大学计算机组成原理--第3章、运算方法与运算器

1、1 第三章、运算方法与运算器Outlineo 定点补码加/减法运算o 定点乘法运算o 浮点运算o 运算器组织o 运算器部件举例2 3.1 定点补码加/减法运算o定点补码的加减法运算 X补+ Y补= X + Y补 X补 - Y补= X补+ -Y补=X-Y补 - Y补补= -Y补补（规则来源于补码的特点，也即模运算的特点。存在模运算与溢出的关（规则来源于补码的特点，也即模运算的特点。存在模运算与溢出的关系问题）系问题）3 0.111+1.100=10.011 （0.875-0.5=0.375） （多出一位（多出一位丢掉）丢掉） 0.111+0.010 =1.001 （0.875+0.25=1.12

2、5） （机器得到（机器得到- 0.875） 1.001+1.100 =10.101 （-0.875-0.5= -1.325） （机器得到（机器得到+0.625） 结论：结论： 运算的运算的实际结果实际结果没有超出字长可以表示的数值范围，取模的结果是正确。没有超出字长可以表示的数值范围，取模的结果是正确。 超出范围则溢出，出现错误。判断方法：超出范围则溢出，出现错误。判断方法：正正 + 正正 得得负负 或或 负负 + 负负 得得正正注意：注意： 模运算与溢出的关系模运算与溢出的关系(例如例如, 4位位2进制运算器进制运算器)：4补码加法的几种情况及其溢出检测 正正得负，正溢出负负得正，负溢出正常

3、结果符号位进位舍去，正常结果计算机如何识别运算结果是否溢出Cf = 0，C1 = 0Cf = 1，C1 = 1Cf = 0，C1 = 1Cf = 1，C1 = 0符号位进位Cf （C0） ，最高位进位C15CfC1V000110101011单符号数溢出检测溢出信号V对应的真值表V=CV=Cf fC C1 16双符号数溢出检测 非正常符号位，溢出符号位进位舍去，正常结果正常结果非正常符号位，溢出f1 f2Sf1 Sf2 V V S Sf1f1 S Sf2 f2 7加法运算的逻辑实现 多位加法运算依赖于各位逐位相加的运算，所以我们先讨论一位全加器8一位全加器输入: 加数Ai 、Bi 、低位进位输入

4、Ci+1输出: 和数Si ，进位输出CiAiBiCi+1SiCi00000001100101001101100101010111001111119一位加法器逻辑表达式注意：逻辑表达式可以变形，故电路形式不是唯一的。i+1iiiiiCBABAC)(+=i+1iiiCBAS=10典型门 电路 &AB1AB1AB1A&AB1AB1AB与非或非非与或异或异或非11一位全加器逻辑电路实现FASiAi BiCi+1Ci一位全加器一位全加器时间延迟i+1iiiiiCBABAC)(+=Ci+1 Ai BiSiCiFA12CCn+1CnC2C1C0 x0 y0 x1 y1 xn-1 yn-1 xn yns0 s

5、1 sn-1 snCn-1001n-1nV双符号补码加/减器电路实现MM由汇编语言中的加法指令add,以及sub等产生1、N个合起来； 2、M控制加减；3、 串行行波加法器13快速加法器o 能否提前产生各位的进位输入o 使得各位的加法运算能并行起来o 提高多位加法器运算速度14并行加法器进位链o Si=XiYiCi+1o Ci=Ci+1(XiYi)+XiYio Gi = XiYi o Pi=XiYiGi 进位产生函数/本地进位Pi进位传递i函数,进位传递条件o Ci = Gi+PiCi+115并行加法器进位链oCn = XnYn+(XnYn)Cn+1=Gn+PnCn+1oCn-1 = Xn-1

6、Yn-1+(Xn-1Yn-1)Cn=Gn-1+Pn-1CnoCn-2 = Xn-2Yn-2+(Xn-2Yn-2)Cn-1=Gn-2+Pn-2Cn-1oC2 = X2Y2+(X2Y2)C3=G2+P2C3ooC1 = X1Y1+(X1Y1)C2=G1+P1C2高位的运算依赖于低位运算进位的产生，计算不能并行16并行加法器进位链oCn = XnYn+(XnYn)Cn+1=Gn+PnCn+1oCn-1 = Gn-1+Pn-1Cn = Gn-1+Pn-1 (Gn+PnCn+1) = Gn-1+Pn-1 Gn+Pn-1PnCn+1oCn-2 =Gn-2+Pn-2Cn-1= Gn-2+Pn-2(Gn-1+

