北师大版初北师大版七级（下）数第四章三角形教案：全等三角形的判定讲义（含答案）

1、.三角形全等的断定1、掌握直角三角形全等的断定方法：“斜边、直角边；2、判断能证明三角形全等的条件；3、判断三角形全等能推出的结论；4、探究全等三角形断定的综合问题1斜边、直角边定理HL文字描绘：_和一条_分别相等的两个直角三角形全等符号语言：在RtABC与RtDEF中，ABC=DEF=90，RtABCRtDEFHL图示：2探究三角形全等的思路1两边2一边一角3两角3.什么是开放题所谓开放题，即为答案不唯一的问题，其主要特征是答案的多样性和多层次性.由于这类题综合性强、解题方法灵敏多变，结果往往具有开放性，因此需观察、实验、猜测、分析和推理，同时运用树形结合、分类讨论等数学思想.4. 开放题问

2、题类型及解题策略1条件开放与探究型问题.从结论出发，执果索因，逆向推理，逐步探求结论成立的条件或把可能产生结论的条件一一列出，逐个分析.2结论开放与探究型问题.从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想类比、猜测等，从而获得所求的结论.3条件、结论开放与探究型问题.此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将的信息集中进展分析，探究问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联络，从而把握事物的整体性和一般性.参考答案：1、斜边 直角边 2、1SAS HL SSS 2AAS SAS ASA AAS 3ASA AAS1利

3、用HL证全等【例1】如图，A=D=90，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB=CD，BE=CF求证：RtABFRtDCE【解析】由于ABF与DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的断定的方法即可证明证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，即BF=CE.A=D=90，ABF与DCE都为直角三角形，在RtABF和RtDCE中，RtABFRtDCEHL点评：此题考察了直角三角形全等的断定，解题关键是由BE=CF通过等量代换得到BF=CE总结：1断定直角三角形全等共有五种方法：“SSS“ASA“AAS和“HL；一般先考虑利用“HL定理，再考虑利用一般三角形全等的断定方法；2“HL定理是直角

4、三角形所特有的断定方法，对于一般的三角形不成立；3断定两个直角三角形全等时，这两个直角三角形已有“两个直角相等的条件，只需再找两个条件，但所找条件中必须有一组边对应相等练1如图，要用“HL断定RtABC和RtABC全等的条件是 AAC=AC，BC=BC BA=A，AB=ABCAC=AC，AB=AB DB=B，BC=BC【解析】根据直角三角形全等的断定方法HL即可直接得出答案在RtABC和RtABC中，假如AC=AC，AB=AB，那么BC一定等于BC，RtABC和RtABC一定全等，应选C点评：此题主要考察学生对直角三角形全等的断定的理解和掌握，难度不大，是一道根底题练2如图，ABCD，垂足为B

5、，BC=BE，假设直接应用“HL断定ABCDBE，那么需要添加的一个条件是_【解析】先求出ABC=DBE=90，再根据直角三角形全等的断定定理推出即可AC=DE，理由是：ABDC，ABC=DBE=90，在RtABC和RtDBE中，RtABCRtDBEHL故答案为：AC=DE点评：此题考察了全等三角形的断定定理，主要考察学生的推理才能，注意：断定两直角三角形全等的方法有SAS，ASA，AAS，SSS，HL2利用HL证全等，再证边角相等【例2】如图，ABBC，ADDC，AB=AD求证：CB=CD【解析】根据条件，利用“HL断定RtABCRtADC，根据全等三角形的对应边相等即可得到CB=CD证明：

6、ABBC，ADDC，B=D=90在RtABC和RtADC中，RtABCRtADCCB=CD点评：此题主要考察学生对全等三角形的断定方法“HL的理解及运用，常用的断定方法有“SAS“ASA“AAS“SSS总结：证明角或线段相等可以从证明角或线段所在的三角形全等入手. 在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等关系练3如图，MNPQ，ABPQ，点A、D、B、C分别在直线MN与PQ上，点E在AB上，AD+BC=7，AD=EB，DE=EC，那么AB=_【解析】可断定ADEBCE，从而得出AE=BC，那么AB=AD+BCMNPQ，ABPQ，ABM

