九年级数学第23章旋转23.2中心对称讲义

1、.合作探究探究点1高频考点 中心对称的概念情景激疑观察课本图23.2-1,你有什么发现?知识讲解1像这样,把一个图形绕着某一点旋转180°，假如它可以和另一个图形重合，那么我们就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点就叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于对称中心的对称点。2中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分；中心对称的两个图形是全等图形。 注意1中心对称是旋转的一种特殊情况，是旋转角为180°的旋转,所以它具备旋转的所有性质。2读法和内容与轴对称相似，读作关于某点对称，或图形某某与图形某某中心对称，理解和应用时结合轴对称知识理解

2、。3中心对称的性质与旋转的性质相类似，是旋转性质的变化，主要变化在于对应点在一条直线上，旋转角是固定的180°。4中心对称的性质是中心对称应用的核心，是作图的根底。典例剖析例1 :如图,RtABC与RtABC关于A点中心对称,C=30°。1指出图中的对称点、对称中心；2指出图中相等的线段；3求C的度数。解析  根据中心对称的概念，确定对称点，而后确定对应线段，再根据性质知道对应线段相等，对应角相等。答案1B与B,C与C,A与A是对称点，A是对称中心；2相等的线段有：AB=AB，BC=BC，AC=AC；3C=C=30°.方法指导根据中心对称的定义

3、分析图形，找出对称点，确定对应关系，再根据性质判断各对应量之间的关系。类题打破1  如以下图:四边形ABCD和四边形ABCD关于A点中心对称。1指出图中的对应关系；2假设AB=3cm,能求出哪条线段的长? 答案1B与B,C与C,D与D,A 与A是对称点，A 是对称中心，其中线段BC与BC,CD与CD,AD与AD，AB与AB是对应线段，DAB与DAB，D与D，B与B，DCB与DCB是对应角。2AB=AB=3cm。点拨  关于某一点中心对称的图形，可以重合的点叫对称点；可以重合的角叫对应角；可以重合的线段叫对应线段。探究点2&#

4、160; 中心对称的作图情景激疑大家根据旋转的性质能作出一个图形，根据中心对称的性质你能作出一个图形的中心对称图形吗？ 知识讲解一个图形作它的中心对称图形，关键在于找到它们的对称点，由性质可知，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分，所以只要连接点与对称中心并延长，再在延长线上截取相等的线段就可得到对称点，作出所有对称点，顺次连接即可。典例剖析例2  如图1，四边形ABCD,以D为对称中心，作出它的中心对称图形,并简要写出作法。 解析 画中心对称图形，要确保对称中心是对应点所连线段的中点。答案 作法：1延长AD，截取DA=AD。2同样可得:BD=BD&#

5、183;CD=CD。连接AB、BC,CD、DA,那么四边形ABCD为所求的四边形，如图2。类题打破2 如以下图,ABC与ABC 是关于某点成中心对称的两个三角形，你能找出它的对称中心吗?答案  连接AA,CC，交点就是图形的对称中心图略。点拨  由中心对称的两个图形的性质对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分可知，对称中心一定在对称点的连线上，根据两点确定一条直线，所以连接任意两对对称点，交点即是对称中心。探究点3高频考点 中心对称图形及其应用情景激疑观察教材图23.2-6和23.2-7，把这两个图形绕某点旋转180°你能有

6、什么发现?知识讲解把一个图形绕着某一个点旋转180°，假如旋转后的图形可以与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。注意 中心对称图形和中心对称不同，中心对标是两个圆形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质一样，应用方法一样。典例剖析例1 如以下图所示，其中是中心对称图形的是 解析  判断是否是中心对称图形的关键在于能否找到一点作为旋转中心，再就是旋转180°后看能否重合，A图、C图、D图旋转180°后不能与自身重合，所以不是中心对称图形。答案B规律总结判新是否是中心对

