BP= BB 1，求证： AP平面 A 1CD 17某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x单位：元， x 0时，销售量q x单位：百台与x 的关系满足：假设x 不超过 20，那么 q x=；假设x 大于或等于180，那么销售为零；当20 x 180 时 q x =a b a， b 为

5、实常数1求函数 q x的表达式；2当 x 为多少时，总利润单位：元取得最大值，并求出该最大值18在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：=1 a b 0的左，右焦点分别是F1， F2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于ab1假设椭圆C 的离心率等于，求椭圆C 的方程；2假设过点 0， 1的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P，且 P 在第二象限，直线PF2交 y 轴于点 Q试判断以 PQ 为直径的圆与点F1的位置关系，并说明理由19数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1=3 ，且对任意的正整数n，都有 Sn+1=Sn+3n+1，其中常数 0设 b*n= nN专业资

6、料整理WORD格式第2页共 23页专业资料整理WORD格式1假设=3，求数列 bn 的通项公式；2假设 1 且 3，设 c+n N*，证明数列 c 是等比数列；n=ann3假设对任意的正整数 n，都有bn 3，*数的取值X围20函数f x=a"ex+x2 bx a，b R，e=2.71828是自然对数的底数，其导函数为y=f x1设 a=1，假设函数y=f x在 R 上是单调减函数，求b 的取值X围；2设 b=0，假设函数y=f x在 R 上有且只有一个零点，求a 的取值X围；3设 b=2，且 a 0，点m， n m， n R是曲线y=f x上的一个定点，是否存在实数xx0m，使得f

7、x0=f x0mn成立？证明你的结论0 +【选做题】在A，B，C，D 四小题中只能选做两题，每题0 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A 选修 4-1：几何证明选讲 21 ABC 内接于 O， BE 是 O 的直径， AD 是 BC 边上的高求证：BA "AC=BE "AD B选修 4-2：矩阵与变换22变换 T 把平面上的点 3， 4，5， 0分别变换成 2， 1， 1， 2，试求变换 T 对应的矩阵 M C选修 4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点 M 1，2，倾斜角为以坐标原点O 为极点

8、，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 圆 C：=6cos假设直线 l 与圆 C 相交于 A ，B 两点，求 MA "MB 的值D选修 4-5：不等式选讲24设 x 为实数，求证： x2+x+12 3x4+x2+1【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤25一个口袋中装有大小一样的3 个白球和 1 个红球，从中有放回地摸球，每次摸出一个，假设有 3 次摸到红球即停顿1求恰好摸4 次停顿的概率；2记 4 次之内含4 次摸到红球的次数为X ，求随机变量X 的分布列专业资料整理WORD格式第3页共

9、23页专业资料整理WORD格式a aa a a，且 | a1|+|a a1n N *n 226设实数 a1，2， ，n满足1+ 2+ + n=02|+ +|n| 且，令 b n N*求证： | b+b +b | n N*n=1 2n专业资料整理WORD格式第4页共 23页专业资料整理WORD格式2021年*省苏锡常镇四市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14 小题，每题5 分，共计70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1U=12 345A=12，B=23 4 ，那么A "UB=1 2全集， ， ， ， ， ，5 【考点】 交、并、补集的混合运算【分析】 先求出 B

10、 的补集，再求出其与A 的并集，从而得到答案【解答】 解：U=12345 ，又B=234 ， ， CUB=1，5 ，又 A= 1，2 ， A CUB= 1，2，5故答案为： 1， 2， 5 2 a i 2=2i ，其中 i 是虚数单位，那么实数a= 1【考点】 复数代数形式的混合运算【分析】 直接化简方程，利用复数相等条件即可求解22【解答】 解： a 2ai 1=a 1 2ai=2i ， a= 13从某班抽取5 名学生测量身高单位：cm，得到的数据为160， 162， 159，160， 159，那么该组数据的方差s2=【考点】 极差、方差与标准差【分析】 求出数据的平均数，从而求出方差即可【

