曲线和方程_百度文库

1、课程整合课例直通车 2007年第期教学目标知识目标：让学生了解曲线的点集和方程的解集之间的关系，理解曲线方程的定义，并能根据定义的两个方面判断曲线和方程的关系。能力目标：在概念形成过程中，培养学生观察交流，抽象概括和归纳总结的能力；在概念应用过程中培养学生举反例的能力；在问题证明过程中培养学生的目标意识和逻辑推理能力。情感目标：在多媒体演示动静变化中，让学生感受数与形的相互联系、转化和完美统一；培养学生运动变化的观念和审美意识，激励学生勇于探索的精神。教学重点、难点曲线方程的定义教学过程（一）复习引入教师：我们知道，建立直角坐标系后，平面内的点和有序的实数对之间是什么关系？学生：一一对应。屏幕

2、显示一一对应中学数学曲线和方程教学案例刘才华教师：有序实数对（，）称为点的坐标。点在平面上运动时，会出现什么情况？屏幕显示点沿直线，抛物线和正弦曲线运动。教师：点运动时形成曲线，因此曲线（包含直线）可看作是点组成的图形，是满足某种条件点的集合。教师：第一、三象限的角平分线方程是。学生：。屏幕显示教师：为什么是呢？学生：因为第一、三象限的角平分线是直线，直线的方程为。教师：为什么说直线的方程为呢？设计思想：巧妙两问，激起学生回忆直线方程的定义，启发学生将直线方程的定义迁移到曲线方程。学生：直线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是直线上的点，那么就是说这条直线是方程的直线，这个方程是

3、直线的方程。教师：很好！我们一起观察这两个方面是否都满足。屏幕显示（）平分线上任意一点（，）（可取）到两坐标轴的距离相等，即），（，）是方程的解。教师：是含有两个未知数的方程。我们把含有两未知数的方程记为（，），其解集记为（，）（，）。平分线看作点集，则点集中的元素都在解集内。因此集合、的关系是什么？学生：。屏幕显示（）（，）是方程的解，即，即点（，）到两坐标轴的距离相等，点（，）在角平分线上。教师：因此集合、的关系又是什么？学生：，也就是说。课程整合课例直通车 中小学信息技术教育 2007年第期教师：我们发现曲线的点集方程的解集，下面再看两条曲线。屏幕显示抛物线的方程为（）抛物线上任意的点（

4、，）（如）都是方程的解，即。（）（，）（如）是的解，点（，）都在抛物线上，即。屏幕显示正弦曲线的方程为（）正弦曲线上任意一点（，）（如）都是方程的解，即。（）（，）（如）是的解，点（，）都在正弦曲线上，即。（二）概念形成教师：上面三条曲线和对应的方程有什么共同点？学生：共同点：曲线上的点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都是曲线上的点。设计思想：让学生观察分析，总结概括，使概念形成水到渠成。引导学生从被动的听发展成为主动体验数学，自主建构知识的过程。教师：很好！这样我们就可以用曲线来描述方程，也可通过研究方程来讨论曲线的性质。曲线是图形，方程是代数式，这样曲线和方程就是数与形的完美统一！

5、它们可以相互表示，我们给这类数与形完美统一的曲线和方程下个定义。屏幕显示一般在直角坐标系中，如果某曲线和一个一元二次方程的实数解建立如下的关系：（）曲线上的点的坐标都是方程的解；（）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。我们称这个方程为曲线的方程，称这条曲线为方程的曲线。（三）概念应用屏幕显示例下列曲线对应的方程是否正确，为什么？怎样改正？（）（）（）学生：（）不正确，不满足定义中的第二个方面，例如（，）是方程的解，但点（，）不在曲线上。改正：（）。学生：（）不正确，不满足定义中的第个方面，例如曲线上的点（，）不是方程的解，改正：。学生：（）不正确，定义中的两个方面都不满足，例如曲线上的点（

6、，）不是方程的解；又（，）是方程的解，但点（，）却不在曲线上。改正：。教师：大家通过改正方程使曲线和方程能相互表示，有没有不同的改法？设计思想：让学生思考后通过改曲线使曲线和方程能相互表示，激励学生多角度思考问题，培养学生的发散思维能力。教师：根据定义和例，我们对曲线和方程有了进一步的认识，下面我们一起总结归纳几点：定义中的两个方面必须同时满足；注意“任意”和“都是”；若曲线的方程为（，），则点（，）（，；判断曲线和方程不能相互表示，只需举出一个反例。设计思想：引导学生解题回顾总结，进一步理解概念的本质，掌握概念的内涵和外延。屏幕显示例证明圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程是，并判断点、是否在

7、这个圆上。教师：要证明圆的方程，应该怎样证明呢？学生：应该根据定义中的两个方面，先证明圆课程整合课例直通车 2007年第期上任意一点的坐标都是方程的解。教师：请你分析一下条件和目标分别是什么？学生：条件：点（，）是圆上任意一点；目标：（，）是方程的解。教师：怎样由条件向目标靠拢？设计思想：启发学生联想几何性质，培养学生的目标意识，提高分析和解决问题的能力。学生：圆上的点到圆心的距离等于半径。所以，由两点间的距离公式，所以，即（，）是方程的解。屏幕显示（）证明：点（，）是圆上任意一点，条件，即，（，）是方程的解。教师：另外一方面呢？学生：证明以方程的解为坐标的点（，）都是曲线上的点。条件：（，）

8、是方程的解；目标：点（，）在圆上。教师：大家尝试一下怎样由条件向目标靠拢？学生：因为（，）是方程的解，所以，则点（，）到圆心的距离等于圆的半径，即点（，）在圆上。屏幕显示（）设（，）是方程的解，即，设点（，），则，点（，）是圆上的点。教师：综合上述两个方面，方程是是圆心为坐标原点，半径等于的圆的方程。那么怎样判断点、是否在这个圆上？学生：看点是否满足圆的方程即可。因为（）成立，而（），所以点在圆上，点不在圆上。（四）课堂小结深刻理解曲线方程的定义，注意定义中的两方面必须同时满足，缺一不可。掌握曲线和方程相互表示的判断方法；当判断不能相互表示，只需举例说明定义中的一个方面不满足即可；当判断能相互

9、表示，必须分别证明定义中的两个方面。判断点是否在曲线上转化为判断点是否满足曲线方程。（五）练习巩固判断：（）经过点（，）与轴的夹角为的直线方程为。（）（）三角形的三个顶点是（，），（，），（），则中线（为原点）的方程是。（）已知方程的曲线经过点和点（，），求、的值。（作者单位：湖北广水市一中）（注：本案例荣获湖北省随州市优质课评比一等奖和随州市优秀教学设计一等奖）曲线和方程是一节抽象难懂的概念课，刘老师为了上好这一节课费了心血，并成功地设计了这一节课。其显著特点：直面与聚焦新课程标准。本节课自始至终体现了新课程标准所要求的不仅强调知识与技能的获得，更强调让学生经历和体验数学知识的形式过程。显化与应用数学教学理论知识。一线教师拥有一笔巨大的财富丰富的教学实践经验，对教学实践活动有着深切的体会与感悟，再加上现代教学理论的影响，因此能对教学做出个性化和创造性的处理。讲授与引导结合，很好地处理了合作学习与接受性学习的关系。教学过程中，教师的主导地位没有削弱，教师根据教材和学生的特点，注重师生互动，让学生积极思维，理解概念，获得技能，改变了传统由教师单一示范的教学方式。恰到好处