7、称图形的题较多，并且多和轴对称图形相联络，这就要求我们分清轴对称图形和中心对称图形，它们最大的区别在于中心对称图形是绕一点旋转180°后他能与原图形重合，轴对称图形是沿一条直线翻折180°后能与原图形重合。类题打破3  在英文字母H、I、M、N中，是中心对称图形的英文字母的个数有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个答案C类题打破4 如以下图，点 0是平行四边形的对称中心，点A，C关于点0对称，有A0=CO,过0点的直线分别交AD，BC于E，F，那么OE=OF吗?答案 平行四边形是中心对称图形.0是对称中心。EF经过点0,分别交AD,BC于E

8、,F.点E,F是关于点O的对称点，0E=OF。对称中心平分连接两个对称点的线段点拨  由中心对称图形的概念和性质可知，对称中心平分连接两个对称点的线段，只要说明E,F关于点O中心对称即可，所以用中心对称图形的性质进展证明有时更简单。  探究点4  中心对称图形和轴对称图形的关系知识讲解1联络:中心对称图形和轴对称图形都是指的一个图形的关系，它们翻折后或旋转后都能与自身重合。2区别:中心对称图形是绕对称中心旋转180°后与原图形重合.轴对称图形是沿对称轴翻转180°后与原图形重合，区分的关键在于绕一点旋转还是沿一条直

9、线翻折180°后重合。3很多图形既是中心对称图形又是轴对称图形，应注意区分。典例剖析例4 以下图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A.角 B.等边三角形 C.线段   D.平行四边形解析  关键在于两个条件同时具备，既能找到一点绕这点旋转180°后能重合，又能找到一条直线沿着这条直线翻折180°能重合。答案 C类题打破5 以下四边形中，是中心对称图形而不是轴对称图形的是   A.平行四边形 B.矩形  C.菱形  D.正方形答案A点拨  根据中心对称和轴对称的

10、概念求解。探究点5高频考点 关于原点对称的点的坐标特点知识讲解1两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点Px,y关于原点O的对称点是P-x，-y。2关于原点对称的点或图形属于中心对称，它是中心对称在平面直角坐标系中的应用，它具有中心对称的所有性质，但它主要是用坐标变化确定图形。注意 运用时要纯熟掌握，可以不用画图和结合坐标系，只根据符号变化直接写出对应点的坐标。典例剖析例5 指出以下各点关于坐标原点中心对称的点的坐标。A-5,2,B0,-3,C-3,-5,D-，-，E6,0,F-a-2，b，G-x,-y-1。解析 根据关于原点对称的点的坐标的特点知道，纵坐标、横坐标互为相反数，所以只要改

11、变坐标符号即可。A5,-2,B0,3,C3,5,D，E-6,0,Fa+2,-b,Gx,y+1。方法指导要充分理解关于原点对称的点的坐标的特点，把握住符号变化，通过改变符号解决此类问题。类题打破6 以下各点中哪些关于坐标原点中心对称?A-5,0,B-x，3,C,-,D5,0，Ex，3，F，Gx，-3。答案 A与D关于坐标原点中心对称；B与G关于坐标原点中心对称。点拨 假如两个点的横纵坐标均互为相反数，那么这两个点关于原点对称。探究点6  关于原点对称的图形的作法知识讲解1关于原点对称的图形的作法是:先根据规律找出关键点的对称点的坐标，根据坐标描出点，顺次连接即可得到所求图形。

12、2坐标系内的中心对称作图有两种方法，一是用中心对称的性质，延长再截取。二是先找对应点的坐标，再描点画图。注意 在平面直角坐标系中的对称较多，有关于x轴、y轴对称的轴对称，而这里指的是中心对称，作图方法都是先确定坐标，再描点作图，但它们找对称点的坐标的方法不同，应注意区分，以免在坐标点较多时弄错。典例剖析例6 如以下图，利用关于原点对称的点的坐标的特点，作出与线段AB关于原点对称的图形。解析 要作出线段AB关于原点的对称线段，只要找出点A，点B关于原点的对称点A，B的坐标，描出即可。答案 点Px,y关于原点的对称点为 P-x，-y。因此，线段AB的两个端点A0, 1,B3,0