7、Pn-1 Gn+Pn-1PnCn+1) = Gn-2+Pn-2Gn-1+Pn-2Pn-1 Gn+Pn-2Pn-1PnCn+1oC2 = G2+P2G3+P2P3G4 +P2 P3 PnCn+1C1 = G1+P1G2+P1P2G3 +P1P2P3G4+P1 P2 PnCn+117X4 Y4G4 P4X3 Y3G3 P3X2 Y2G2 P2X1 Y1G1 P1C1C2C3C4C518先行进位电路CLA74182 先行进位的多功能算术/逻辑运算单元ALU74181G1 P1G2 P2G3 P3G4 P4与门异或门电路CLA74182G1 P1G2 P2G3 P3G4 P4C1 C2 C3 C4 X

8、1 Y1X2 Y2X3 Y3X4 Y4C5 S1 S2 S3 S4 Si=Xi Yi Ci+119C516位组内先行进位，组间串行进位 ALU74181 X1Y1X2Y2X3Y3X4Y4C5P1* G1*C1S1S2S3 S4 ALU74181 X1Y1X4Y4P1* G1*C1S1 S4 ALU74181 X5Y5X8Y8C9P2* G2*S5 S8 ALU74181 X9Y9X12Y12C13P3* G3*S9 S12 ALU74181 X13Y13X16Y16C17P4* G4*S13 S16C1 = G1+P1G2+P1P2G3 +P1P2P3G4+P1 P2 PnCn+1成组进位发生

9、输出G1* ,成组进位传送输出P1*2016位组内先行进位，组间先行进位 P* G* P1 G1 C2 P2 G2 C3 P3 G3 C4 P4 G4 CLA （74182）C5C1C5 ALU74181 X1Y1X4Y4P1* G1*S1 S4 ALU74181 X5Y5X8Y8C9P2* G2*S5 S8 ALU74181 X9Y9X12Y12P3* G3*S9 S12 ALU74181 X13Y13X16Y16C17P4* G4*S13 S16C1332/64位?21Outlineo 定点补码加/减法运算o 定点乘法运算o 浮点运算o 运算器组织o 运算器部件举例223.2 定点乘法运算

10、o 原码乘法运算方法o 原码乘法运算实现o 补码乘法运算方法o 补码乘法运算实现23a3b1a2b1a1b1a0b1a4b1a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p9p8 p7 p6p5p4 p3 p2 p1p0p 多位乘法必须先计算一位乘法，然后累加求和24乘法运算实现方法o 执行乘法运算子程序实现乘法运算o 设置专用乘法器实现乘法运算o 借助加法器配置相应部件实现乘法运算25乘法器 一位乘法电路实现S=X*YiiYXOutput=一个与门就可以实现一位乘法1110010

11、10000OutputYiXi26o 符号位直接异或即可得到乘积的符号o 仅仅需要考虑其数值部分的计算o 以定点小数为例进行讨论多位原码乘法27相加数产生部件a4b4a1b0a0b0 A = 0. a4 a3 a2 a1 a0 B = 0. b4 b3 b2 b1 b0p 经过一级门电路延迟，即可得到所有的相加数28a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8 p2 p1p05位无符号数阵列乘法器电路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p30p40p50

12、COUT COUT COUT p9COUT29p8 p2 p1p05位无符号数阵列乘法器电路a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p3p4p5p900a3b4a2b4a0b4a4b4a1b400030nn位原码乘法器框图相加数产生部件A = af. an1 an2a1 a0B = bf. bn1 bn2b1 b0nn乘法阵列an1bn1a1b0a0b0Pf=1.P2n1P2n2P2n3P1P031p8 p2 p1p0a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3

