同济五版《高等数学》讲稿WORD版第11章无穷级数

1、第十一章 无穷级数教学目的：1理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。2掌握几何级数与P级数的收敛与发散的条件。3掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。4掌握交错级数的莱布尼茨判别法。5了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。6了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。7理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。8了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。9了解函数展开

2、为泰勒级数的充分必要条件。10掌握，和的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在-l，l上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在0，l上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点 ：1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、，和的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。教学难点：1、 比较判别法的极限形式；2、 莱布尼茨判别法；3、 任意项级数的绝对收敛与条

3、件收敛；4、 函数项级数的收敛域及和函数；5、 泰勒级数；6、 傅里叶级数的狄利克雷定理。§11.1 常数项级数的概念和性质一、常数项级数的概念常数项级数:给定一个数列u1,u2,u3,×××,un,×××,则由这数列构成的表达式u1 +u2+u3+×××+un +×××叫做常数项)无穷级数,简称常数项)级数,记为,即,其中第n项un叫做级数的一般项.级数的部分和:作级数的前n项和称为级数的部分和.级数敛散性定义:如果级数的部分和数列有极限s,即,则称无穷级数收敛,

4、这时极限s叫做这级数的和,并写成;如果没有极限,则称无穷级数发散. 余项:当级数收敛时,其部分和sn是级数的和s的近似值,它们之间的差值rn=s-sn=un+1+un+2+×××叫做级数的余项.例1讨论等比级数(几何级数)的敛散性,其中a¹0,q叫做级数的公比.例1讨论等比级数(a¹0)的敛散性. 解如果q¹1,则部分和. 当|q|<1时, 因为, 所以此时级数收敛,其和为. 当|q|>1时, 因为, 所以此时级数发散. 如果|q|=1,则当q=1时,sn=na®¥,因此级数发散;当q=-1时,级数成为

5、a-a+a-a+×××, 时|q|=1时, 因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零,所以sn的极限不存在, 从而这时级数也发散. 综上所述,如果|q|<1,则级数收敛,其和为;如果|q|³1,则级数发散. 仅当|q|<1时,几何级数a¹0)收敛,其和为.例2证明级数 1+2+3+×××+n+×××是发散的.证此级数的部分和为.显然,因此所给级数是发散的.例3判别无穷级数的收敛性. 解由于,因此从而,所以这级数收敛,它的和是1.例3判别无穷级数的收敛性. 解因为,从而,所以这

6、级数收敛,它的和是1.提示:.二、收敛级数的基本性质性质1如果级数收敛于和s,则它的各项同乘以一个常数k所得的级数也收敛,且其和为ks.性质1如果级数收敛于和s,则级数也收敛,且其和为ks. 性质1如果,则. 这是因为,设与的部分和分别为sn与sn,则.这表明级数收敛,且和为ks.性质2如果级数、分别收敛于和s、s,则级数也收敛,且其和为s±s. 性质2 如果、,则. 这是因为,如果、的部分和分别为sn、sn、tn,则.性质3在级数中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. 比如,级数是收敛的,级数也是收敛的,级数也是收敛的.性质4如果级数收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的

7、级数仍收敛,且其和不变.应注意的问题:如果加括号后所成的级数收敛,则不能断定去括号后原来的级数也收敛. 例如,级数 1-1)+1-1) +×××收敛于零,但级数1-1+1-1+×××却是发散的.推论:如果加括号后所成的级数发散,则原来级数也发散.级数收敛的必要条件:性质5 如果收敛,则它的一般项un趋于零,即.性质5 如果收敛,则. 证 设级数的部分和为sn,且,则.应注意的问题:级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件. 例4 证明调和级数是发散的.例4证明调和级数是发散的.证假若级数收敛且其和为s,sn是它的部分和.显然有及.于