7、N，DAE=EBC=90，在RtADE和RtBCE中，ADEBECHL，AE=BC，AD+BC=7，AB=AE+BE=AD+BC=7故答案为7点评：此题考察了直角三角形全等的断定和性质以及平行线的性质是根底知识比较简单练4如图，A=90，D=90，且AE=DE，求证：ACB=DBC【解析】由图片和，可得ABEDCE，那么BE=CE，然后再证明RtABERtDCE，即可得证证明：A=D=90，AE=DE，AEB=DEC对顶角相等，ABEDCEASA，AB=DC，在RtABE和RtDCE中，RtABERtDCE，ACB=DBC点评：此题主要考察全等三角形全等的断定，注意需证明两次全等3利用HL解决

8、实际问题【例3】如图，A、B、C、D是四个村庄，B、D、C三村在一条东西走向公路的沿线上，且D村到B村、C村的间隔 相等；村庄A与C，A与D间也有公路相连，且公路 AD是南北走向；只有村庄A、B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AC=3千米，AE=1.2千米，BF=0.7千米试求建造的斜拉桥至少有多少千米.【解析】根据BD=CD，BDA=CDA=90，AD=AD，得出RtADBRtADC，进而得出AB=AC=3，即可得出斜拉桥长度由题意，知BD=CD，BDA=CDA=90，AD=AD，那么RtADBRtADCSAS，所以AB=AC=3千米，故斜拉桥至少

9、有3-1.2-0.7=1.1千米点评：此题主要考察了直角三角形全等的断定以及性质，根据得出RtADBRtADC是解决问题的关键总结：对于实际问题，要擅长转化为数学问题，充分运用题目条件、图形条件，寻找三角形全等的条件，从而证明三角形全等，然后利用全等三角形的性质求对应边长或对应角的大小练5如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，那么两个木桩离旗杆底部的间隔 BD与CD的间隔 间的关系是 ABDCD BBDCD CBD=CD D不能确定【解析】根据“两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上可以判断AB=AC，又AD=AD，ADB

10、C，所以RtABDRtACD，所以BD=CDADBC，ADB=ADC=90，由AB=AC，AD=AD，RtABDRtACDHL，BD=CD应选C点评：此题考察了全等三角形的断定及性质的应用；充分运用题目条件，图形条件，寻找三角形全等的条件此题关键是证明RtABDRtACD4全等三角形补充条件型问题【例1】如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，1=2，请你添加一个条件，使ABCDEF，并加以证明不再添加辅助线和字母【解析】由先推出BC=EF，添加条件AC=DF，根据“SAS可推出两三角形全等解：AC=DF证明：BF=EC，BFCF=ECCF，即BC=EF.在ABC和DEF中ABCDEFSAS总

11、结：因为全等三角形的断定定理有“SAS“ASA“AAS“SSS，所以此类问题答案是不唯一的. 对于条件添加型的题目，要根据条件并结合图形及断定方法来添加一个条件练6如图，1=2，那么不一定能使ABDACD的条件是 ABD=CD BAB=AC CB=C DBAD=CAD【解析】利用全等三角形断定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案A、1=2，AD为公共边，假设BD=CD，那么ABDACDSAS；B、1=2，AD为公共边，假设AB=AC，不符合全等三角形断定定理，不能断定ABDACD；C、1=2，AD为公共边，假设B=C，那么ABDACDAAS；D、1=2，AD为公共边，假设B

12、AD=CAD，那么ABDACDASA；应选：B点评：此题考察三角形全等的断定方法，断定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：AAA、SSA不能断定两个三角形全等，断定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练7如图，在ABC中，ADBC，CEAB，垂足分别为D，E，AD与CE交于点F，请你添加一个适当的条件，使ADBCEB【解析】要使ADBCEB，B为公共角，BEC=BDA，具备了两组角对应相等，故添加AB=BC或BE=BD或EC=AD后可分别根据AAS、ASA、AAS能断定ADBCEB解：AB=BC，ADBC，CEAB，B

13、=BADBCEBAAS答案：AB=BC点评：此题考察三角形全等的断定方法，断定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL点评：AAA、SSA不能断定两个三角形全等，断定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角添加条件时，要首选明显的、简单的，由易到难5全等三角形结论探究型问题【例5】如图，点A、F、E、C在同一直线上，ABCD，ABE=CDF，AF=CE1从图中任找两组全等三角形；2从1中任选一组进展证明【解析】1根据题目所给条件可分析出ABECDF，AFDCEB；2根据ABCD可得1=2，根据AF=CE可得AE=FC，然后再证明AB

