例说数学开放题的设计与教学价值

1、 例说数学开放题的设计与教学价值泉州五中数学组 林 燎开放题是数学教学中的一种新题型，它是相对于有明确条件和结论的封闭题而言的，是指条件不完备、结论不确定、解题策略多样化的题目。目前中学教材中开放性的问题较少，课本例题、习题基本是为了使学生理解和掌握数学结论而设计的封闭题。这种情况使学生在学习过程中产生了以死记硬背代替主动参与，以机械模仿代替智力活动等问题。为了改变这种窘况，教师除在教学过程中要注意增加变式题、综合题外，还要适当设计一些开放性的问题，为学生提供更多主动探究与合作交流的机会，促进学生创新、研究能力的发展。数学开放题可以来源于课本的封闭题：有时可把条件、结论完整的题目改成给出条件，

2、先猜结论，再给予证明的形式；有时可改成要求运用多种解法或得出多个结论的题目；有时把题目的条件、结论拓广，使其演变成一个发展性问题，或先给出结论，再让学生探求其成立的条件是什么？OQPFABNMR案例一：在教学高中数学第二册（上）第100页例4后，设计开放题：“如图，椭圆的中心O是原点，F是左焦点，A是左顶点， R是上顶点， 为准线， 交x轴于点B，P、Q两点在椭圆上，PM 于M， PN 于N，QFx轴干F，请你用 图中两条线段的比来表示椭圆的离心率。”这个问题的结论是丰富多彩的，学生在探索中发现： 等等，从而思维的火花被点燃，探索问题的积极性被调动起来，并获得了对椭圆的定义及其性质较深刻的认识

3、。 AFOB案例二：如图，过双曲线 的右焦点F作直线交双曲线于A、B两点且 |AB|=4（条件），那么这样的的直线有几条？（结论） 这是高二数学的一道普通题。如果只让学生单纯解答这道题，学生的收益是不大的。但是，如果不断改变题目的条件，让学生思考：|AB|=3有几条？|AB|=2有几条？|AB|=1有几条？|AB|=5有几条？学生对问题的认识就会比较全面和深透。反过来，如果隐去条件，只给出结论，让学生探究使结论成立的条件是什么，效果又是如何呢？下面是笔者的教学片段：教师提问：如果满足条件的直线有且只有两条，那么这个条件应该是什么呢？让学生探索学生猜测并发现了条件是：2 < |AB| &l

4、t; 4.教师进而要求学生：“你能证明这个猜测吗？”在老师点拨下，学生发现了解答问题的关键是要证明两个命题：(1)若A、B都在右支上，当且仅当AB垂直于x轴时，|AB|的值最小；(2)若A、B不都在右支上时，当且仅当AB垂直于y轴时，|AB|的值最小。(证明见附录1)这样，学生对问题的探究被一步一步引向深入，从而发现了问题的实质，抓到了解决这类问题的要害，同时培养了学生的创新精神和科学态度。案例三：高中数学第二册（上）习题8.5第七题 “过抛物线的焦点F作一条直线和此抛物线相交于两点，求证：”，若将其结论隐去，便得到一个开放性问题“过抛物线焦点F作一条斜率为k的直线和此抛物线相交于两点，你能得

5、到相关于弦AB的哪些结论呢？”然后引导学生从五个层面进行思考和探究，从而可得到一系列结论。（1）基础层：分别用k、p来表示是什么呢？（2）应用层：当k变化时，求弦AB的长；线段AB的中点轨迹方程；OAB的重心轨迹方程；原点O在直线AB上的射影H的轨迹方程；OAB面积的最大值。ACDOBF（3）提高层：如图，分别过A，B作抛物线的准线的垂线，设垂足分别为C，D，问：以线段AB为直径的圆与直线CD有什么关系？以线段CD为直径的圆与直线AB有什么关系？（见附录2） （4）深化层：在前面的结论中，寻找直线AB过焦点F的一个充要条件，并加以证明。（见附录3）（5）拓展层：设AF=m，BF=n，求证： ：

6、 。你能把这个结论推广到椭圆和双曲线吗?通过对这些结论的探索，学生不断有所发现，有所创新。各层次学生都得到了成功的体验。可见，数学开放题体现数学问题的形成过程，体现解答对象的实际状态。数学开放题可以为学生个别探索和准确认识自己提供时空，便于因材施教，可以用来培养学生发现问题和分析问题，可以用来培养学生的创新精神和创造能力。因此数学开放题用于学生探究性学习意义深远，这是一种新的教学理念的具体体现。附录1： 案例二中两个命题的一般化及其证明： 已知：如图，过双曲线 的右焦点F(C,0)的直线交双曲线于 两点.求证：若A、B都在右支上，当且仅当AB垂直于x轴时，|AB|的值最小；若A、B不都在右支上

7、时，当且仅当AB垂直于y轴时，|AB|的值最小。证明：设A、B到准线的距离分别为由双曲线的第二定义得：又A、F、B三点共线，AFOB （1）若A、B都在右支上，则当直线AB的斜率k存在时，可设直线AB的方程为， 消去y得：整理得 由于A、B都在右支上， 即即. 而当k不存在时，直线AB的方程为x = c代入得 综上得，当且仅当k不存在，即当且仅当ABx轴时，（2）若A、B不都在右支上，不妨设A在左支上，B在右支上，A即则B而 FO 得，又A、B不都在右支上， （当且仅当k=0时等号成立）（当且仅当k=0时等号成立）ACDOBF即当且仅当ABy轴时， （即实轴长）附录2：案例三中（3）的探索（3

8、）设AB的中点E，HE 以AB为直径的圆与直线CD相切.反过来，若以AB为直径的圆与CD相切，则AB的中点E到直线CD的距离，|EH|=A、F、B三点共线，即直线AB过F可见“以线段AB为直径的圆与CD相切”是“AB过F”的充要条件。C如图，|AF|=|AC|，且ACx轴72A1=2=3，同理4=5=6，G3+6=1+4=90°即CFD=90°FO即点F在以CD为直径的圆周上。BD设CD的中点为G，则|GF|= 即|GF|=|GC| 3=7又1=2 1+3=2+7=90°GFAB 以CD为直径的圆与直线AB相切附录3： 案例三中（4）的探索：直线AB过焦点F的一个充要条件是证明：必要性是课本的原题，这里从略，下面只证充分性：设直线AB与抛物线 由于直线AB不平行x轴，故可设其方程为 整理得 由韦达定理得直线AB的方