探究------数学课堂中说题教学

1、湖州市数学学会2010年优秀论文评选 探究-数学课堂中“说题”教学 德清高级中学 蔡洪明 313200摘要：思维素质和心理素质是素质教育的重要内涵, 教会学生“数学地思维”始终是数学教学的主题在数学教学中, 我们不应该把学生看成题目的奴隶, 而应把题目看成载体为了更好地揭示数学概念、法则、结论的发生、发展过程和本质,课堂中适当地进行说题活动, 能够使学生在教学行为实施过程中, 主动参与思考, 在积极的探索中让学生不仅仅学会“写”数学、“做”数学, 而且善于“说”数学, 让他们自觉地尝试失败和体验成功, 充分挖掘学生的潜能, 增加师生的交流与对话, 扩大解题教学的交互性,进一步给学生展示的空间和

2、时间说题教学倡导积极主动、勇于探索的学习方式, 它不但改进了学生的学习方式, 也是教师教学方式的一种改革, 用“说题”的方式组织教学,课堂效率高,学生学习效果好,课堂也会更精彩关键词： 数学课堂 说题活动 应用举例新课程理念下的数学教学任务是关注每一个学生的情感、态度、价值观和一般能力的发展，为每一个学生的终身可持续发展奠定良好的基础。因此数学教育不再是单纯指学生“懂”了、“会”了，而是注重是否由学生自己“悟”出了道理、规律和思考方法。在这种体验下，当学生遗忘了具体的数学公式时，他们仍掌握着一种推理；当学生走出数学进入生活时，他们仍铭记着一种数学思想、数学精神。所以我们应当在数学课堂中创设一个

3、有利于张扬学生个性的“场所”，让学生的个性在宽松、自然、愉悦的氛围中得到释放，展现生命的活力。1.说题活动的内容、原则和作用11什么是“说题”数学课堂中的说题活动,即指在数学课堂中,教师由一个数学问题出发,分析问题的结构(已知条件和欲求欲证的结论) 、回顾问题所涉及的知识点、寻求问题的求解方法、优化问题的解答方法、推广结论、总结经验等活动的具体思维表述。具体地说,说题应包括如下内容:1. 说题目的结构,主要指题目的已知条件和欲求欲证的结论。特别要注意挖掘隐含条件。2. 说题目所涉及的知识点,即已知和未知之间的关系。3. 说解题方法。4. 说解答步骤。5. 说解题思想,并升华为观念。6. 说解答

4、的格式和表述。7. 说检查。8. 说其他解法,即解法的优化、变化和结论的一般推广。9. 说变式,即适当变化题设条件后,又该如何解题。10. 说解题总结,即说题目的来源、背景和前后知识的联系、价值及解题的回顾,特别是解题的特别注意点和严密性。1.2 说题活动应遵循的原则（1）计划性原则说题活动要有目的、有计划、有组织、有针对性地进行，教师要认真备好课，对所说的题目自己要做到烂熟于心，才能有效地调控课堂。（2）层次性原则和循序渐进原则 训练的题目要由易到难，由浅到深，层层递进。“说题教学”切忌急于求成，急则弄巧成拙。还要做到既不忽视基础，也不回避难题。（3）全面参与性原则教师组织教学不能只为追求气

5、氛，只找好学生说题，应要根据不同层次的问题，选择不同程度的学生全面参与进来，使每个学生都能享受到成功的喜悦，共同提高。1.3 说题活动的作用传统的教学是教师负责教，学生负责学，教学就是教师对学生单向的“培养”“创新是一个民族进步的灵魂，是一个国家兴旺发达的不竭动力。”说题教学能给学生营造敢于探索和敢于创新精神的氛围。“一个人的发展取决于和他直接或间接进行交往的其他一切人的发展。” 知识经济时代，人们对交往渴望的程度越来越大。说题教学，不仅注重学生敢于探索和创新的培养，同时也注重师生之间的情感交流。说题的整个过程 ，大大地增加了师生的交流机会，不断反映师生交往的不同侧面、不同层次，进一步地促进教

6、师的交往能力的提高。 （3）有利于提高科研能力 社会的发展，时代的进步，过去的“工匠型”的教师已经不符合时代的要求，时代的发展要求现代教师不但要适应教育的今天，还要适应未来的教育，不仅要具有较强的获取知识的能力，具有较强的教学能力、教育能力 ，同时还要具有科研能力。教师要善于对自己的教育教学和周围发生的教育现象进行反思，从中发现问题并进行研究，找出规律性的东西，使自己成为“科研型、专家型”的教师。说题教学是师生互动，双边发展的教学活动，它给予学生广阔的学习空间，给教师教育教学研究提供了广阔的时空，有利于提高教师的教育科研能力。2.说题活动的实施2.1说题活动的举例例：已知直线通过一定点，并且与