14、ECDF即可解：1ABECDF，AFDCEB；2ABCD，1=2，AF=CE，AF+EF=CE+EF，即AE=FC.在ABE和CDF中，ABECDFAAS总结：断定两个三角形全等的一般方法有：“SSS“SAS“ASA“AAS和“HL注意：“AAA“SSA不能断定两个三角形全等，断定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角练8如图，ABC中，ADBC，AB=AC，AE=AF，那么图中全等三角形的对数有 A5对 B6对 C7对 D8对【解析】三角形全等条件中必须是三个元素，并且一定有一组对应边相等做题时要从条件开场，结合断定方法对选项逐一验证解：ABC中，AD

15、BC，AB=AC，BD=CD，ABDACD，BAD=CAD，又AE=AF，AO=AO，AOEAOF，EO=FO，进一步证明可得BODCOD，BOECOF，AOBAOC，ABFACE，BCECBF，共7对应选：C点评：此题重点考察了三角形全等的断定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理6全等三角形条件和结论全开放型问题【例6】有以下四个判断：AD=BF；AE=BC；EFA=CDB；AEBC请你以其中三个作为题设，余下一个作为结论，写出一个真命题并加以证明：求证：证明：【解析】由AD=BF，证出AF=BD，再由平行线AEBC得出A=B，证明A

16、EFBCD，即可得出EFA=CDB解：AD=BF，AE=BC，AEBC；求证：EFA=CDB；证明：AD=BF，AD+DF=BF+DF，即AF=BD.AEBC，A=B，在AEF和BCD中，AEFBCDSAS，EFA=CDB点评：此题考察了全等三角形的断定与性质以及命题与定理；纯熟掌握全等三角形的断定方法是解题的关键总结：条件和结论全开放的三角形全等问题，进一步加强了对SSS、SAS、ASA、AAS、HL的考察要纯熟掌握全等三角形的证明思路：条件证明思路两边一边一角两角练9如图，AC交BD于点O，有如下三个关系式：OA=OC，OB=OD，ABDC1请用其中两个关系式作为条件，另一个作为结论，写出

17、所有你认为正确的命题用序号写出命题书写形式，如：假如、，那么2选择1中你写出的个命题，说明它正确的理由【解析】1假如、，那么，或假如、，那么，假如、，那么；2下面选择“假如、，那么加以证明证明：在AOB和COD中，AOBCOD，AC，ABDC练10在ABC和DEF中，AB=DE，A=D，假设证ABCDEF，还需补充一个条件，错误的补充方法是 AB=E BC=F CBC=EF DAC=DF【解析】根据及全等三角形的断定方法对各个选项进展分析，从而得到答案解：A、正确，符合断定ASA；B、正确，符合断定AAS；C、不正确，满足SSA没有与之对应的断定方法，不能断定全等；D、正确，符合断定SAS应选

18、：C点评：此题主要考察学生对全等三角形的断定方法的理解及运用，常用的断定方法有AAS，SAS，SSS，HL等练11如图，等边ABC，AB=2，点D在AB上，点F在AC的延长线上，BD=CF，DEBC于E，FGBC于G，DF交BC于点P，那么以下结论：BE=CG；EDPGFP；EDP=60；EP=1中，一定正确的选项是 A B C D【解析】由等边三角形的性质可以得出DEBFGC，就可以得出BE=CG，DE=FG，就可以得出DEPFGP，得出EDP=GFP，EP=PG，得出PC+BE=PE，就可以得出PE=1，从而得出结论解：ABC是等边三角形，AB=BC=AC，A=B=ACB=60ACB=GC

19、F，DEBC，FGBC，DEB=FGC=DEP=90在DEB和FGC中，DEBFGCAAS，BE=CG，DE=FG，故正确；在DEP和FGP中，DEPFGPAAS，故正确；PE=PGEDP=GFP60，故错误；PG=PC+CG，PE=PC+BEPE+PC+BE=2，PE=1故正确正确的有，应选：D点评：此题考察了等边三角形的性质的运用，全等三角形的断定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键练12如图，EAAB，BCAB EA=AB=2BC，D为AB中点，有以下结论：1DE=AC2DEAC3CAB=304EAF=ADE，其中结论正确的选项是 A1，3 B2，3 C3，4 D1，2，4【解析】此

