两通道滤波器组

1、第7章 两通道滤波器组7.1两通道滤波器组中各信号的关系第6.1节已提及，滤波器组分为分析滤波器组和综合滤波器组。分析滤波器组将分成M个子带信号。若M2，则分析滤波器组由一个低通滤波器和一个高通滤波器所组成，它们把分成了一个低通信号和一个高通信号。我们可依据这两个子带信号所具有的能量的不同，也即“重要性”的不同而分别给以不同的对待及处理。例如，分别赋以不同的字长来实现信号的编码及压缩，或是别的处理。处理后的信号经传输后再由综合滤波器组重建出原信号。由于分析滤波器组将原信号的带宽压缩为1/M，因此，对每一个子带信号均可作M倍的抽取，从而将抽样率减低M倍。这样可减小编码和处理的计算量，同时，在硬件

2、实现时也可以降低对系统性能的要求，从而降低成本。在综合滤波器组前面，再作M倍的插值，以得到和原信号相同的抽样率。一个两通道滤波器组如图所示。2H0 (z)2G0 (z)H1 (z)22G1 (z)图两通道滤波器组如果，或，式中和为常数，我们称是对的“准确重建(Perfect Reconstruction，PR)”。本节首先讨论图中各信号间的关系，然后讨论实现准确重建的途径。也即，如何确定,和才能去除混叠失真，幅度失真及相位失真。由图及第五章关于抽取与插值的输入、输出关系，对图中的分析滤波器组，有：， ( 7.1.1a )_ （b）即： （） 对综合滤波器组，有：而 ，所以 （）将（ （）该式给

3、出了和及分析滤波器组，综合滤波器组之间的关系（i0，1）。将（）式展开，有： 令 (7.1.5a) (b)则 ()由于是移位后的结果，因此它是混叠分量。显然，若令，则可有效的去除混叠失真，这样： ()反应了去除混叠失真后的两通道滤波器组的总的传输特性。系统的幅度失真及相位失真均与有关，因此又称“失真传递函数（distortion transfer function）”。若令，则，那么，从而实现了准确重建的目的。问题是：如何保证？如何保证？在，按这种要求赋值的情况下，和相互之间有何关系？这是我们后续几节主要讨论的内容。顺便指出，利用(H0 (z)H1 (-z)G0 (z)G1 (z)H0 (-z

4、)H1 (z) 图 两通道滤波器组的调制性表示7.2 和的选择观察(b)式，若简单的选取 (7.2.1a) (b)则，从而保证了去除混迭失真。由此可以看出，在两通道滤波器组中，、选取是独立于及的，也即，不论给出什么样的和，只要按（）式选定和，即可去除混迭失真。这时， ()若令 (7.2.3a)则 (b)再令 （）则 （）显然，因此，也称为“失真函数”。在去除了混迭失真后，若保证是的准确重建，即要求，关键就是和的选取。在给出，的选取方法之前，我们先深入的讨论一下和的一般选取原则。由()式，我们有()将该式和()式合并，有 ()令 ， (7.2.8a) ， (7.2.9a)则 （）(7.2.8a)

5、式中的下标m表示调制，这是因为在该式中有出现。又称“混迭分量（AC）”矩阵。希望是对的准确重建，等效于要求()这样，。后者是混迭分量，因此需要舍弃。由该式，有 ()式中 ()这样，我们得到： （7.2.14a）（b）这既是在保证PR条件下(见()式)，和选取的一般原则。分析该式，我们发现：1 取和是FIR的，则是FIR的，但由于出现在()式的分母上，那么和将变成IIR的，这是在应用中所不希望的；2 保证和是FIR的唯一可能是令， （）则 （7.2.16a） （b）若令l=0，则(和0；若代入(7.1.5a)式，则，由(7,2,15)式，从而保证了准确重建条件。但问题是如何选取， 取纯延迟的形式

