【课件】5.3.2.2函数的最值

1、新教材 选择性必修二第第五五章章一元函数的一元函数的导数及其导数及其应用应用5.3.2.2函数函数的最大的最大(小小)值值增 减 温故知新复习回顾新教材选择性必修二定义域 零点 零点 正负 复习回顾新教材选择性必修二2判断函数yf (x)的单调性及极值第1步：确定函数的_；第2步：求出导数f (x)的_；第3步：用f (x)的_ 将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f (x)在各区间上的_，由此得出函数yf (x)在定义域内的单调性与函数的极值点同学们，上节课我们在群山之间穿梭，感受了每一个山峰与山谷的优美之处，而今天我们誓要寻找最高的山峰和最低的峡谷，我们既要有俯视一切的雄心和气概

2、，拿出“会当凌绝顶，一览众山小”的气势，也要有仰望一切的谦虚和胸怀，更要有“可上九天揽月，可下五洋捉鳖”的勇气，这其实就是我们今天要探究的函数的最值.导 语导 语本 课 内 容本 课 内 容新教材选择性必修二一、极值与最值的关系二、求函数的最值三、利用最值证明不等式一、极值与最值的关系问题1 1如图是yf(x)在区间a，b上的函数图象.显然f(x1)，f(x3)，f(x5)为极大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)为极小值.你能找到函数的最大值和最小值吗？提示最大值yMf(x3)f(b)分别在xx3及xb处取得，最小值ymf(x4)在xx4处取得.显然函数的最值是函数的整体性质，且要求函数是

3、连续不断的，而最值不同于极值，如果有最大(小)值，则唯一存在.新知学习新教材选择性必修二问题2 2开区间上的连续函数有最值吗？提示如图.容易发现，开区间上的连续函数不一定有最大值和最小值，若有最值，则一定是在极值点处取到.新知学习新教材选择性必修二知识梳理知识梳理函数最值的定义(1)一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线，若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，若对任意xI，存在x0I，使得f(x)f(x0)，那么它必有最大值和最小值.(2)对于函数f(x)，给定区间I，(1)开区间不一定有最值，闭区间上的连续函数一定有最值；(2)函数f(x)在闭区间a，

4、b上连续是f(x)在闭区间a，b上有最大值 和最小值的充分不必要条件.则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最小值；则称f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值.注意：注意：新教材选择性必修二例1 1如图是函数yf(x)在区间a，b上的图象，写出函数的极大值、极小值、最大值和最小值.解由题图可知，yf(x)在x1，x3处取得极小值，在x2处取得极大值，所以极小值为f(x1)，f(x3)，极大值为f(x2)；比较极值和端点值可知函数的最小值是f(x3)，最大值在b处取得，最大值为f(b).新知学习新教材选择性必修二反思感悟最值与极值的区别与联系(1)极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对

5、函数的定义区间的整体而言.(2)在函数的定义区间内，极大(小)值可能有多个，但最大(小)值只有一个(或者没有).(3)函数f(x)的极值点为定义域中的内点，而最值点可以是区间的端点.(4)对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得.知识梳理新教材选择性必修二1判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数f (x)在区间a，b上的最大值和最小值，一定在区间端点处取得( )(2)开区间上的单调连续函数无最值 ( )(3)在定义域内，若函数有最值与极值，则极大(小 值就是最大(小)值()(4)若函数yf (x)在区间a，b上连续，则一定有最值；若可导，则最值点为极值点或区

6、间端点()小试牛刀典型例题新教材选择性必修二典型例题新教材选择性必修二跟踪训练1 1设f(x)是区间a，b上的连续函数，且在(a，b)内可导，则下列结论中正确的是A.f(x)的极值点一定是最值点 B.f(x)的最值点一定是极值点C.f(x)在区间a，b上可能没有极值点 D.f(x)在区间a，b上可能没有最值点跟踪训练新教材选择性必修二解析根据函数的极值与最值的概念知，f(x)的极值点不一定是最值点，f(x)的最值点不一定是极值点.可能是区间的端点，连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项A，B，D都不正确，若函数f(x)在区间a，b上单调，则函数f(x)在区间a，b上没有极值点，所以C正确.

7、二、求函数的最值典例解析典型例题新教材选择性必修二新知学习新教材选择性必修二解因为f(x)2x312x，x2,3，所以f(x)6x212令f(x)0，因为f(2)8，f(3)18，当x3时，f(x)取得最大值18.又x0,2，所以当x0时，f(x)有最小值f(0)0；当x2时，f(x)有最大值f(2).(2)f(x) xsin x，x0,2.新知学习新教材选择性必修二反思感悟求函数最值的步骤(1)求函数的定义域.(2)求f(x)，解方程f(x)0.(3)求极值、端点处的函数值，确定最值.注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较.跟踪训练2 2求下列函数的最值：(1)f(x)2x36x

8、23，x2,4；解f(x)6x212x6x(x2).令f(x)0，得x0或x2.又f(0)3，f(2)5，f(4)35，f(2)37，当x4时，f(x)取最大值35.当x2时，f(x)取最小值37.即f(x)的最大值为35，最小值为37.跟踪训练新教材选择性必修二当f(x)0时，x2，f(x)在(，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，跟踪训练三、利用最值证明不等式三、利用最值证明不等式例3 3已知函数f(x)exe(ln x1)，求证f(x)0恒成立.设F(x)xexe(x0)，则F(x)在(0，)上单调递增，且F(1)0.f(x)的最小值为f(x)minf(1)0，f(x)0恒成立.典型例题新教材选择性必修二反思感悟证不等式恒成立，(1)用导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；(2)也可根据不等式直接构成函数，利用导数的方法，通过分类讨论研究函数的最值，即可得到结果.跟踪训练新教材选择性必修二当x1时，g(x)f(x)0，即f(x)g(x)，1.知识清单：(1)函数最值的定义.(2)求函数最值.(3)函数最值的应用.2.方法归纳：转化化归、分类讨论.3.常见误区：忽视函数的最值与极值的区别与联系.课堂小结课堂小结知识梳理新教材选择性必修二学了哪些知识学了哪些知识用了哪些