8、是.但另一方面,故,矛盾.这矛盾说明级数必定发散.§11. 2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数:各项都是正数或零的级数称为正项级数.定理1正项级数收敛的充分必要条件它的部分和数列sn有界.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(n=1, 2,×××).若级数收敛,则级数收敛;反之,若级数发散,则级数发散.定理2(比较审敛法)设和都是正项级数,且un£vn(k>0,"n³N).若收敛,则收敛;若发散,则发散.设Sun和Svn都是正项级数,且un£kvn(k>0,&q

9、uot;n³N).若级数Svn收敛,则级数Sun收敛;反之,若级数Sun发散,则级数Svn发散. 证 设级数收敛于和s,则级数的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s (n=1, 2, ×××),即部分和数列sn有界,由定理1知级数收敛. 反之,设级数发散,则级数必发散.因为若级数收敛,由上已证明的结论,将有级数也收敛,与假设矛盾. 证 仅就un£vn(n=1, 2,×××)情形证明.设级数Svn收敛,其和为

10、s,则级数Sun的部分和sn=u1+u2+×××+un£v1+v2+×××+vn£s (n=1, 2, ×××),即部分和数列sn有界. 因此级数Sun收敛. 反之,设级数Sun发散,则级数Svn必发散.因为若级数Svn收敛,由上已证明的结论,级数Sun也收敛,与假设矛盾.推论设和都是正项级数,如果级数收敛,且存在自然数N,使当n³N时有un£kvn(k>0)成立,则级数收敛;如果级数发散,且当n³N时有un³kvn(k>0)成立,则

11、级数发散.例1 讨论p-级数的收敛性,其中常数p>0.例1讨论p-级数的收敛性. 解 设p£1.这时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散. 设p>1.此时有(n=2, 3, ×××).对于级数,其部分和.因为.所以级数收敛.从而根据比较审敛法的推论1可知,级数当p>1时收敛. 综上所述,p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散. 解 当p£1时,而调和级数发散,由比较审敛法知,当p£1时级数发散. 当p>1时,(n=2, 3, ×××).而级

12、数是收敛的, 根据比较审敛法的推论可知,级数当p>1时收敛.提示:级数的部分和为.因为,所以级数收敛.p-级数的收敛性: p-级数当p>1时收敛,当p£1时发散.例2证明级数是发散的. 证 因为,而级数是发散的,根据比较审敛法可知所给级数也是发散的.定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数,如果(0<l<+¥),则级数和级数同时收敛或同时发散.定理3(比较审敛法的极限形式) 设和都是正项级数, (1)如果(0£l<+¥),且级数收敛, 则级数收敛;(2)如果, 且级数发散, 则级数发散.定理3(比较审敛法的极限形式)

13、设Sun和Svn都是正项级数,(1)如果lim(un/vn)=l(0£l<+¥),且Svn收敛, 则Sun收敛;(2)如果lim(un/vn)=l(0<l£+¥),且Svn发散, 则Sun发散. 证明 由极限的定义可知,对,存在自然数N,当n>N时,有不等式,即,再根据比较审敛法的推论1,即得所要证的结论.例3 判别级数的收敛性. 解 因为,而级数发散,根据比较审敛法的极限形式,级数发散.例4判别级数的收敛性. 解 因为,而级数收敛,根据比较审敛法的极限形式,级数收敛.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法) 若正项级数的后项与前项之比值的

14、极限等于r:,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法) 若正项级数满足,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散.当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理4(比值审敛法,达朗贝尔判别法)设为正项级数, 如果,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散; 当r=1时级数可能收敛也可能发散.例5证明级数是收敛的. 解 因为,根据比值审敛法可知所给级数收敛.例6判别级数的收敛性. 解 因为,根据比值审敛法可知所给级数发散.例7判别级数的收敛性. 解 .这时r=1,比值审敛法失效,