13、关于原点的对称点分别为A0,1,B-3,0。连接AB,就可得到与线段AB关于原点对称的线段AB图略。方法提示 坐标系中的中心对称作图，要按照关于原点对称的点的坐标的特点，找出图形关键处的点的坐标，作出图形。 另外也可以按作中心对称图形的方法作图，但不如这种方法简单和准确。类题打破7  如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平而直角坐标系后,ABC的顶点均在格点上，点C的坐标为4,-1。1把ABC向上平移5个单位后得到对应的A1B1C1，画出A1B1C1,并写出C1的坐标；2以原点O为对称中心，再画出与A1B1C1关于原点0对称的A2B2C2，并写出点C

14、2的坐标。答案 如以下图。1C14,4.2C2-4,-4。点拨  A,B,C三点的坐标纵坐标加5,横坐标不变即可得到对应点，再顺次连接即可。分别找出A1，B1，C1关于原点对称点的坐标，再顺次连接即可。重点难点重难点1  中心对称的应用中心对称是旋转角为180°的特殊的旋转，它具备旋转所有的性质，因为它的对应点就在一条直线上，所以具有自己独特的性质，即对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分，这也是应用较多的地方。另外对称中心可以是平面上的任一点，两个图形不一定在对称中心的两旁。  例1  求证:如右图

15、，任何具有对称中心的四边形是平行四边形。解析  中心对称图形的对称中心是对应点连线的交点，也是对应点间的线段的中点，因此，直接可得到对角线互相平分。答案  如上图,0是四边形ABCD的对称中心，根据中心对称的性质线段AC,BD必过点0,且A0=CO,BO=DO, 即四边形ABCD的对角线互相平分,因此，四边形ABCD是平行四边形。规律总结中心对称是等大小等形状的位置变换，所以中心对称中包含着大量的等量关系，可以用来说明或证明线段、角相等.在应用时关键在于找准对应关系。类题打破1  如以下图,矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O,过

16、点O的直线分别交AD和BC于点E,F,AB=2,BC=3,那么图中阴影部分的面积为思路图示 0为旋转中心AOE与COF关于O点中心对称得出结果。答案  3方法指导这种题目应注意观察图形特点，要擅长发现图形内在联络及对应关系，通过旋转、平移或轴对称等图形变换，找出各部分关系，解决问题。重难点2 中心对称作图同其他图形的变换一样，运用性质寻找对应点是画图的关键,由中心对称的性质知道，通过连接点和对称中心并延长、再截取等长线段的方法来寻找对应点，顺次连接作出图形。例2  如图1,在矩形ABCD中，作出关于B点的中心对称图形，并写出作法。解析 

17、; 找到点A,C,D关于点B的对称点顺次连接即可。答案 如图2，做法：1延长CD至C，使BC=BC；2连接并延长DB至D，使BD=DB，延长AB至A，使BA=BA；3连接AD ,DC。那么四边形ABCD即为所求的图形。类题打破2 在如下图的正方形网格中，每个小正方形的边长为1,格点三角形顶点是网格线的交点的三角形ABC的顶点A,C的坐标分别为-4,2,-1,0。 1请在如下图的网格平面内作出平而直角坐标系；2请作出ABC关于原点对称的ABC；3写出点B的坐标。答案 12如图。 3B2,2。点拨1根据点A及点C的坐标，易得y轴在点C的右边一个单位，x轴在点C所在的程度线，建立

