六级数学专题复习：分数的裂项

1、1就是它们的差，可以运用裂项公式： an n a解答：丄，先裂项，再求和。n n a原式122 39 101 丄9 1010110注重：必须弄懂 第一种裂项公 式：a 11n n a n n a分数的巧算：裂项知识点分析：特殊的分数加法试题，难以运用课本中固有的运算性质及定律进行巧算。它 们有其特殊的规律及性质，对于这些特殊试题，我们通常要用到以下两种方法： 引用公式法：有特殊的分数加法试题，有其固有的求和公式，计算时可以 直接运用这些公式使计算简便。 裂项法：先将算式中的一些分数按规律作适当拆分，使得拆分后的一些分 数可以互相抵消，从而到达巧算的目的。例题精讲例1 ： 丄丄丄 112 23

2、T4 . 9 io分析：观察发现每一个分数的分母是两个相邻的自然数相乘，分子举一反三1丄丄丄5 66 77 8120 219 1349 5335552 77 1212 17542 47例 2:111124 46 就.98 100分析：这里的每一个分数的分母虽然不是两个相邻的数，但这些自然数都相差 2如果想方法将分子都变成 2,就可以利用例1中的公式计算了。2丄丄 13 66 99 12133 363丄 111 77 1313 19137 43解答：方法一：将分子都扩大两倍，再将它们的和缩小两倍，结果不变。原式2222 1方法一：先将分数变形，再244 66 898 1002111 11 11

3、1 1利用第一种裂项公式：244 66 8.981002a11进行计算。491n n an n a100249200方法二：直接运用另一个裂项公式n11 1 1 d n n dnd原式111 1111 1 11112242462 6 8298100111 111 1 112244668. .981001492100方法二：引用第二种裂项公式:4911 1 1n ndd n n d注重公式的由来！举一反三1 1 1113 66 99 12.3336例3:丄11丄丄丄第二届新起点杯数学竞赛试题2 6 12 20 30 421,将分母加以变形,分析：观察发现题目中的分母都是可以看作是两个连续自然数的

4、积，且分子都是解答：1原式11 22 3111 -2211 -7再利用裂项公式即可求出和11113 4455 667111111111334455667先将分母变为两个数相乘的形 式，注意要使相乘两数之差相 等，再利用第一种裂项公式a 11求和。n n a n n a举一反三21111311111111一2-34 -567824488026122030425611 1 1 172 90 110 132例 4:2221 2 32 3 4. 98 99 100且分子2是每个数与第三个数的相差数,分析：观察发现每一个分数的分母都是连续三个自然数的和,1先裂项，再求和n 1 n 2运用裂项公式21n

5、n 1 n 2 n n 1解答：原式1 1122 31 198 9999 1001 11299 10045459900第三种裂项公式：211n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2通过代数法先理解公式的推导，再结合题目解题举一反三1 2 23 4 54 5 629 10 112_5_51484520455537459086431116 7 87 8 9. 48 49 50分析：观察发现每一个分数的分母都是从1开始的连续假设干个自然数的和，因此分母可以运用等差数列求和公式 1 n n求和，那么12123 4 . n2。所以分母就变成了两个数相乘的形式,1 n n最后再采用裂项法计算。解答:

6、2222原式 -233 44 5100 10111 1111 11223 344510010199220299101运用等差数 列的求和公式先 将每一个分数变 形，再利用第一种 裂项公式进行计 算。举一反三11 丄 111212 31 2 3 4112 3 4. 202221 12232 3 4123 4. 5031 2 12 13 1399丄99模拟练习1、 111110 1111 1212 13.59 60初级2、11 1388 1313 18158 633、1111203042.1324、丄丄丄1 33 55 755 576、1511192997019899,26122030970299

7、007、1 1丄丄丄481632648、 11111648244880120、中级5、1 111111642567290110三、咼级9、7911131517193 1220304256729010、 1111 2 32 3 4.20 21 2211、 1111731 31 3 513 5 71 3 5 7 9945历年小考真题1、 2022年韶关北中，9题：从式子111111中去掉，余下的各数和等于1。24681012A、1 和 1B、1和丄C、丄和丄D、1和12 122 108 108 122、 2022 年韶关北中，21 题：20222022202220222 44 66 8 .4016 40183、 2022