11、解答】 解：数据160， 162，159， 160， 159 的平均数是： 160，那么该组数据的方差s2=02+22+12+02+12=，故答案为：4同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，那么至少有两枚硬币正面向上的概率为【考点】 古典概型及其概率计算公式【分析】 由条件利用 n 次独立重复试验概率计算公式求解【解答】 解：同时抛掷三枚质地均匀、大小一样的硬币一次，至少有两枚硬币正面向上的概率为：p=故答案为：专业资料整理WORD格式第5页共 23页专业资料整理WORD格式5假设双曲线 x2+my 2=1 过点， 2，那么该双曲线的虚轴长为4 【考点】 双曲线的简单性质【分析】 根据条件

12、求出双曲线的标准方程即可得到结论【解答】 解：双曲线 x2+my2=1 过点， 2，2+4m=1，即 4m=1，m= ，那么双曲线的标准X围为x2=1，则 b=2 ，即双曲线的虚轴长 2b=4，故答案为： 46函数 f x=的定义域为0， 11， 2【考点】 函数的定义域及其求法【分析】 由对数式的真数大于0，分式的分母不等于0 联立不等式组求得答案【解答】 解：要使原函数有意义，那么，解得： 0 x 2，且 x 1函数 f x=的定义域为： 0，11，2故答案为： 0， 1 1， 27某算法流程图如下列图，该程序运行后，假设输出的x=15，那么实数a 等于1 【考点】 程序框图专业资料整理W

13、ORD格式第6页共 23页专业资料整理WORD格式【分析】 由中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环构造计算并输出变量x 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，即可解得a 的值【解答】 解：模拟执行程序，可得n=1， x=an 3x=2a 1，n=2满足条件 ，执行循环体，+满足条件 n 3，执行循环体，x=2 2a+1 +1=4a+3， n=3n 3x=24a 31=8a7 n=4满足条件 ，执行循环体，+ + ，不满足条件n 3，退出循环，输出x的值为 15所以： 8a+7=15，解得： a=1故答案为： 18假设 tan= ，tan =，那么 tan 2 = 【考点】

14、 两角和与差的正切函数【分析】 根据题意，先有诱导公式可得tan2= tan 2 ，进而结合正切的和角公式可得 tan2 = tan 2= tan + =，代入数据计算可得答案【解答】 解：根据题意，tan 2 =tan2 =tan = +=；故答案为：9假设直线 3x+4ym=0 与圆 x2+y2+2x 4y+4=0 始终有公共点， 那么实数 m 的取值X围是 0，10 【考点】 直线与圆的位置关系【分析】 圆 x2+y2 +2x 4y+4=0 的圆心 1，2，半径 r=1 ，求出圆心 1，2到直线 3x+4ym=0的距离d3x+4ym=0与圆x2y22x4y 4=0始终有公共点，得d r，

15、由，由直线+此能求出实数m 的取值X围【解答】 解：圆x2y22x4y+4=0的圆心12r=1，+ +， ，半径123x+4ym=0的距离d=，圆心 ，到直线直线 3x+4y m=0 与圆 x2+y2+2x4y +4=0 始终有公共点，解得 0 m 10，实数 m 的取值X围是 0， 10 故答案为： 0， 10 专业资料整理WORD格式第7页共 23页专业资料整理WORD格式10设棱长为a 的正方体的体积和外表积分别为V 1， S1，底面半径高均为r 的圆锥的体积和侧面积分别为V2， S2，假设= ，那么的值为【考点】 棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】 根据体积比得出a 和 r 的关系，代入面

16、积公式求出面积比即可【解答】 解：圆锥的母线l=rV 1=a3， S1=6a2， V 2=， S2=rl=r2=， a=r=故答案为：32x，假设f1flog30a 0a 1，那么实数a的取值11函数 f x =x + 且 X围是0， 1 3， +【考点】 函数的值【分析】 可判断函数f x=x 3+2x 是奇函数， 且在 R 上是增函数， 从而化简f 1+f log3 0 为 log3 1；从而解得【解答】 解：函数fx=x 32xR上是增函数，+ 是奇函数，且在f 1 +f log3 0，f log3 f 1 =f 1，log3 1； 1 或 3 a；即 a 0，1 3， +；故答案为：

