椭圆的几何性质

1、1.1.椭圆定义椭圆定义: :平面内到两定点平面内到两定点F F1 1、F F2 2的距离之和等于常数的距离之和等于常数（大于（大于| |F F1 1F F2 2 | |）的动点的轨迹叫做椭圆。）的动点的轨迹叫做椭圆。2.2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：3.3.椭圆中椭圆中a,b,ca,b,c的关系的关系: :1212| 2 (2|)PFPFaaFF当焦点在当焦点在X X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y Y轴上时轴上时)0( 12222babyax)0( 12222babxay复习回顾：复习回顾：a2=b2+c2xyO创设问题情景，学生自主探究：创设问题情景，学生自主探究：方程方程 表示什么

2、样的曲线？表示什么样的曲线？400251622yx1162522yx你能利用以前学过的知识快速画你能利用以前学过的知识快速画出它的图形吗？作图时候我们或出它的图形吗？作图时候我们或许能用到或要考虑哪些问题呢？许能用到或要考虑哪些问题呢？椭圆的几何性质椭圆的几何性质)0( 12222babyax范围范围顶点顶点离心率离心率对称性对称性1.1.范围范围)0(12222 babyax由由说明：椭圆落在说明：椭圆落在x = =a, ,y = =b围成的矩形中围成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cabx112222 byax和和bybaxa ,即即自主探究自主探究1 1：结合椭圆标准方程的特点，利

3、用方：结合椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的范围；程研究椭圆曲线的范围； (1)椭圆椭圆 中中, x的范围是的范围是 .55 x练习练习1 1：填空：填空141622yx说明说明椭圆位于椭圆位于 的矩形框里的矩形框里.(2)椭圆椭圆 中中, x的范围是的范围是 .y的范围是的范围是 .围成与直线24yx44x22y说明说明椭圆位于椭圆位于 的矩形框里的矩形框里.y的范围是的范围是 .1162522yx44y围成与直线45yx2.对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）)0(12222babyax2,P xy（1 1）从图形上看：）从图形上看：椭圆关于椭圆关于x x轴、

4、轴、y y轴、轴、原点对称，既是轴原点对称，既是轴对称图形，又是中对称图形，又是中心对称图形。心对称图形。自主探究自主探究2 2：继续观察椭圆标准方程的特点，利：继续观察椭圆标准方程的特点，利用方程研究椭圆曲线的对称性；用方程研究椭圆曲线的对称性；结论结论: :椭圆关于椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点对称。轴、原点对称。（2 2）从方程上看：）从方程上看：（1 1）P(x,y) yP(x,y) y轴轴（2 2）P(x,y) xP(x,y) x轴轴2222xyab22221xyab),(2yxP),(1yxP （3 3）P(x,y) P(x,y) 原点原点),(3yxP2222()xyab2

5、2221xyab2222()()xyab22221xyab3、椭圆的顶点)0(12222babyax椭圆与椭圆与 y y轴的交点是什么？轴的交点是什么？长轴长：长轴长：A A1 1A A2 2=2a =2a a a长半轴长长半轴长短轴长：短轴长：B B1 1B B2 2=2b =2b b b短半轴长短半轴长 c c半焦距。半焦距。 oyB2B1A1A2F1F2cab四个顶点四个顶点 A A1 1(-a, 0) A(-a, 0) A2 2(a, 0) (a, 0) 坐标为坐标为 B B1 1(0, -b) B(0, -b) B2 2(0, b) (0, b) x椭圆与椭圆与 x x轴的交点是什么

6、？轴的交点是什么？), 0(b), 0(b)0 ,(a)0 ,( a自主探究自主探究3 3：求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标：求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标令令 x= =0，得，得y = =b令令 y=0，得，得 x = =a123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形1162522yx142522yx（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 xyx4.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率。叫

7、做椭圆的离心率。刻画椭圆的扁圆程度：刻画椭圆的扁圆程度：ace 离心率离心率思考思考1 1：椭圆的离心率在什么范围内？：椭圆的离心率在什么范围内？思考思考2 2：椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？：椭圆的离心率在范围内变化时椭圆形状如何变化？4.椭圆的离心率(1)(1)离心率的取值范围：离心率的取值范围： e 越接近越接近1 1，椭圆就越，椭圆就越 e 越接近越接近 0 0，椭圆就越，椭圆就越(2)(2)离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：222ayx因为因为 a c 0，所以所以0e 1扁扁圆圆特例：特例：e e =0=0，椭圆变为圆，方程变为，椭圆变为圆，方程变为练习

8、练习3 3：求椭圆：求椭圆A A 的离心率的离心率e e1 1, ,和椭圆和椭圆B B 的离心率的离心率e e2 2, ,并判定哪并判定哪个更接近圆个更接近圆. .2241xy分析分析：12232,32ee221819xy,21ee 椭圆椭圆B更接近圆更接近圆.2241xy1 1、填空：长轴长：、填空：长轴长： ；短轴长：；短轴长： ； 焦距：焦距： ；离心率：；离心率： ； 焦点坐标：焦点坐标： ；顶点坐标：；顶点坐标： ； 108635( 3,0)( 5,0)(0, 4)典例分析典例分析分析：椭圆方程转化为标准方程为：分析：椭圆方程转化为标准方程为：2212516xy于是a=5，b=4，c

9、=3.例例1 1. .已知椭圆方程为已知椭圆方程为16x16x2 2+25y+25y2 2=400,=400,跟踪练习：跟踪练习：已知椭圆方程为已知椭圆方程为6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的长轴长是：它的长轴长是： 。短轴长是：。短轴长是： 。焦距是：焦距是： . .离心率等于：离心率等于： 。焦点坐标是：焦点坐标是： 顶点坐标是：顶点坐标是： 。 外切矩形的面积等于：外切矩形的面积等于： 。 262)5, 0( 52630(0,6) ( 1,0)4 616122 yx其其标标准准方方程程是是5 1 622bacba则标准方程标准方程图象图象范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标

10、焦点坐标半轴长半轴长焦距焦距a,b,ca,b,c关系关系离心率离心率22221(0)xyabab22221(0)yxabab|x| a,|y| b|x| b,|y| a关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a, ,短半轴长为短半轴长为b.b.焦距为焦距为2 2c;c;a2=b2+c2cea(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(c,0)、(-c,0)(0 , c)、(0, -c)(0e1)测验测验1.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为4x4x2 2+y+y2 2=16=16它的