13、b3a2b3a1b3a0b3a4b3a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0a4b1 p6 p7 p3p4p5p90a3b4a2b4a0b4a4b4a1b4a1b1a0b1a3b1a2b100004*5个全加器, 8个全加器延迟32原码阵列乘法器时间延迟o n(n-1)个FAo 延迟时间n (n-1)FA +(n-1)FAn 每一个FA包含三级门电路延迟To 故总延迟为n 2(n-1)*3T T(相加数产生时间)33补码乘法器原理图 B补 = bf. bn1 b1 b0乘法阵列（同前nn阵列）2n位求补器数值同原码相加数积绝对值P2n1P1P0（补码乘积）Pf. A补 = af. an1 a1

14、 a0相加数产生电路（同前）n位求补器n位求补器34乘法运算实现方法o 执行乘法运算子程序实现乘法运算o 设置专用乘法器实现乘法运算o 借助加法器配置相应部件实现乘法运算n 原码一位乘法的运算方法与逻辑实现n 补码一位乘法的运算方法与逻辑实现35a3b2a2b2a1b2a0b2a4b2a3b3a2b3a1b3a0b3a4b3a3b4a2b4a1b4a0b4a4b4a4b0a3b0a2b0a1b0a0b0p8 p2 p1p05位无符号数阵列乘法器电路00a1b1a0b1a3b1a2b1a4b1 p6 p7 p30p40p50COUT COUT COUT p9COUT36a3a2a1a0a4000

15、00a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8 p2 p1p05位无符号数阵列乘法器电路0000000 p6 p7 p30p40p50COUT COUT p9COUT 0.p9p8p7p6p5p4p3p2p1p0 0.a4a3a2a1a0 x 0.1 0 1 0 1 COUT 37a3a2a1a0a400000a3a2a1a0a4a4a3a2a1a0p8 p2 p1p05位无符号数阵列乘法器电路0000000 p6 p7 p30p40p50COUT COUT COUT p9COUT=XYn +=XYn-1 右移一位+=XYn-2 右移一位+=XYn-3 右移一位38部分积累加的数学表示部分积

16、=XYn部分积=XYn-1+XYn 2-1部分积=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1 =XYn-2+XYn-12-1 + XYn2-2 =XY12-1+XY22-2+XYn2-nX*Y=XY12-1+Y22-2+Yn2-n39开始i = 0, 0Yn=1 + 0 + X Y右移一位i+1i i = nX0Y0P0结束YNNY40例子o 已知X=0.1101 Y=-0.1011o 计算X原Y原4100.000000.1101+00.110100.011000.1101部分积01.0011 100.1001 1100.000000.1001 1100.0100 11100.11010

17、1.0001 11100.1000 1111乘数1Y0Y0.1011Y0.101Y0.10判断位说明P0=0Y4=1,+|X|右移一位得P1Y4=1,+ |X|右移一位得P2Y4=0,+0右移一位得P3Y4=1,+ |X|右移一位得P4=|X|Y|+Y0.1+42原码乘法逻辑结构 R0+1计数器移位控制加法器X0 被乘数XR2 R0 部分积计 数 器 R1 乘数Y Yn= +YnX控制电路430 1 0 1 1部分积R0乘数R1Yn 判断位0 1 0 1 11 0 1 0 11 1 0 1 01 1 1 0 1 + + + + + + + + 1 1 1 1 00 0 0 0 00 1 1 0

18、 10 1 1 0 10 0 1 1 00 1 1 0 11 0 0 1 10 1 0 0 10 0 0 0 00 1 0 0 10 0 1 0 00 1 1 0 11 0 0 0 10 1 0 0 044部分积累加的数学表示部分积=XYn部分积=XYn-1+XYn*2-1部分积=XYn-2+(XYn-1+XYn*2-1)2-1 =XYn-2+XYn-12-1 + XYn*2-2 =XY1*2-1+XY2*2-2+XYn*2-nX*Y= XY1*2-1+Y2*2-2+Yn*2-n45补码一位乘法1) 被乘数X符号任意，乘数Y为正X补=X0.X1X2Xn Y补=0.Y1Y2Yn X补Y补=(2+

19、X) Y =(2n+1+X) Y =2n+1Y+XY =2 2n 0.Y1Y2Yn+XY =2(Y1Y2Yn)+XY =2+XY =X Y补X Y补= X补Y补46补码一位乘法1) 被乘数X符号任意，乘数Y为负数X补=X0.X1X2Xn Y补=1.Y1Y2Yn Y补=2+Y Y= Y补-2 =0.Y1Y2Yn-1X Y补=X (0.Y1Y2Yn - 1) 补 =X 0.Y1Y2Yn - X 补 =X 0.Y1Y2Yn补- X补 =X补 0.Y1Y2Yn- X补 =X补 0.Y1Y2Yn - Y0X 补47补码一位乘法X Y补=X补 0.Y1Y2Yn-Y0 X 补 =X补(-Y0+0.Y1Y2Y