17、0， 1 3， +12设公差为 d d 为奇数， 且 d1的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn，假设 Sm1= 9，Sm=0，其中 m 3，且 mN *，那么 an= 3n12 【考点】 等差数列的前n 项和专业资料整理WORD格式第8页共 23页专业资料整理WORD格式【分析】 Sm1=9， Sm=0，其中 m 3，可得： m 1 a1+d= 9，ma1+d=0，化为：d=由于m3，且mN*，d为奇数，且d 1，通过分类讨论验证即可得出【解答】 解： Sm1= 9， Sm=0，其中 m 3， m 1 a1+d= 9，ma1+d=0 ，可得： d=m 3，且 m N*， d 为奇数，且d

18、1， d=3 ， m=7 a1= 9 an= 9+3n 1 =3n 12故答案为： 3n 122 ax1 2 ，使得fx2a的取值X围13fx=xx | ，假设存在 ， ，那么实数函数|是 1，5【考点】 分段函数的应用【分析】 由题意可得 f x 2 可得 2x3 ax 2，即为 x2 a x2+ ，等价为 x2min a x2+max，分别判断不等式左右两边函数的单调性，求得最值，解不等式即可得到a 的X围【解答】 解：当 x 1， 2 时， f x =| x3 ax| ，由 f x 2 可得 2x3 ax 2，即为 x2 a x2+ ，设 g x= x2，导数为g x = 2x+，当 x

19、 1，2 时， g x 0，即 g x递减，可得 g xmin= 41= 5，即有 a 5，即 a5；设 h x= x2+，导数为g x= 2x，当 x 1，2 时， h x 0，即 h x递减，可得 h xmax= 1+2=1即有 a 1，即 a 1综上可得， a 的X围是 1 a 5故答案为： 1， 5专业资料整理WORD格式第9页共 23页专业资料整理WORD格式14在平面直角坐标系xOy 中，设点A 1， 0，B 0，1， C a， b，D c， d，假设不2m2"+m"""对任何实数a b c，d都成立，那么等式 ， ，实数 m 的最大值是 1

20、【考点】 平面向量数量积的运算【分析】 根据条件可以求出向量的坐标，从而进展向量数量积的坐标运算便可求出的值，这样将这些值代入并整理便可得出c2+a2+d2+b2 m（ ac+bd+bc【解答】 解：根据条件，代入并整理得：c2+a2 +d2+b2 m ac+bd+bc，即 c2+a2+d2+b2 m ac+bd+bc 0 恒成立，配方得：a2d2c2b2bc0恒成立， + + 有 a2 0，d2 0 满足，那么要： c2+b2bc 0 恒成立，那么有：，解得 2 m 1，所以 m 最大值为 1二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过

21、程或演算步骤15在 ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别是a， b，c，向量= cosB，cosC，= 4a b， c，且 1求 cosC 的值；2假设 c=， ABC 的面积 S=，求 a， b 的值【考点】 余弦定理；正弦定理专业资料整理WORD格式第 10 页共 23 页专业资料整理WORD格式【分析】 1利用向量平行的坐标表示，正弦定理可得sinCcosB= 4sinA sinB cosC，利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可得sinA=4sinAcosC ，结合 sinA 0，即可解得 cosC 的值2由 1结合同角三角函数根本关系式可求sinC 的值，利用三角形面积公

22、式可解得 ab=2，结合余弦定理可求a2+b2=4 ，从而解得a，b 的值【解答】此题总分值为14 分解： 1 mn， ccosB= 4a b cosC，由正弦定理，得sinCcosB= 4sinA sinB cosC，化简，得sin B+C=4sinAcosC A +B+C=， sinA=sin B +C又 A 0， sinA 0， 2 C 0， ab=2 ，由余弦定理得， a2+b2=4，由，得 a44a2+4=0 ，从而 a2=2，舍负， ，16在直三棱柱ABC A 1B 1C1中， CA=CB ，AA 1=AB ，D 是 AB 的中点（ 1求证： BC1平面 A 1CD；（ 2假设点

