假定人造地球卫星的运行轨道是半径为R的圆_第1页
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9-10 假定人造地球卫星的运行轨道是半径为R的圆，周期为T。宇航员以相对速度v0垂直地球表面投射一物。如果不计r/R的高次项（r是投射物与卫星之间的距离），求证投射物相对于卫星的轨迹为一椭圆，周期也是T。O地球X卫星轨道YxyAB解：取固定坐标系OXY及与卫星固连的坐标系Axy如图。设卫星质量为m，则根据万有引力定律和牛顿第二定律得：即，同理有，由此可得： （1）考虑到，可进行如下简化： （2）求的泰勒级数，得：略去高阶小量，得：代入（2）式，得： （3） （4）将（3）、（4）代入（1），得： （5）由相对导数和绝对导数的关系可得： （6）其中，。将（5）代入（6）式，并写成分量形式： （7）由于卫星做圆周运动，所以向心加速度，向心力，由可得，代入（7）式，得： （8）（8）式积分得投射物相对于卫星的运动方程： （9）代入初始条件，得： （10）故投射物相对于卫星的轨迹为：由（10）式可知，运动周期为。

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