20、题条件较为充分，EAAB，BCAB，EA=AB=2BC，D为AB中点可得两直角三角形全等，然后利用三角形的性质问题可解决做题时，要结合条件与全等的断定方法对选项逐一验证解：EAAB，BCAB，EAB=ABC=90RtEAD与RtABCD为AB中点，AB=2AD又EA=AB=2BCAD=BCRtEADRtABCDE=AC，C=ADE，E=FAD又EAF+DAF=90EAF+E=90EFA=18090=90，即DEAC，EAF+DAF=90，C+DAF=90C=EAF，C=ADEEAF=ADE应选：D点评：此题考察了全等三角形的断定与性质；全等三角形问题要认真观察与图形，仔细寻找全等条件证出全等，

21、再利用全等的性质解决问题1以下条件不可以断定两个直角三角形全等的是A两条直角边对应相等B两个锐角对应相等C一条直角边和它所对的锐角对应相等D一个锐角和锐角所对的直角边对应相等2如图，O是BAC内一点，且点O到AB，AC的间隔 OE=OF，那么AEOAFO的根据是AHL BAAS CSSS DASA3：如下图，ABC与ABD中，C=D=90，要使ABCABDHL成立，还需要加的条件是 ABAC=BAD BBC=BD或AC=ADCABC=ABD DAB为公共边4如图，B=D=90，BC=CD，1=40，那么2=A40 B50 C60 D755如图1，ABC的六个元素，那么图2甲、乙、丙三个三角形中

22、和图1ABC全等的图形是 A甲乙 B丙 C乙丙 D乙6如图，在ABC中，AB=AC，AE=AF，ADBC于点D，且点E、F在BC上，那么图中全等的直角三角形共有 A1对 B2对 C3对 D4对7.：如图，ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD1请你写出两个正确结论：_；_；2当B=60时，还可以得出哪些正确结论？只需写出一个3请在图中过点D作于DMAB于M，DNAC于N求证：DBMDCN1如图，ABC中，ADBC于D，要使ABDACD，假设根据“HL断定，还需加条件_2如图，B=D=90，BC=DC，1=40，那么2=_度3如下图，有两个长度一样的滑梯靠在一面墙上左边滑梯的高度AC与

23、右边滑梯程度方向的长度DF相等，滑梯BC与地面夹角ABC=35，那么滑梯EF与地面夹角DFE的度数是_4如图，ABC中，ACB=90，AC=BC，AE是BC边上的中线，过C作CFAE，垂足为F，过B作BDBC交CF的延长线于D1求证：AE=CD；2假设AC=12cm，求BD的长5如图，这是建筑物上的人字架，：AB=AC，ADBC，那么BD与CD相等吗？为什么？6请从以下三个等式中，选出一个等式天在横线上，并加以证明等式：AB=CD，A=C，AEB=CFD，：ABCD，BE=DF，_求证：ABECDF证明：参考答案：当堂检测1【解析】A、两条直角边对应相等，可利用全等三角形的断定定理SAS来断定

24、两直角三角形全等，故本选项正确；B、两个锐角对应相等，再由两个直角三角形的两个直角相等，AAA没有边的参与，所以不能断定两个直角三角形全等；故本选项错误；C、一条直角边和它所对的锐角对应相等，可利用全等三角形的断定定理ASA来断定两个直角三角形全等；故本选项正确；D、一个锐角和锐角所对的直角边对应相等，可以利用全等三角形的断定定理ASA或AAS来断定两个直角三角形全等；故本选项正确；应选B2【解析】OEAB，OFAC，AEO=AFO=90，又OE=OF，AO为公共边，AEOAFO应选A3【解析】需要添加的条件为BC=BD或AC=AD，理由为：假设添加的条件为BC=BD，在RtABC与RtABD

25、中，RtABCRtABDHL；假设添加的条件为AC=AD，在RtABC与RtABD中，RtABCRtABDHL应选B4【解析】B=D=90，在RtABC和RtADC中，RtABCRtADCHL，2=ACB=901=50应选B5【解析】根据全等三角形的断定定理SAS，ASA，AAS，SSS逐个判断即可解：图1的ABC中，B=50，BC=a，AB=c，AC=b，C=58，A=72，图2中，甲：只有一个角和B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的断定定理，即和ABC不全等；乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等；丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等；应选：C点评：此题考察了全等三角形的断定的应用，注意：全等三角形的断定定理有SAS，ASA，AAS，SSS6【解析】如图，运用等腰三角形的性质证明BD=CD，DE=DF；证明ABDACD，AEDAFD，即可解决问题解：如图，AB=AC，AE=AF，ADBC，BD=CD，DE=DF；在ABD与ACD中，ABDACDSAS，同理可证A