23、P 在线段 BB 1上，且 BP= BB 1，求证： AP平面 A 1CD 专业资料整理WORD格式第 11 页共 23 页专业资料整理WORD格式【考点】 直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】1连接 AC 1，设与 CA 1交于 O 点，连接 OD，由 O 为 AC 1的中点， D 是 AB的中点，可得OD BC 1，即可证明 BC 1平面 A 1CD 2由题意，取A1B1的中点 O，连接 OC1， OD，分别以 OC1，OA 1， OD 为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系， 设 OA 1=a，OC1=b，由题意可得各点坐标， 可求= b，a，2，= 0 a， 2，=0，

24、2a，由"=0，"=0，即可证明 AP平面 A 1CD 【解答】 证明： 1如图，连接 AC 1，设与 CA 1交于 O 点，连接 OD，直三棱柱 ABC A 1B1C1中， O 为 AC 1的中点，D 是 AB 的中点， ABC 1中， OD BC 1，又 OD" 平面 A1CD ，BC平面ACD112由题意，取A1B1的中点 O，连接 OC1， OD，分别以 OC1，OA 1， OD 为 x， y，z 轴建立空间直角坐标系，设OA 1=a， OC1=b，那么：由题意可得各点坐标为：A 1 0，a， 0， Cb，0， 2a，D 0，0，2，P0，a， A 0，

25、a， 2，可得：= b， a， 2，= 0 a， 2，= 0， 2a，所以：由"=0 ，可得： AP A 1C，由 "=0，可得： APA1D，又： A1CA1D=A，1所以： AP平面 A 1CD专业资料整理WORD格式第 12 页共 23 页专业资料整理WORD格式17某经销商方案销售一款新型的空气净化器，经市场凋研发现以下规律：当每台净化器的利润为 x单位：元， x 0时，销售量q x单位：百台与x 的关系满足：假设x 不超过 20，那么 q x=；假设x 大于或等于180，那么销售为零；当20 x 180 时 q x =a b a， b 为实常数1求函数 q x的表

26、达式；2当 x 为多少时，总利润单位：元取得最大值，并求出该最大值【考点】 函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义【分析】 1分段函数由题意知分界点处函数值相等得到a，b（ 2总利润为每台的利润乘以销售量，分段函数每段求最大值，最后选择一个最大的为分段函数的最大值【解答】 解： 1由 x=20 和 x=180 时可以解得 a， b a=90， b=3专业资料整理WORD格式第 13 页共 23 页专业资料整理WORD格式 q x =（ 2设总利润为 W x那么 W x =当x0，20 时，Wx=1260为单调递增，最大值为1200x=20，此时当 x 20，180 时， W x=9

27、0x 3x， W x=90 此时x 2080时，Wx单调递增x80，180Wx单调递减， 时，在 x=80 时取得最大为240000综上所述： x=80 时，总利润最大为240000 元18在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C：=1 a b 0的左，右焦点分别是F1， F2，右顶点、上顶点分别为A ，B ，原点 O 到直线 AB 的距离等于ab1假设椭圆C 的离心率等于，求椭圆C 的方程；2假设过点 0， 1的直线l 与椭圆有且只有一个公共点P，且 P 在第二象限，直线PF2交 y 轴于点 Q试判断以 PQ 为直径的圆与点 F1的位置关系，并说明理由【考点】 椭圆的简单性质【分析】 1求得 A

28、，B 的坐标， 可得 AB 的方程， 运用点到直线的距离公式和离心率公式，解方程可得 a， b，进而得到椭圆方程；2点 F1在以 PQ 为直径的圆上由题意可得直线l 与椭圆相切且 l 的斜率存在，设直线 l的方程为： y=kx +1，代入椭圆方程，运用判别式为0，解得 k 的值，可得 P a2，b2，从而可得直线 PF2的方程，求得 Q 的坐标，可得向量，的坐标，求出数量积为 0，即可得到结论【解答】 解： 1由题意得点 A a，0， B 0， b，直线 AB 的方程为，即 ax+byab=0由题设，得，化简，得a2+b2=1 ，由，即为，即 a2=3b2 专业资料整理WORD格式第 14 页