7、非零向量共线，求直线的方程。说题过程：（1） 说条件：直线过定点；直线与非零向量共线。说结论：求直线的方程。（2） 说题目所涉及的知识点：点在直线上的条件；直线与向量共线的条件。（3） 说解题方法：求平面上的直线方程的方法。（4） 说解题步骤：设为直线上任一点；把文字叙述的语言转化为数学语言；释译为向量式参数方程；继而转化为其他形式的方程。（5） 说解题思想：设为直线上任一点，由与的关系得出直线方程，所谓以一概全、窥一班而见全貌的思想，点与线、个别与集体，共性规律的升华。（6） 说解答的表述：解：设为直线上任一点，并设，则点在直线上的充要条件为向量与共线，即，这里是随着点而变化的实数，又因为，

8、所以，即，这就是直线的向量参数方程，其中为参数。由此易得到直线参数方程为：消去参数得。此为直线的对称方程，一般方程即为（7） 说检查：特别检查审题的正确性和解答表述的严密性。（8） 说其他解法：设直线的一般方程为，因点在直线上，故有由因为直线与非零向量共线，则的方向向量与共线，有两向量共线的充要条件知，由可求得，从而得直线的一般方程为。（9） 说变式：如设直线过定点，且与直线平行，结果怎么样？如设直线过定点，且与直线垂直，结果又会怎样？（10） 说解题总结：题目来源于课本，属于“曲线与方程”的知识点，由此可知，已知直线上一定点坐标，及直线的一个方向向量，可得直线的对称方程：。说题的特别注意点是

9、平面上直线方程的不同形式及每种方程所包含的条件信息。说题活动适宜于例题课、习题课、复习课的教学中和学生在课外作业时进行,面对个别辅导尤有功效。课堂中不能总是说题,否则完不成教学任务,而是要有计划、分阶段、逐步深入地进行。应选一些基础的、有代表性的、典型的题目进行说题,并让学生模仿。对于容易的、熟悉的、类型相同的题目说快些;对难的、陌生的、类型不同的题目说慢些。坚持训练,学生的解题水平就会迅速提高,数学思维能力也会加强。说题不是搞题海战术,而是研究它的前因后果和各种内在联系。说题过程探索了解题教育的研究方法,给出了解题教育研究的内容、步骤和模式,发现了解题思维的规律性,对于解题及其研究有规范和指

10、导作用。说题其实是“说思维”,它可引导学生分步思维,进而训练学生思维的严密性。其中的多解和变式等探索性问题还可以培养学生的创新思维,有利于数学的发现创造、开放性思维的培养和数学素质教育。说题步骤可测定学生思维受阻的程度,有利于量化学生的思维层次,使思维训练措施更有层次性、针对性和目的性,从而能提高学生的思维素质。说题是高层次的数学教学,它有利于学生数学知识的巩固和应用,有利于数学思想方法的内化和数学观念、数学智慧的形成。教学实践表明,说题活动有利于提高学生学习数学的兴趣,有利于提高学生的数学成绩和综合素质.2.2 说题活动的课堂展示数学课堂中数学例题和习题的教学是数学解题教学的重要组成部分.

11、例题是为引入新知识、做解题示范、加深理解和初步应用、提高能力而设计的题目, 它体现教材的深度和广度、体现对学生掌握知识的要求课本例题的最大特点是针对性强, 基础性强, 但大多数课本例题是一题一问、一题一解,给学生的思维空间较小尽管和老教材相比,新教材在部分例题解答后面安排了“思考”这个环节,对例题进行了一些挖掘,但大多数例题仍缺乏纵向和横向的引申，如何让学生在解题时,将题目说透、说出自己的解题思维、说出问题本质、说出新旧知识的有效连接就变成例习题“说题”教学中重点要做的文章了下面是本人对一道例题的教学和说题相结合的课堂实录。例题：已知抛物线的方程为y2 = 4x,直线l过定点P ( - 2,1

12、) ,斜率为k, k为何值时, 直线l与抛物线y2 = 4x 只有一个公共点;有两个公共点;没有公共点?师：解析几何的本质就是用代数的方法解决几何问题,因此, 分析本题时, 首先应该作出相应的图形1(培养学生良好的解题习惯, 为下面的教学做文章, 过了一分钟, 学生作图完毕, 教师在学生回答的基础上在黑板上作出图形。)师：在这个问题中,有三个几何要素,点P、直线l和抛物线y2 = 4x,其中,点P与抛物线y2 = 4x有何关系?生：点P在抛物线y2 = 4x开口之外。师：请同学们分析直线l与抛物线y2 = 4x只有一个公共点时的位置关系是如何的?生1：直线l与抛物线y2 = 4x相切。师：(利