15、必须用其它方法来判别级数的收敛性. 因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 解 因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛. 提示:,比值审敛法失效. 因为,而级数收敛,因此由比较审敛法可知所给级数收敛.定理5(根值审敛法,柯西判别法) 设是正项级数,如果它的一般项un的n次根的极限等于r:,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法,柯西判别法) 若正项级数满足,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散.当r=1时级数可能收敛也可能发散.定理5(根值审敛法,柯西判别法) 设为正项级数

16、,如果,则当r<1时级数收敛;当r>1(或)时级数发散;当r=1时级数可能收敛也可能发散.例8证明级数是收敛的.并估计以级数的部分和sn近似代替和s所产生的误差. 解 因为,所以根据根值审敛法可知所给级数收敛. 以这级数的部分和sn 近似代替和s所产生的误差为+. 例6判定级数的收敛性. 解 因为,所以, 根据根值审敛法知所给级数收敛. 定理6(极限审敛法)设为正项级数,(1)如果, 则级数发散;(2)如果p>1, 而, 则级数收敛. 例7 判定级数的收敛性. 解 因为, 故,根据极限审敛法, 知所给级数收敛. 例8 判定级数的收敛性. 解 因为 ,根据极限审敛法, 知所给级

17、数收敛.二、交错级数及其审敛法交错级数:交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的.交错级数的一般形式为,其中.例如,是交错级数,但不是交错级数.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数满足条件:(1)un³un+1 (n=1, 2, 3,×××); (2),则级数收敛,且其和s£u1,其余项rn的绝对值|rn|£un+1.定理6（莱布尼茨定理）如果交错级数满足: (1); (2),则级数收敛,且其和s£u1,其余项rn的绝对值|rn|£un+1. 简要证明:设前n项部分和为sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4

18、)+×××+(u2n 1-u2n), 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+×××+(u2n-2-u2n-1)-u2n看出数列s2n单调增加且有界(s2n<u1), 所以收敛.设s2n®s(n®¥), 则也有s2n+1=s2n+u2n+1®s(n®¥),所以sn®s(n®¥). 从而级数是收敛的, 且sn<u1. 因为 |rn|=un+1-un+2+×××也是收敛的交错级数, 所以|rn|&#

19、163;un+1.例9 证明级数收敛,并估计和及余项. 证 这是一个交错级数.因为此级数满足 (1)(n=1, 2,×××), (2),由莱布尼茨定理,级数是收敛的,且其和s<u1=1,余项.三、绝对收敛与条件收敛:绝对收敛与条件收敛: 若级数收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛,而级数发散,则称级条件收敛.例10 级数是绝对收敛的,而级数是条件收敛的.定理7如果级数绝对收敛,则级数必定收敛.值得注意的问题: 如果级数发散,我们不能断定级数也发散. 但是,如果我们用比值法或根值法判定级数发散,则我们可以断定级数必定发散.这是因为,此时|un|不趋向于零,从而u

20、n也不趋向于零,因此级数也是发散的.例11判别级数的收敛性.解 因为|,而级数是收敛的,所以级数也收敛,从而级数绝对收敛.例12判别级数的收敛性. 解:由,有,可知,因此级数发散.§ 11. 3 幂级数一、函数项级数的概念函数项级数:给定一个定义在区间I上的函数列un(x),由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+×××+un(x)+×××称为定义在区间I上的(函数项)级数,记为.收敛点与发散点:对于区间I内的一定点x0,若常数项级数收敛,则称点x0是级数的收敛点.若常数项级数发散,则称点x0是级数的发散点

21、.收敛域与发散域:函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域,所有发散点的全体称为它的发散域.和函数:在收敛域上,函数项级数的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数的和函数,并写成.un(x)是的简便记法, 以下不再重述.在收敛域上,函数项级数un(x)的和是x的函数s(x),s(x)称为函数项级数un(x)的和函数,并写成s(x)=un(x).这函数的定义就是级数的收敛域,部分和:函数项级数的前n项的部分和记作sn(x),函数项级数un(x)的前n项的部分和记作sn(x), 即sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+×××+un(x).在收敛域上