6、，这是我们下面要讨论的主要内容。现在我们来分析一下，和在 ()式制约下所具有的时域关系。给定一滤波器，其频率响应为，单位抽样响应为，那么若1，则， （7.2.17a）若 则 ， （b）若 则 ， （7.2.17c）若 则 ， （d）以上四组关系在下面各章节的讨论中是十分有用的。2由（）式，有 （7.2.18a） （b）3由于 无奇次项，所以 （）令，分别是和的时序倒转，（7.2.20a）式可表示为 （）同理，由于 （7.2.22a）所以 （b）上述结果表明，在图和，当l为奇数时，与的偶序列移位正交，和的偶序号移位正交；若l为偶数，则与的奇序号移位正交，和的奇序号移位正交。这是两通道滤波器组中的

7、交叉正交关系。4. 为保证准确重建，由（ （）考虑,即（）式，由于只包含奇数项，所以只能为奇数。这就是说，在中，它的奇序号项只能有一项，即在处，于是，我们有 （7.2.24a）同理 （b）这是反映同一条支路上，分析滤波器和综合滤波器之间的正交关系。7.3 标准正交镜像滤波器组为了去除混迭失真，我们在上一节给出了和的选择，即（）式，为了保证这一PR条件，则需要合适地选择和。当给定一个低通原型滤波器后，最简单也是最直接地方法是选取，及 （7.3.1a）这时 （b）是移位后地结果，所以是高通的，且，是相对为对称的，故称按此方法选定的滤波器组为“标准正交镜像滤波器组”，也是最早提出的一种两通道滤波器组

8、，简称QMFB61,102。读者不难发现，按（）式，也是低通的，而是高通的。将（7.3.1a， （7.3.2a）于是 （b）为保证PR条件，等效地要求 （7.3.3a）或 （b）若令，则 （7.3.4a） （b）前已述及，的选取保证了去除混迭失真。如果，均选用具有线性相位的FIR滤波器，那么也是FIR的，且也具有线性相位，从而去除了相位失真，如果（）式真能成立，将去除幅度失真。这样，三类失真皆可去除，从而实现PR。问题是，怎样设计，令 （7.3.5a）则 （b）由（）式，有 （7.3.6a） （b）写成矩阵形式，有 （7.3.7a） （b）由（，的定义，由 (）同时，由（22E1 (z2)E1

9、 (z2)22E0 (z2)E0 (z2) 图 两通道QMFB的多相结构表示现在利用前述的结果来讨论QMFB中的幅度失真与相位失真问题。1. 关于消除幅度失真由()式，去除幅度失真的必要条件是必须是全通的，消除相位失真的必要条件是具有线性相位。如果我们取（）则，从而达到了PR的要求。但是，这时的将不是再FIR滤波器，从而，和都不再是FIR滤波器。若想保证，和都是再FIR滤波器，那么和只能选取纯延迟。例如，若令，那么 (7.3.10a) (b)显然，该关系满足，若按，来确定，那么及。这样，既实现了混迭抵消，又实现了PR条件。然而，（）式给出的，无任何实际意义。这是因为它们作为一个滤波器，既无平的

10、通带，也无高度衰减的阻带及较窄的过渡带。也许读者会问，我们的目的不是准确重建吗？既然最终有，何必要关心滤波器组中间过程的、的性能呢？实际上，尽管PR是最终目的，但滤波器组的核心作用是信号的子带分解。因此，在两通道FB中，我们希望、能把分成频谱分别在和的两个子带信号，且希望频谱尽量不重叠，因此对、通带和阻带的性能要求是非常高的。因此，在要求FIR的情况下，既要保持PR，又要使、具有实际意义是不可能。也即，在、有实用价值的情况下，不可能完全消除幅度失真，因此也做不到PR。解决该问题的方法有两种途径：（1） 放弃的简单形式，取更为合理的形式。这一点，我们将在下一节讨论；（2） 选用IIR滤波器。本书