20、n) =X补(-Y0+Y12-1+Y22-2+Yn 2-n) =X补-Y0+(Y1-Y12-1)+(Y22-1-Y22-2)+(Yn2-n+1-Yn2-n) = X补Y1-Y0+(Y2-Y1)2-1+(Y3-Y2)2-2+(0-Yn)2-noXY= X Y12-1 + Y22-2 + Yn2-n原码乘法 48开始i = 0, 0 Yn Yn+1=? + X补 + X补结束011000或11YN不变、Y补右移一位i + 1i=n+149例子o 已知X=1.0101 Y=1.0011计算X补Y补解： -X补=0.10115000.000000.1011+00.101100.010100.0000部

21、分积00.0101 100.0010 1111.010111. 0111 1111.1011 11100.000011.1011 11111.1101 111100.1011乘数11.01.001101.00111.001判断位说明Yn+1=0YnYn+1=10,加X补右移一位得P1末2位为11,+ 0右移一位得P2末2位为01 +X补右移一位得P3末2位为00 +0右移一位得P4末2位为10 -X补+1.00+00.1000 111151补码一位乘法逻辑结构移位控制 R1乘数Y补YnYn+100/11 0110&1=1YnYn+1R2 被乘数X补加法器CR0部分积=2-1 +(Yn+1-Yn

22、) X补52o 定点补码加/减法运算o 定点乘法运算o 浮点运算o 运算器组织o 运算器部件举例Outline53浮点加减法运算计算X+Y=? 求解： 如：Ex=Ey S=2Ex (Mx+My) 如：ExEy ?假设：54对阶o 对阶(使得小数部分可以按位权值按位相加)o 大阶对小阶还是小阶对大阶？210*(0.11000)+28*(0.00110)大阶对小阶 210*(0.11000)-28*(11.000) 11.000+0.00110 ? 小阶对大阶 28*(0.00110)-210*(0.00001) 0.00001+0.11000=0.11001o 对阶过程应该是小阶对大阶 尾数右移

23、55尾数运算Ex=Ey 满足后 S=2Ex(Mx+My)56运算结果规格化o 210*(0.11000) 也可表示为 211*(0.01100)o 为提高精度，尾数不为零的时，要求其绝对值大于1/2，即尾数最高有效位为1，否则要以修改阶码的方式同时左右移小数点，使其变成这一要求的表示形式，这个过程称为浮点数的规格化o 同一个浮点数的编码唯一o 将运算结果右移以实现规格化表示称为向右规格化，右归o 将运算结果左移以实现规格化表示称为向左规格化，左归57规格化形式o 规格化数形式 0.1XXXX -0.1XXXXo 补码规格化形式 00.1XXXX 11.0XXXXo 补码非规格化数 00.0XX

24、XX 11.1XXXX 01.XXXXX 10.XXXXX58o00.0XXXX - 00.1XXX0 左规o11.1XXXX - 11.0XXX0 左规o01.XXXXX - 00.1XXXX 右规o10.XXXXX - 11.0XXXX 右规 规格化方法59向左规格化1 1 1 0 0 0 0 11 1 1 0 0 0 0 11 1 0 0 0 0 1 00 0 0 0 1 0 0 10 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0600 1 1 0 0 0 1 10 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0 11 0 1 0 0 0 1 11 0 1 0 0 0

25、1 11 1 0 1 0 0 0 1向右规格化61规格化规则小结o 运算结果产生溢出时，必须进行右归o 如出现10.XX或者01.XXXo 如结果出现00.0XXX或11.1XX必须左归o 左归时最低数据有效位补0o 右归时连同符号位进位位一起右移o 左归时，阶码作减法，右归时，阶码作加法62舍入处理0 1 1 0 0 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 163溢出处理o 尾数上溢 右归o 尾数下溢 左归o 阶码上溢 正无穷和负无穷o 阶码下溢 064浮点数加减法o 五个基本步骤n 对阶n 尾数求和n 规格化（左规，右规）n 舍入（截去、0舍1入）n 检查溢出65例1 两浮点数x = 2