22、有或sn(x)®s(x)(n®¥) .余项:函数项级数的和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)=s(x)-sn(x)叫做函数项级数的余项. 函数项级数un(x)的余项记为rn(x), 它是和函数s(x)与部分和sn(x)的差rn(x)=s(x)-sn(x). 在收敛域上有.二、幂级数及其收敛性幂级数:函数项级数中简单而常见的一类级数就是各项都幂函数的函数项级数,这种形式的级数称为幂级数,它的形式是a0+a1x+a2x2+×××+anxn+×××,其中常数a0,a1,a2,××&

23、#215;,an,×××叫做幂级数的系数.幂级数的例子: 1+x+x2+x3+×××+xn+×××,. 注: 幂级数的一般形式是a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+×××+an(x-x0)n+×××,经变换t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+×××+antn+×××.幂级数1+x+x2+x3+×××+xn+×××可以

24、看成是公比为x的几何级数. 当|x|<1时它是收敛的;当|x|³1时,它是发散的. 因此它的收敛域为(-1, 1),在收敛域内有.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数当x=x0 (x0¹0)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛.反之,如果级数当x=x0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x使这幂级数发散.定理1 (阿贝尔定理) 如果级数anxn当x=x0 (x0¹0)时收敛,则适合不等式|x|<|x0|的一切x使这幂级数绝对收敛.反之,如果级数anxn当x=x0时发散,则适合不等式|x|>|x0|的一切x使

25、这幂级数发散.提示:anxn是的简记形式.证先设x0是幂级数的收敛点,即级数收敛.根据级数收敛的必要条件,有,于是存在一个常数M,使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, ×××).这样级数的的一般项的绝对值.因为当|x|<|x0|时,等比级数收敛,所以级数收敛,也就是级数绝对收敛. 简要证明设anxn在点x0收敛,则有anx0n®0(n®¥) ,于是数列anx0n有界,即存在一个常数M,使| anx0n |£M(n=0, 1, 2, ×××). 因为 ,而当时,等比级数收

26、敛,所以级数|anxn|收敛,也就是级数anxn绝对收敛.定理的第二部分可用反证法证明.倘若幂级数当x=x0时发散而有一点x1适合|x1|>|x0|使级数收敛,则根据本定理的第一部分,级数当x=x0时应收敛,这与所设矛盾.定理得证.推论如果级数不是仅在点x=0一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,使得当|x|<R时,幂级数绝对收敛;当|x|>R时,幂级数发散;当x=R与x=-R时,幂级数可能收敛也可能发散.收敛半径与收敛区间:正数通常叫做幂级数的收敛半径. 开区间(-R,R)叫做幂级数的收敛区间. 再由幂级数在x=±R处的收敛性就可以决

27、定它的收敛域. 幂级数的收敛域是(-R, R)(或-R, R)、(-R, R、-R, R之一.规定:若幂级数只在x=0收敛,则规定收敛半径R=0 ,若幂级数对一切x都收敛,则规定收敛半径R=+¥,这时收敛域为(-¥, +¥).定理2如果,其中an、an+1是幂级数的相邻两项的系数,则这幂级数的收敛半径.定理2如果幂级数系数满足, 则这幂级数的收敛半径.定理2如果, 则幂级数的收敛半径R为:当r¹0时, 当r=0时R=+¥, 当r=+¥时R=0. 简要证明:.(1)如果0<r<+¥, 则只当r|x|<1时幂级

28、数收敛, 故. (2)如果r=0, 则幂级数总是收敛的,故R=+¥.(3)如果r=+¥,则只当x=0时幂级数收敛, 故R=0.例1 求幂级数的收敛半径与收敛域.例1 求幂级数的收敛半径与收敛域.解因为,所以收敛半径为.当x=1时, 幂级数成为, 是收敛的;当x=-1时, 幂级数成为, 是发散的.因此,收敛域为(-1, 1.例2 求幂级数的收敛域.例2 求幂级数的收敛域.解因为,所以收敛半径为R=+¥,从而收敛域为(-¥, +¥).例3 求幂级数的收敛半径.解 因为,所以收敛半径为R=0,即级数仅在x=0处收敛.例4 求幂级数的收敛半径.解 级数