18、直角坐标系即可。2根据关于原点对称的点的特征作出图形即可。3结合2的图形,即可得出B的坐标。重难点3  中心对称图形的应用 中心对称图形是一个图形自身所具备的特点，是指一个图形绕一点旋转180°后能与自身重合。中心对称是两个图形之间的关系，这是区别中心对称和中心对称图形的核心。对中心对称图形和中心对称的理解，与对轴对称和轴对称图形的理解一样，既有区别又有联络,这点应注意体会。 中心对称图形中最典型的是平行四边形，它包括菱形、矩形、正方形,这些应用较多，另外线段、圆也是常见的中心对称图形。 中心对称图形与轴对称图形是两种不同的图形变换，一样点在于它们在变换后图形仍全

19、等,不同点在于轴对称图形是沿-条直线翻转180°而中心对称图形是绕一点旋转180°。在应用过程中,轴对称图形和中心对称图形不同，区分的关键在于轴对称图形是沿一条直线翻折看能否重合，中心对称图形是绕某一点旋转180°看能否重合。例3 以下图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 解析  轴对称图形是沿一条直线翻转180°后与自身重合，中心对称图形是绕一点旋转180°后与自身重合，所以符合题意的图形既要有对称轴又要有对称中心，翻折或旋转后还要重合。答案  B点拨  要准确把握轴对称图形和

20、中心对称图形的概念，把握它们的区别与联络。另外在标准图形中，一般奇数个角、边的图形不会是中心对称图形，如正三角形、正五边形等。类题买破3 以下图形中， 既是中心对称图形又是轴对称图形的是 A.等边三角形   B.平行四边形   C.梯形   D.矩形答案 D点拨 根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对标图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形沿对称中心旋转180度后与原图重合，从而有A是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；C不一定是轴对称图形，不是中心对称图形，故

21、本选项错误；D既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选D。重难点4  关于原点对称的点的坐标的应用关于原点对称的点的坐标特点:两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，是这部分内容的核心，它与平面直角坐标系相结合，是坐标系中的中心对称，所以它的作图应用可以用中心对称不常用，但它有自己的特点，即先确定点的坐标再作图。 关于原点对称的点的坐标的应用和坐标系中的平移、轴对称联络亲密，研究方法一样，所以经常结合在一起运用，这在近几年的中考题中经常出现。例4  点O是坐标原点，B，C两点的坐标分别是3，-1,2,1。 1分别写出B,C两点关于原点对称的对应点B，C的

22、坐标；(2) 作出OBC关于0点的对称图形； 3假如OBC内部一点M 的坐标是x.y.写出 M点关于O点中心对称的点M的坐标。解析一 1关于原点对称的两点，它们的横坐标和纵坐标互为相反数。 2找出对应点B,C后，顺次连接得到OBC即为所求。(3) M与M关于原点对称，所以它们的坐标也互为相反数。答案  1B-3,1,C-2,-1。2分别在坐标系中描出点B-3,1,C-2,-1.顺次连接OB,BC,0C,得到的OBC即为所求图略。3M-x,-y。解析二  第2问中的作图也可以采用中心对称作图的方法。答案 连接BO并延长,在延长线上截取O

23、B=OB,同理截取0C=0C,连接BC，得到的OBC即为所求图略。方法指导要熟记关于原点对称的点的坐标的特点，直接写出坐标，这与关于x轴、y轴对称一样,假设不是作图题，可以不借助坚标系就能写出，关键在于把握规律，纯熟掌握。类题打破4 如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点,点A在x轴上,点B的坐标为2,1.假如将矩形OABC绕点O旋转180°,旋转后的图形为矩形OA1B1C1,那么点B1的坐标为 A. 2,1   B.-2,1 C.-2,-1   D.2，-1答案  C点拨 特图形绕某一点旋转180°，所得图形与原图都关于这一点中心对称。易错指导易错点1 混淆轴对称图形与中心对称图形例1 以下图形中、 不是中心对称图形的是 A.等边可角形   B.两条相交直线 C.线段   D.长方形错解 B错因分析 轴对称图形和中心对