人教A版高中数学选修4-4习题-第一讲-坐标系-单元检测卷

1、单元检测卷一测试时间：120分钟 评价分值：150分、选择题本大题共10小题，每题5分，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的1.在极坐标系中，3，以下所给出的不能表示点M的坐标的是A.5,B. 5,C.5,2n"31.2.在极坐标系中,e与点p,n ®的位置关系是A .关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合nD. 关于直线0= 2卩 R对称2. An3.在极坐标系中，点 P1 2,匸、nP2 3,，那么 IP1P2I的值为C. ,13 + 6 2D. ,13 6 23. A一 14. 将y = sin x的图像横坐标保持不变，纵坐标缩短

2、为原来的2,再将纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为)A.1y= 2si n gx1B. y= qsin 2xC.y= 2si n 2x1 . 1D. y= 2Sinqx4匚様坐标不变1.m 析二 y = sin 工= 9 sin 工纵坐标维竝为躱来的斗匕纵坐标不变11硕坐祎伸坟为原来的2倍 2、2'答案：D5. 极坐标方程p= 1表示A .直线 B .射线C.圆 D .椭圆5. Cn6. 在极坐标系中，过点2, §且与极轴垂直的直线方程为A. p = 4cos 6 B. p cos 6 1 = 0C. p sin 6= 3 D. p = 3sin

3、6n6. 解析：设M(p, 6)为直线上除2, 3以外的任意一点，那么有nn9 = 2 cos 3，贝S pcos 6 = 1,经检验2, 3符合方程.答案：B7. 曲线的极坐标方程为p= 4sin 6，化为直角坐标方程是(A. x2 + (y+ 2)2 = 4B. x2 + (y- 2)2= 4C. (x- 2)2 + y2 = 4D. (x + 2)2 + y2 = 47. B8. 在极坐标系中，点A 2,-n , B 2, n , O(0,那么厶ABO为()A .正三角形B .直角三角形C.锐角等腰三角形D .直角等腰三角形8. D9. 两圆 尸2cos 6 , p = 2sin 6的公

4、共局部面积是()n 1A. / B. n 242nnpcos0),c三1 dq9.Cn n10.点 P1的球坐标是 P1 2 3, , P2的柱坐标是P2 3,才,1，那么 IP1P2I等于()、2A. 2 B. 3 C. 2 2 D<210.A11.可以将椭圆£+ y8 = 1变为圆x2 + y2= 4的伸缩变换是5x，= 2x A.2yz=y边x'= x C. 5y'= 2x11.解析:2x，= 5xy = 2yV5x，= V2xD. 2y =y方法1：将椭圆方程話+y8=1化为¥+专=4,八驚B.2+ y 2=4十24,x '齐得x菩y-

5、 4, 即 x2 + X伸缩变y，=；，>/5x 2x,换为 ，/x 换为，y=y.入 x ？>0， 卩 y p>0，方法2:将x2+ y2 = 4改写为代入x ' 2+ y ' 2= 4得x 2 + y 2= 4,设伸缩变入2x2 y241,与椭圆xo+y>=1,比拟系数得210 8止 14 = 8入2x2涙+y2=4,即4xX= 5,"12,=1=10,解得二伸缩变换为答案：Dx5x = 2x,2y，= y.n12. 圆p= r与圆p= 2rsin( 9+&)(r>0)的公共弦所在直线的方程为()A. 2 p (sin6 +

6、cos 6 ) = rB. 2 p (sin6 + cos 6 ) = rC. 2 p (sin6 + cos 6 ) = rD. 2 p (sin6 + cos 6 ) = r12.解析：圆尸r的直角坐标方程为x2+ y2 = r2，圆p= 2rsin( 6n+ 4)= 2r(sinnnt-.6 cos 4 + cos 6 sin 4) = 2r(sin 6+ cos 6 )，两边同乘以 p得p2=2r(psinB+pcos 6 ),x2+y2+2rx +2ry=0,由一得p2(x + y)= r，即为两圆公共弦所在直线的直角坐标方程.将直线 2(x + y) = r化为极坐标方程为 2 p

7、 (cos 6 + sin 6 )=r.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.将正确答案 填在题中的横线上)13. (2022广州市高三毕业班调研测试)曲线 尸2cos 6 2 3sin6 (0 < 6<2n )与极轴的交点的极坐标是 .13. (0, 0)(2, 0)14. 直线的极坐标方程为pin 6 +才=¥，那么极点到直线的距离是.14. 2215. 2022广东信宜统测在极坐标系中，圆p= 2cos6的圆心到直线pos 6 = 2的距离是.15. 116. 与曲线pos 6 + 1= 0关于6=7对称的曲线的极坐标方程是16. p sin 6