29、缺少奇次幂的项,定理2不能应用.可根据比值审敛法来求收敛半径: 幂级数的一般项记为.因为 ,当4|x|2<1即时级数收敛;当4|x|2>1即时级数发散,所以收敛半径为.提示:.例5 求幂级数的收敛域.解令t=x-1,上述级数变为. 因为 ,所以收敛半径R=2.当t=2时,级数成为,此级数发散;当t=-2时,级数成为,此级数收敛.因此级数的收敛域为-2£t<2. 因为-2£x-1<2,即-1£x<3,所以原级数的收敛域为-1, 3).三、幂级数的运算设幂级数及分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛,则在(

30、-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有加法:,减法:,设幂级数anxn及bnxn分别在区间(-R, R)及(-R¢, R¢)内收敛,则在(-R, R)与(-R¢, R¢)中较小的区间内有加法:anxn+bnxn=(an+bn)xn,减法:anxn-bnxn=(an-bn)xn.乘法:=a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+×××+(a0bn+a1bn-1+×××+anb0)xn+×××性质1 幂级数的

31、和函数s(x)在其收敛域I上连续. 如果幂级数在x=R (或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在(-R, R(或-R, R)连续.性质2 幂级数的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式(xÎI ),逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导, 并且有逐项求导公式(|x|<R),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质1 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续.性质2 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积, 并且有逐项积分公式(xÎI ),逐项积分后所

32、得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.性质3 幂级数anxn的和函数s(x)在其收敛区间(-R,R)内可导, 并且有逐项求导公式(|x|<R),逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径.例6 求幂级数的和函数.解求得幂级数的收敛域为-1,1).设和函数为s(x),即,xÎ-1,1). 显然s(0)=1. 在的两边求导得.对上式从0到x积分,得.于是,当x¹0时,有.从而. 因为,所以,当x¹0时,有,从而 .例6 求幂级数的和函数.解求得幂级数的收敛域为-1,1).设幂级数的和函数为s(x),即,xÎ-1,1). 显然S(0)=1. 因为,

33、所以,当时,有.从而 .由和函数在收敛域上的连续性,. 综合起来得.提示: 应用公式, 即.例7 求级数的和.解考虑幂级数,此级数在-1, 1)上收敛,设其和函数为s(x),则.在例6中已得到xs(x)=ln(1-x),于是-s(-1)=ln2,即.§11.4 函数展开成幂级数一、泰勒级数 要解决的问题:给定函数f(x),要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”,就是说,是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛,且其和恰好就是给定的函数f(x). 如果能找到这样的幂级数,我们就说,函数f(x)在该区间内能展开成幂级数,或简单地说函数f(x)能展开成幂级数,而该级数在收敛区间内就表

34、达了函数f(x). 泰勒多项式:如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数,则在该邻域内f(x)近似等于,其中(x介于x与x0之间).泰勒级数:如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数f¢(x),f¢¢(x),×××,f (n)(x),×××,则当n®¥时,f(x)在点x0的泰勒多项式成为幂级数这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数. 显然,当x=x0时,f(x)的泰勒级数收敛于f(x0).需回答的问题:除了x=x0外,f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛,它是否一定收敛于f(x)?