11、不打算讨论IIR滤波器组，对此感兴趣的读者可参阅文献152关于消除相位失真我们知道，FIR滤波器是容易设计成线性相位的。例如，假定是N点FIR低通滤波器，即若，则是线性相位的，那么，和也是线性相位的，从而和也是线性相位的，于是去除了相位失真。现在来分析一下，在保证线性相位的条件下，的幅度情况。可表示为()式中是的实函数，可正可负，代表的“增益”，将该式代入(b)式，有 （）如果（N1）为偶数，即N为奇数，则在处为零，也即。那么将不可能是全通函数，这将产生严重的幅度失真。如果选择N为偶数，则 ()由该式看出，若保证 ()则，可以去除幅度失真。()式实际上可写成 ()这是我们已在第六章熟知的功率互

12、补形式。而()式称为“功率对称”N前面我们分别讨论了QMFB中消除相位失真及幅度失真的途径及各自存在的制约与问题。总之，使用了FIR滤波器组及，不可能同时去除相位失真和幅度失真。一般的做法是在保证线性相位的情况下，设计，使其幅频特性近似()式。3()式的近似从滤波器的特性看，(，但在设计时，应按()来设计，相差的系数可合并到常数c中。文献75提出了一个设计以满足()式的优化方法。其思路是：首先确定一目标函数，它包含两部分内容，一是反应在阻带的衰减，二是反映通带相加接近于1的程度。定义为(7.3.17a)式中 ，及 (b) （7.3.1c）显然，是在阻带内的能量，它应越小越好，是在内()式左边1

13、的误差，也应该越小越好。式中调整两个误差源及的重要程度。在使最小的过程中，止带频率是预先给定的。为使()式接近功率互补，应取。具体的优化算法可参看文献77, 4。此方法又称Johnston算法。文献114对信号的抽取、插值、多相结构及滤波器组的基本概念给出了概括性的介绍。7.4 共轭正交镜像滤波器组上一节指出，由于在QMFB中简单的选择，从而在保证PR的情况下使、无实际意义，最后只能采取次最佳的方法来设计，使整个滤波器组近似实现PR。为克服QMFB的这一不足，文献106,107提出了一个指定和关系的方法。假定是一个低通FIR滤波器，令()式中N为偶数。按该式，由得到包含如下三个步骤：1. 将变

14、成，等效地将移动，所以得到的是高通的；2. 将变成，这等效于将翻转变成。若是因果的，即，那么将是非因果的，其范围是从；3. 乘以延迟因子，目的是令变成因果的。将(7.4.2a) （7.4.2b）显然，仍是低通的，仍是高通的。现把这四个滤波器频域、时域的关系归纳如下（参看()式）：N为偶数(7.4.3a) (b)(7.4.3c)(d)按()式定义的和的幅频特性虽然和按(7.3.1a变成了，所以在相频响应上比(7.3.1a“共轭正交镜像滤波器组”，简称CQMFB。将()令 （7.4.5a）则 再令 (7.4.6a)则 (b)请注意此处、的定义与(1.5a)式，有 （）若令()则为一纯延迟，从而实现

15、对的准确重建。此式与(1(7.3.2a)式中的，这一区别为用谱分解的方法设计打下了基础；2 （b）式中的，而(7.4.6a)式中的，可以想象，要设计一滤波器，令为一全通函数要比令为全通函数困难得多；3 由()式有(7.4.9a)或 (b)即满足功率对称关系。该式又可改写为()即，满足功率互补关系。对QMFB，我们已在(具有线性相位，二是要求NN为偶数是为了后面半带滤波器设计的需要而提出的）。此外顺便指出，我们说的PR是指，既避免了幅度失真又避免了相位失真。在IIR的情况下，我们可最终做到这一结果，但，和不会是线性相位的。在7.3节已看到，为保证PR，只能取()式的纯延迟形式。但是，整个滤波器组