29、共 23 页专业资料整理WORD格式由，解得，可得椭圆 C 的方程为；2点 F1在以 PQ 为直径的圆上由题设，直线l 与椭圆相切且l 的斜率存在，设直线l 的方程为： y=kx +1，由22222222，得 b+a k x+2ka x+a a b =0，* 那么 =2ka22 4 b2 +a2k2 a2 a2b2=0 ，化简，得1 b2 a2k2=0，所以，由点 P 在第二象限，可得k=1，224把 k=1 代入方程 *，得 x +2a x+a =0 ，解得 x= a2，从而 y=b2，所以 P a2， b2从而直线 PF2的方程为：，令 x=0 ，得，所以点从而，从而=，22222又 a

30、+b =1， a =b +c ，所以点 F1在以 PQ 为直径的圆上19数列 an 的前 n 项和为 Sn， a1=3 ，且对任意的正整数n，都有 Sn+1=Sn+3n+1，其中常数 0设 bn= nN *1假设=3，求数列 bn 的通项公式；专业资料整理WORD格式第 15 页共 23 页专业资料整理WORD格式2假设 1 且 3，设 cn=an+n N*，证明数列 cn 是等比数列；（ 3假设对任意的正整数 n，都有 bn 3，*数的取值X围【考点】 数列递推式；等比关系确实定【分析】 1利用递推关系、等差数列的通项公式即可得出（ 2利用递推关系、等比数列的定义及其通项公式即可得出；（ 3

31、通过对分类讨论，利用数列的通项公式及其不等式的性质即可得出【解答】 1解：， nN* ，当 n 2时，从而， n 2， n N*又在中，令 n=1 ，可得，满足上式， n N*当=3 时， nN *，从而，即，又 b1=1，所以数列 bn 是首项为1，公差为的等差数列，2证明：当 0 且 3 且 1 时，=，又， cn 是首项为，公比为的等比数列，3解：在 2中，假设=1，那么cn=0 也适合，当3 时，从而由 1和 2可知： an=当=3 时，显然不满足条件，故 3专业资料整理WORD格式第 16 页共 23 页专业资料整理WORD格式当3 时，假设 3时，bbn N*b1， n n+1，

32、，n ， +，不符合，舍去假设 0 1 时， b b， nN*，且b 0nn+1n只须即可，显然成立故0 1 符合条件；假设=1 时， b =1，满足条件故=1符合条件；n假设 1 3 时，从而b b ，n N*，nn+1b1=1 0故，要使 bn3 成立，只须即可于是综上所述，所*数的X围是x+x2bxa b R，e=2.71828是自然对数的底数 ，其导函数为20fx=a e ， 函数"y=f x1设 a=1，假设函数 y=f x在 R 上是单调减函数，求b 的取值X围；2设 b=0，假设函数 y=f x在 R 上有且只有一个零点，求a 的取值X围；3设 b=2，且 a 0，点

33、m， n m， n R是曲线y=f x上的一个定点，是否存在实数 x0 x0m，使得 f x0 =f x0 m +n 成立？证明你的结论【考点】 利用导数研究函数的单调性；导数的运算【分析】 1求得 f x的导数，由题意可得fx 0 恒成立，即为 b ex 2x，令 gx =ex 2x，求得导数，单调区间，可得极小值，且为最小值，即可得到b 的X围；2求得 f x的解析式，令f x=0，可得 a=，设 h x =，求得 h x的导数和单调区间、极值，结合零点个数只有一个，即可得到a 的X围；3假设存在实数 x0 x0 m，使得 f x0 =f x0 m +n 成立求得 f x的导数， 化简整理可得=e，考虑函数 y=ex的图象与 y=lnx 的图象关于直线y=x 对称，上式可转化为=，设 t= 1，上式即为lnt=，令mt