35、 定理设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数,则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n®0时的极限为零,即 . 证明 先证必要性.设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数,即,又设sn+1(x)是f(x)的泰勒级数的前n+1项的和,则在U(x0)内sn+1(x)® f(x)(n®¥).而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是Rn(x)=f(x)-sn+1(x)®0(n®¥). 再证充分性.设Rn(x)®0(n

36、74;¥)对一切xÎU(x0)成立.因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)=sn+1(x)+Rn(x),于是sn+1(x)=f(x)-Rn(x)®f(x),即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛,并且收敛于f(x).麦克劳林级数:在泰勒级数中取x0=0,得,此级数称为f(x)的麦克劳林级数.展开式的唯一性:如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这种展式是唯一的,它一定与f(x)的麦克劳林级数一致. 这是因为,如果f(x)在点x0=0的某邻域(-R,R)内能展开成x的幂级数,即 f(x)=a0+a1x+a2x2+×××+anxn+

37、15;××,那么根据幂级数在收敛区间内可以逐项求导,有f¢(x)=a1+2a2x+3a3x2+×××+nanxn-1+×××,f¢¢(x)=2!a2+3×2a3x+×××+n×(n-1)anxn-2 +×××,f¢¢¢(x)=3!a3+×××+n×(n-1)(n-2)anxn-3 +×××,×

38、15;×××××××××××××f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) ××× 2an+1x+×××,于是得 a0=f(0),a1=f¢(0),×××,×××.应注意的问题:如果f(x)能展开成x的幂级数,那么这个幂级数就是f(x)的麦克劳林级数.但是,反过来如果f(x)的麦克劳林级数在点x0=0的某邻域内收敛,它却不一定收敛于

39、f(x).因此,如果f(x)在点x0=0处具有各阶导数,则f(x)的麦克劳林级数虽然能作出来,但这个级数是否在某个区间内收敛,以及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.二、函数展开成幂级数展开步骤:第一步 求出f (x)的各阶导数:f ¢(x),f ¢¢(x),×××,f(n)(x),×××.第二步 求函数及其各阶导数在x=0处的值: f(0),f ¢(0),f ¢¢(0),×××,f(n)( 0),×××.第三步 写

40、出幂级数,并求出收敛半径R.第四步 考察在区间(-R,R)内时是否Rn(x)®0(n®¥).是否为零.如果Rn(x)®0(n®¥),则f(x)在(-R,R)内有展开式(-R<x<R).例1将函数f(x)=ex展开成x的幂级数.解所给函数的各阶导数为f (n)(x)=ex(n=1, 2,×××),因此f (n)(0)=1(n=1, 2,×××).于是得级数,它的收敛半径R=+¥. 对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间),有,而,所以,从而有展开式.例

41、2将函数f(x)=sin x展开成x的幂级数. 解 因为(n=1, 2,×××),所以f (n)(0)顺序循环地取0, 1, 0,-1,××× (n=0, 1, 2, 3,×××),于是得级数,它的收敛半径为R=+¥.对于任何有限的数x、x (x介于0与x之间),有®0 (n®¥).因此得展开式.例3 将函数f(x)=(1+x)m展开成x的幂级数,其中m为任意常数. 解:f(x)的各阶导数为f¢(x)=m(1+x)m-1,f¢¢(x)=

42、m(m-1)(1+x)m-2,×××××××××,f(n)(x)=m(m-1)(m-2)×××(m-n+1)(1+x)m-n,×××××××××,所以 f(0)=1,f¢(0)=m,f¢¢(0)=m(m-1),×××, f(n)(0)=m(m-1)(m-2)×××(m-n+1),×

43、5;×于是得幂级数.可以证明.间接展开法:例4 将函数f(x)=cos x展开成x的幂级数. 解 已知(-¥<x<+¥).对上式两边求导得.例5 将函数展开成x的幂级数.解因为,把x换成-x2,得(-1<x<1).注: 收敛半径的确定: 由-1<-x2<1得-1<x<1.例6 将函数f(x)=ln(1+x) 展开成x的幂级数.解因为,而是收敛的等比级数(-1<x<1)的和函数:.所以将上式从0到x逐项积分,得. 解:f(x)=ln(1+x)(-1<x£1).上述展开式对x=1也成立,这是因