13、用几何画板在课件中进行演示)一共有几条?生1：两条(迟疑片刻) ,应该是三条。师：为什么?生1：当直线l与x轴平行时师：这算是直线l与抛物线y2= 4x相切吗?生1：应该不算。师：看来直线与抛物线有一个交点, 不只是相切这一情形,还应考虑直线与抛物线的对称轴平行的情形，直线l与抛物线y2 = 4x没有公共点、两个公共点时的位置关系又是如何呢?(教师结合学生的回答在几何画板中作了演示(此处略) )师：刚才我们讨论直线l与抛物线y2 = 4x没有公共点、有一个公共点、两个公共点的几何特征, 如何用代数的方法解决呢?生2：可以将直线l的方程y - 1 = k ( x + 2)与抛物线y2 = 4x联

14、立成方程组,消去x,得ky2 - 4y + 4 (2k + 1) = 0 利用方程的判别式 = - 16 ( 2k2 + k - 1)即可求出直线l与抛物线y2 = 4x 没有公共点、有一个公共点、两个公共点时k的取值范围。师:能否具体些?生2 ：当< 0, 即k >或k < - 1 时, 直线l与抛物线y2 = 4x没有公共点;当= 0, 即k =或k = - 1 时, 直线l与抛物线y2 = 4x有一个公共点;当> 0,即- 1 < k <时, 直线l与抛物线y2 = 4x有两个公共点。生3 ：不对,直线l与抛物线y2 = 4x有一个公共点应该有三种情形

15、, 还有一种是k = 0, 而直线l与抛物线y2 = 4x有两个公共点时,应不包含k = 0这一情形。师：很好, 你能指出生2 忽视了对k = 0 情形的讨论的根源在哪吗?生3 ：方程不一定是一元二次方程, 当k = 0 时, 方程是一元一次方程, 方程只有一根, 此时恰是直线与抛物线对称轴平行的情形。师：漂亮! 这位同学找出了为什么直线l与抛物线y2 = 4x有一个公共点的代数源由,平时应用判别式判断根的个数时,一定要注意前提应该是一元二次方程。(此时学生思路已打开, 很快全班同学完成了这个问题。)师：这题告诉我们经过点P 有三条直线与抛物线y2 = 4x有一个公共点, 是不是经过平面上任意

16、一点都有三条直线与抛物线y2 = 4x有一个公共点呢?生4 ：不一定当点P在抛物线开口之外时,有三条,两条切线和一条斜率为0 的直线; 当点P 在抛物线上时,有两条,一条切线和一条斜率为0的直线;当点P在抛物线开口之内时,只有一条斜率为0的直线。(教师引导学生总结直线与抛物线有一个交点的一般结论(略) ,并在课件上展示如下练习)若直线y = kx - k + 2与抛物线y2 = 2px ( p > 0)恒有公共点,求p的最小值。(学生有了刚才的分析经验, 饶有兴趣地对此题进行了讨论,约过了2分钟)生5 ：我还是利用判别式进行讨论, 将直线方程和抛物线方程联立,消去x化简得k2 x2 -

17、2 ( k2 - 2k + p) x + ( k2 - 4k + 4) = 0, ( 3 )若使直线y = kx - k + 2与抛物线y2 = 2px ( p > 0)恒有公共点,则方程( 3 )的判别式1 = 4 ( k2 - 2k + p) 2 -4k2 ( k2 - 4k + 4) = 4 ( 2pk2 - 4pk + p2 ) 0恒成立,故方程2pk2 - 4pk + p2 = 0的判别式2 = 16p2 - 8p30解得p2,即p的最小值为2。师：很好,生5 两次利用方程的思想求出了p的最小值,分析问题很有深度。生6 ：老师,这样做太麻烦了, 我有一种简便的方法,因为直线y

18、= kx - k + 2经过定点P ( 1, 2)点,要使经过该点的直线与已知抛物线恒有公共点的话, 也就是说这一点必定在抛物线的开口之内或抛物线上。师：是的,这样你会得到怎样的关系式?生6 ：因为p > 0,只需要当x = 1时, 抛物线上的点的纵坐标不小于2即可,即2,易得p的最小值为2。(此时,全班学生被这精彩的解法折服了, 全班静了一会儿,又动了起了,教师评价: )师：两位同学都抓住了问题的本质进行分析, 生5 是从代数的本质方程组恒有解的角度入手, 而生6 则是从几何的本质即点与抛物线的几何位置入手。两种思维正说明了解析几何是数与形的结合体, 这也正是数形结合思想的本质所在1同学们可以在课后对该例题题设和条件的再加工,看看还可以编出哪些题目。例题一般都具有典型性、示范性和关联性, 它们或是渗透着某些数学方法, 或是体现了某种数学思想,或提供某种重要结论教学时, 教师如果忽视学生学习掌