16、去除相位失真并不意味着，和都是线性相位的。我们后面将要证明，在正交镜像滤波器组中，满足PR的，必不是线性相位的。为要PR，又要FB中每一个滤波器都是线性相位的，那还要另辟途径，有关内容我们将在7.8节讨论。现在我们证明在CQMFB中的两个基本事实：事实一：满足()式PR条件的必是一个半带滤波器；事实二：和各自及相互之间有如下正交性：（1） 和各自都具有偶次移位的正交归一性，即，（7.4.11a），（b）（2） 和之间具有偶次移位的正交性，即，（）事实1的证明：将写成多相形式，有则 将、代入()式，有因此由半带滤波器的定义，因此为一半带滤波器。证毕。由此，我们欲设计一个满足PR条件的，可先设计一

17、半带滤波器，然后将分解为和，于是可得到。有关的设计将在下一节讨论。一个功率互补的半带滤波器，若能给出的分解，则称为“合适的半带滤波器（Valid ）”。读者很容易证明，和有着相同的幅频特性。事实2的证明：先证明(7.4.11a)式：由 有 此处等于的自相关函数。前已证明，为一半带滤波器，因此，除外，因此有同理可证(，即是将和做互相关，由于例如，若如图(a)所示，图；（b）若定义 ()并按同样的方法定义，和，则(116： ， (7.4.14a) ， 或 (b) ，或 (7.4.14a)式中上标H代表共轭转置，而(b)式可表为；()7.5共轭正交镜像虑波器的设计设计CQMFB的关键是设计，一旦设计

18、出来，由（，和。上一节已证明，若符合（）式的PR条件， 则为一半带滤波器。为此，我们可按下述步骤设计6。1利用第六章已讲过的方法，首先设计一个半带滤波器。的长度N = 4J-1，其通带截止频率和阻带截止频率以为对称，且通带和阻带的纹波一样大。所以，当用Chebyshev最佳一致逼近法设计该半带滤波器时19，通带和阻带的加权应一样大；2由于，因此，对一切，始终是非负的。而半带滤波器在阻带内有可能取负值。为此，我们令中间过渡的滤波器()式中为在阻带内的最大纹波值。假定为零相位，实现()式的一个简单办法是令 ()再令()则是一个半带滤波器，是非负的，且在处的值为0.5；3对作谱分解是的有理多项式，其

19、系数皆为实数，且是线性相位的。应有个零点，这些零点将是成对共轭及以单位圆为镜像对称出现的，这些零点属于和。其分配原则是：（1） 为保证为实数，若将的一个零点赋给，则其共轭零点也赋给。（2） 若把单位圆内的（2J1）个零点赋给，那么，单位圆外的（2J1）个零点将属于，这时，是最小相位的，它不再具备线性相位特性；（3） 若把以单位圆为镜像对称的（2J1）个零点赋给，则具有线性相位19；（4） 我们在7.8节将要证明，满足功率对称的滤波器（即QMFB和CQMFB两种情况）若具有线性相位，那么它只能取(时，应取最小相位形式。4对的因式分解对作谱分解时，由于()及 ()所以由此我们可以得到对定标的常数K

20、()这样，按()式即可得到。由(，和，从而描述PR条件的CQMFB可以求出。例751：试设计一共轭正交镜像滤波器组，并给出相关过程。按上述设计步骤，本例的设计过程如下：1. 令N22，用Chebyshev最佳一致逼近设计单带滤波器，再由此单带滤波器得到半带滤波器，其过程如同例。这样，2. 利用(，其抽样响应和大致相同，如图(c)所示。其幅频响应如图(d)所示，可以看出，它已经非负；3. 的长度也为43，对作谱分解，其极零图如图（e）所示。它有位于在原点的42重极点，有10对零点以单位圆为对称，另有11对零点几乎都位于单位圆上（左半边）。将作谱解后，取单位圆内的零点赋予，的极零图如(f)所示。4. 求出后自然也求出，同理，均一一求出，它们分别示于图(g)，（h），(i)和(j)。分别求和的幅频响应，再求，将这三条曲线都绘于图(k)，可以看出，和确实实现了功率互补。 图CQMFB的设计过程（a） 半带滤波器，（b）