44、为上式右端的幂级数当x=1时收敛,而ln(1+x)在x=1处有定义且连续.例7 将函数f(x)=sin x展开成的幂级数.解因为,并且有,所以.例8 将函数展开成(x-1)的幂级数. 解因为.提示:,.,收敛域的确定:由和得.展开式小结:,.§11. 5 函数的幂级数展开式的应用一、近似计算例1计算的近似值,要求误差不超过0.0001.例1计算的近似值(误差不超过10-4).解 因为,所以在二项展开式中取,即得.这个级数收敛很快.取前两项的和作为的近似值,其误差(也叫做截断误差)为.于是取近似式为,为了使“四舍五入”引起的误差(叫做舍入误差)与截断误差之和不超过10-4,计算时应取五

45、位小数,然后四舍五入.因此最后得. 例2计算ln 2的近似值,要求误差不超过0.0001. 例2计算ln 2的近似值(误差不超过10-4).解 在上节例5中,令 x=1可得.如果取这级数前n项和作为ln2的近似值,其误差为.为了保证误差不超过,就需要取级数的前10000项进行计算. 这样做计算量太大了,我们必需用收敛较快的级数来代替它.把展开式中的x换成-x,得,两式相减, 得到不含有偶次幂的展开式:.令, 解出. 以代入最后一个展开式, 得.如果取前四项作为ln2的近似值,则误差为.于是取.同样地, 考虑到舍入误差, 计算时应取五位小数:,.因此得 ln 2»0.6931. 例3利

46、用求sin9°的近似值,并估计误差.解 首先把角度化成弧度,(弧度)(弧度),从而.其次, 估计这个近似值的精确度. 在sin x 的幂级数展开式中令,得.等式右端是一个收敛的交错级数, 且各项的绝对值单调减少. 取它的前两项之和作为的近似值, 起误差为.因此取 ,于是得 sin9°»0.15643.这时误差不超过10-5.例4计算定积分的近似值,要求误差不超过0.0001（取）.例4 求积分的近似值(误差不超过10-4).解 将ex的幂级数展开式中的x换成-x2,得到被积函数的幂级数展开式.于是,根据幂级数在收敛区间内逐项可积,得 .前四项的和作为近似值,其误差

47、为,所以. 例5计算积分的近似值,要求误差不超过0.0001. 例5计算的近似值(误差不超过10-4).解由于, 因此所给积分不是反常积分. 如果定义被积函数在x=0处的值为1,则它在积分区间0, 1上连续. 展开被积函数,有.在区间0, 1上逐项积分,得.因为第四项,所以取前三项的和作为积分的近似值:.二、欧拉公式复数项级数:设有复数项级数 (u1+iv1)+(u2+iv2)+×××+(un+ivn)+×××其中un,vn(n=1, 2, 3,×××)为实常数或实函数.如果实部所成的级数u1+u2 +&

48、#215;××+un+×××收敛于和u,并且虚部所成的级数.v1+v2+×××+vn+×××收敛于和v,就说复数项级数收敛且和为u+iv.绝对收敛:如果级的各项的模所构成的级数收敛,则称级数绝对收敛.复变量指数函数:考察复数项级数.可以证明此级数在复平面上是绝对收敛的,在x轴上它表示指数函数ex,在复平面上我们用它来定义复变量指数函数,记为ez.即.欧拉公式:当x=0时,z=iy ,于是=cos y+isin y.把y定成x得eix=cos x+i sin x,这就是欧拉公式.复数的指

49、数形式:复数z可以表示为z=r(cosq+isinq)=reiq,其中r=|z|是z的模,q=arg z是z的辐角.三角函数与复变量指数函数之间的联系:因为eix=cos x+i sin x,e-ix=cos x-i sin x,所以eix+e-ix=2cos x,ex-e-ix=2isin x.,.这两个式子也叫做欧拉公式. 复变量指数函数的性质:.特殊地,有ex+iy=exeiy=ex(cos y+isin y).§11.7傅里叶级数一、三角级数 三角函数系的正交性三角级数:级数称为三角级数,其中a0,an,bn(n= 1, 2,×××)都是常数.三