26、1010.11011011，y = 2111(-0.10101100)。假设尾数在计算机中以补码表示，可存储10位尾数，2位符号位，阶码以补码表示，双符号位,求x+y。解：将x,y转换成浮点数据格式 x浮 = 00 101, 00.11011011 Y浮 = 00 111, 11.01010011+1 00 111, 11.01010100步骤1：对阶，阶差为Ex-Ey -Ey=11000111001 Ex-Ey0010111001111102 0 Ex-Ey0 ExEy 小阶对大阶， X阶码加2 X尾数右移2位66 x浮 = 00 111, 00.00110110(11) 步骤2：尾数求和

27、X+Y浮 = 00 111, 00.00110110(11) + 00 111, 11.01010100 = 00 111, 11.10001010(11)67步骤3：计算结果规格化 X+Y浮 为非规格化数，左归一位, 阶码减一， 00110, 11.00010101(1)步骤4：舍入处理 X+Y浮 = 00 110, 11.00010110 (0舍1如法) X+Y浮 = 00 110, 11.00010101 (截去法) 步骤5：溢出判断 无溢出 X+Y浮 = 2110 x (-00.11101011)68浮点数乘法运算如：X=2m Mx Y=2n My X Y=2m Mx ( 2n My

28、) =2m+n (Mx My)69浮点数乘法运算(1) 阶码相加阶码相加可能产生溢出，若产生溢出，则给出溢出指示，计算机进行溢出处理。(2) 尾数相乘尾数部分相乘可得积的尾数，尾数相乘可按定点乘法运算的方法进行运算。(3) 结果规格化当运算结果需要进行规格化操作时，可按浮点加/减法运算规格化方式处理，舍入方式也与加/减法方式中的相同。70Outlineo 定点补码加/减法运算o 定点乘法运算o 浮点运算o 运算器组织o 运算器部件举例71运算器功能o 数据进行算术运算和逻辑运算o 暂存参加运算的数据及运算的中间结果o 选取相应部件中的数据参与运算o 反映运算处理的状态72算术逻辑运算单元ALU

29、ALUResultOverflowabALU operation73寄存器组 Q D Q D Q D R0 Q D Q D Q D R1 Q D Q D Q D Rn LDR0 LDR1 LDRn 74 多路选择电路 OUT(i) R0(i) R1(i) R2(i) R3(i) R3OUT R2OUT R1OUT R0OUT &175CLAADD 30STA 40NOPJMP 21000 006000 00420212223243040ALU运算器结构PSWAXBXCXDXDR左路开关选择右路开关选择数据总线DBUS移位器操作数X操作数Y76ALUSRBUS状态寄存器ABALUBUS锁存器LA

30、锁存器LB选择电路R0R1RnBUSbusLDLALDLBLbusRiLLDR0LDRnbusLBUSbusbusBUS77Outlineo 定点补码加/减法运算o 定点乘法运算o 浮点运算o 运算器组织o 运算器部件举例78o 先行进位的多功能算术/逻辑运算单元运算部件举例ALU74181Cn+4S3S2S1S0A3A2A1A0B3B2B1B0CnMA=BPGSN741814位ALUF3F2F1F018 20 22 119 21 23 2781415171311109163456C079先行进位电路CLA74182先行进位电路74182P4G4 P3G3 P2G2 P1G1C0 C4 C3

31、C2 C1P*G*80是否可以如下连接? 16位组内先行进位，组间先行进位 ALU74181 X16Y16X15Y15X14Y14X13Y13C12P16 * G16 * ALU74181 X12Y12 X11Y11 X10Y10X9Y9C8P12 * G12 * ALU74181 X8Y8X7Y7X6Y6 X5Y5C4P8 * G8 * ALU74181 X4Y4X3Y3X2Y2 X1Y1C0P4* G4 * P* G* P4 G4 C3 P3 G3 C2 P2 G2 C1 P1 G1 CLA （74182）C0C481成组进位o C4 = G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1+P4P3P2P1C0o G4 *= G4+P4G3+P4P3G2+P4P3P2G1n 成组进位发生输出o P4 *= P4P3P2P1n 成组进位传递函数o C4 = G4*+