8、+ 1 = 0三、解答题本大题共6小题，共80分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤17.在伸缩变换x/= 2x, y/= y与伸缩变换x/= 2x, y/= 2y的作用下，X2+ y2= 1分别变成什么图形?17.解析:x /由y/=2x,=yX = 2 y= y7，代入 x2+ y2= 1 得 x2 2+ y/x，22= 1,即 4 + y/ 2 = 1所以在伸缩变换xzy/x2+ y2 = 1 变成椭圆；4 + y2= 1由 X； = 2x，4y/= 2y=2x,=yX 7x = 2 ，y/y= 2的作用下，单位圆代入x2 + y2 =x7= 2x, y7= 2yx7 2y7

9、 21得+分=1,即xz 2+ y7 2= 4,所以在伸缩变换的作用下，单位圆x2+ y2= 1变成圆x2+ y2= 4.18. 本小题总分值12分定点P 4, n1将极点移至0'2 ：3,石 处，极轴方向不变，求点P的新坐标;n2极点不变，将极轴逆时针转动"6角，求点P的新坐标.18.解析：1设点P新坐标为p 6，如以下列图所示，由题意可知：|00 | = 2 3, |OP| = 4,/n /,n/ POx= 3，/ O Ox= g , n/ poo= 6在厶POO'中，p 2=42 + (2 3)2-2X4X2 3X cos g = 16+ 12-24= 4,p

10、= 2.又 sin / OPO' sin / POO'2 3nsin sin / 0P0-6 x 2占=专，P=n 2nx =2n =3 .点P的新坐标为2,2n3 .如以下列图所示,设点P新坐标为(p, 6),rn n n那么 p= 4, 0 = 3 + 6点P的新坐标为4,119. 本小题总分值14分 ABC底边BC = 10, / A = 壬 B,以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程.19.分析：此题利用正余弦定理的边角关系找到顶点 A的p B 之间的关系，从而求得其轨迹方程.解析：如以下列图，令ap e,=10, |AB匸P 于是由正弦定理，得sin n-

11、丁e，sin 2化简，得点A轨迹的极坐标方程为p =10+ 20cos e .20. 本小题总分值14分定点Aa, 0，动点P对极点O和n点A的张角/ OPA=亍在OP的延长线上取点 Q,使|PQ| = |PA|.当P在极轴上方运动时，求点 Q的轨迹的极坐标方程.20.解析：设q、p的坐标分别是p, e、p, e 1，贝y e= e.在 POA中，由正弦定理得，a2nasi n 6P 1 = sin - 6 , |PA| =.nnsin 3sin 3又 |OQ|=|OP |+ |PA|,np = 2asin 6 + § 21. (本小题总分值14分)在平面直角坐标系中，点 A(3,

12、0), P是圆x2 + y2= 1上的一个动点，且/ AOP的平分线交PA于点Q,求 点Q的轨迹的极坐标方程.21.分析：需要找出点Q的极角和极径的关系，在这里我们可以 通过三角形的面积建立关系.解析：以圆心O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q( pe), P(1, 26).因为 Sa OAQ +OQP = Sa OAP ,1 1 1 所以2 3 p sin 6+ sin 6 =齐 3x 1 xsin 2 6 .3整理得p= qCOS 6 .22. (本小题总分值14分)半圆直径|AB| = 2r(r >0)，半圆外一 条直线I与AB所在直线垂直相交与点T,并且|AT|= 2a

13、2av专.假设半圆上相异两点M、N到I的距离|MP|,|NQ |满足|MP| ： |MA|=|NQ| ： |NA| =1,通过建立极坐标系，求证|MA | + |NA| = |AB|.22.证明：证法一 以A为极点，射线AB为极轴建立极坐标系，那么半圆的极坐标方程为尸2rcos 6 ,设 M( p , 6 i), N(p, 62),贝S p= 2rcos 6 1, p 2= 2rcos 6 2,又|MP|= 2a+ pcos 61= 2a + 2rcoS 6 1,|NQ| = 2a+ pcos 6 2= 2a+ 2rcosF 6 2,|MP|= 2a+ 2rcos 6 1 = 2rcos 6 1,|NQ| = 2a+ 2rcos? 6 2 = 2rcos 6 2 ,cos 6 1 , cos 6 2 是关于 cos 6 的方程 rcosF 6 rcos 6 + a = 0 的两个根，由韦达定理知：cos 6 1 + cos 6 2 = 1, |MA| + |NA| = 2rcos 6 1 + 2rcos 6 2 = 2r = |AB|.证法二 以A为极点，射线AB为极轴建立直角坐标系，那么半圆的极坐标方程为p= 2rcos 6 ,设 M( p ,6 1) , N( p,6