50、角函数系: 1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x,×××, cos nx, sin nx,×××三角函数系的正交性:三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在区间-p,p上的积分等于零, 即 (n=1, 2,×××), (n=1, 2,×××), (k,n=1, 2,×××), (k,n=1, 2,×××,k¹n), (k,n=1, 2,×××,k

51、5;n).三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间-p,p上的积分不等于零, 即, (n =1, 2,×××), (n =1, 2,×××).二、函数展开成傅里叶级数问题:设f(x)是周期为2p的周期函数, 且能展开成三角级数:.那么系数a0,a1,b1,×××与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分,则.类似地.傅里叶系数:, (n =1, 2,×××), (n =1, 2,×××).系数a0,a1,b1,×&#

52、215;×叫做函数f(x)的傅里叶系数.傅里叶级数:三角级数称为傅里叶级数,其中a0,a1,b1,×××是傅里叶系数.问题:一个定义在(-¥,+¥)上周期为2p的函数f(x),如果它在一个周期上可积,则一定可以作出f(x)的傅里叶级数.然而,函数f(x)的傅里叶级数是否一定收敛? 如果它收敛,它是否一定收敛于函数f(x)? 一般来说,这两个问题的答案都不是肯定的.定理(收敛定理,狄利克雷充分条件)设f(x)是周期为2p的周期函数,如果它满足:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,在一个周期内至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶

53、级数收敛,并且 当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);当x是f(x)的间断点时,级数收敛于.例1 设f(x)是周期为2p的周期函数,它在-p,p)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数.解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点x=kp (k=0,±1,±2,××× )处不连续,在其它点处连续,从而由收敛定理知道f(x)的傅里叶级数收敛,并且当x=kp时收敛于,当x¹kp时级数收敛于f(x).傅里叶系数计算如下: (n =0, 1, 2,×××);1-(-1)n于是f(x)的傅里叶级数展开式为(-&#

54、165;<x<+¥x¹0,±p,±2p,×××).例2 设f(x)是周期为2p的周期函数,它在-p,p)上的表达式为将f(x)展开成傅里叶级数. 解 所给函数满足收敛定理的条件,它在点x=(2k+1)p (k=0,±1,±2,××× )处不连续,因此,f(x)的傅里叶级数在x=(2k+1)p处收敛于.在连续点x (x¹(2k+1)p)处级数收敛于f(x). 傅里叶系数计算如下:;(n =1, 2,×××).f(x)的傅里叶级

55、数展开式为(-¥<x<+¥x¹±p,±3p,××× ). 周期延拓:设f(x)只在-p,p上有定义,我们可以在-p,p)或(-p,p外补充函数f(x)的定义,使它拓广成周期为2p的周期函数F(x),在(-p,p)内,F(x)=f(x).例3 将函数展开成傅里叶级数. 解 所给函数在区间-p,p上满足收敛定理的条件,并且拓广为周期函数时,它在每一点x处都连续,因此拓广的周期函数的傅里叶级数在-p,p上收敛于f(x). 傅里叶系数为:;(n =1, 2,×××).于是f(x)的

56、傅里叶级数展开式为(-p£x£p).三、正弦级数和余弦级数 当f(x)为奇函数时,f(x)cos nx是奇函数,f(x)sin nx是偶函数,故傅里叶系数为an=0 (n=0, 1, 2,×××),(n=1, 2, 3,×××).因此奇数函数的傅里叶级数是只含有正弦项的正弦级数. 当f(x)为偶函数时,f(x)cos nx是偶函数,f(x)sin nx是奇函数,故傅里叶系数为(n=0, 1, 2, 3,×××),bn=0 (n=1, 2,×××).因此偶数函数的傅