建筑力学—弯曲变形及答案

1、第七章 组合变形本章主要讨论建筑工程中常见的组合变形的强度计算问题。其中斜弯曲、拉（压）与弯曲、偏心拉（压）组合变形的强度计算问题是本章的重点。第1节 组合变形的概念前面的章节分别研究了杆件在轴向拉（压）、剪切、扭转、平面弯曲基本变形下的强度和刚度计算。但在工程实际中，结构中一些杆件的受力情况是复杂的，往往同时发生两种或者两种以上的基本变形，这种由两种或两种以上的基本变形组合而成的变形称为组合变形。例如，图7-1a所示的烟囱，除自重引起的轴向压缩外，还有水平方向的风力引起的弯曲变形，即同时产生两种基本变形。又如，图7-1b所示的备有吊车的厂房柱，作用在立柱上的荷载和,其合力的作用线一般不在立柱

2、轴线上，此时，立柱即发生压缩变形又发生弯曲变形。再如，图7-1c所示的曲拐轴，在荷载作用下，曲拐段同时发生扭转和弯曲变形。上述这些杆件的变形，都是结构杆件发生组合变形的工程实例。图7-1由上一章梁的弯曲可知：外力沿横向作用在梁的纵向对称平面内，梁将发生平面弯曲变形。那么，外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但不作用在纵向对称平面内时，梁会发生怎样的变形呢?实验及理论研究得知，此时梁轴线变形后弯成的曲线已不在荷载的作用平面内，即不属于平面弯曲，这种弯曲称为斜弯曲。若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力作用仍在纵向对称平面内，梁将发生拉（压）与弯曲组合变形。若作用外力虽然沿杆件轴向方向，但不与轴线重

3、合，杆件也将发生拉（压）与弯曲组合变形，称为偏心拉（压）。对发生组合变形的杆件计算应力和变形时，可将荷载进行简化或分解，使简化或分解后得到的静力等效的荷载，每类荷载各自只引起一种基本变形，分别计算，再进行叠加，就得到由原来的荷载所引起的组合变形的应力和变形，这就是组合变形的分析方法和组合变形计算的叠加原理。这里需要强调的是：叠加原理是在满足小变形和力与位移成线性关系的条件下才适用。本章将主要讨论斜弯曲、拉压与弯曲、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算问题。第二节 拉伸（压缩）与弯曲组合变形若外力不沿梁的横向（斜交于轴线），但力仍作用在纵向对称平面内，这时梁将发生拉伸（压缩）与弯曲变形。如图7-2

4、a所示矩形截面悬臂梁，外力F斜交于轴线，与y轴夹角为。若将力沿x、y轴方向正交分解，则分力Fx沿梁的轴线作用，使梁发生轴向拉伸变形；分力Fy沿垂直于轴线作用，使梁发生平面弯曲变形。因此，悬臂梁的变形为轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形，简称为拉（压）弯曲组合变形。下面以图7-2a为例，说明拉（压）弯曲组合变形时的正应力及强度计算。图7-2杆件发生拉（压）弯曲组合变形时，截面上的弯曲切应力较小，可略去不计，杆件截面上既有轴向拉（压）时均匀分布的拉应力，又有线性分布的弯曲正应力，如图7-2c、d所示。截面各点处同时作用的正应力可以叠加，如图7-2e所示。可见截面上边缘有最大的拉应力，其值为 由上式可

5、知，拉（压）与弯曲组合变形时最大应力发生在弯矩最大的截面上。其强度设计准则为 （7-1）式（7-1）表明，发生拉（压）与弯曲组合变形时，危险截面上危险点的应力不得超过材料的许用应力。在进行组合变形强度计算时，需要先分析杆件的危险截面和危险点，然后用该强度准则进行计算校核。例7-1 图7-2a所示为矩形截面悬臂木梁，已知作用外力kN，与y轴夹角为，梁跨，矩形截面尺寸=200×300mm2，=12MPa,试校核梁的强度。解 1）求最大内力。由前述分析可知，梁发生拉弯组合变形，其危险截面是左端固端截面，截面内力为 2） 强度计算。危险点是固定端截面上边缘的点，即 所以，梁的强度满足要求。例

6、7-2 图7-3所示为简易起重机，其最大起吊重量kN，横梁AB为工字钢，许用应力=170MPa，若梁的自重不计，试按正应力强度准则选择工字钢的型号。 解1)横梁的变形分析。横梁AB可简化为简支梁，由于起重机电葫芦可在AB之间移动，由前述可知当简支梁跨中点作用集中力时，梁跨中点截面有最大弯矩，所以当电葫芦移动到梁跨中点时是梁的危险状态，因此应以吊重作用于梁跨中点来计算支座约束力。为便于分析计算，可将拉杆BC的作用力FB分解为FBx和FBy(图7-3b)，列平衡方程得 力FAy、G与FBy沿AB的横向作用使梁AB发生弯曲变形，力FAx与FBx沿梁AB的轴向作用使梁AB发生轴向压缩变形，所以梁AB发

7、生压缩与弯曲组合变形。2） 横梁内力分析。做梁的轴力图和弯矩图（如图7-3c、d），可见，横梁中点截面的弯矩最大，其值为 横梁各截面的轴力为 3）选择工字钢型号。由于在横梁跨长中点的截面上弯矩最大，故此截面为危险截面。最大压应力发生在该截面的上边缘各点处。由强度准则 确定工字钢型号。因强度准则含有截面A和抗弯截面系数两个未知量，不易确定。为便于计算，可以先不考虑压缩正应力，只根据弯曲正应力强度准则进行初步选择，然后再按拉(压)与弯曲强度准则进行校核。由弯曲正应力强度准则查附表型钢表，选号工字钢，其=102cm3=102×103mm3,=21.5cm2=21.5×102mm2

8、。 图7-3 4）校核。初选工字钢型号后，再按拉（压）与弯曲组合强度准则校核 所以选用号工字钢可满足强度要求。若不满足强度条件，可重新选择工字钢型号，直到满足强度条件为止。第三节 斜弯曲如图-4a所示，矩形截面梁在外力F作用下发生变形，但外力F的作用线只通过端截面的形心而不在梁的纵向对称平面内，此时梁将发生斜弯曲变形。把外力F沿截面对称轴方向进行正交分解，斜弯曲变形就分解为两个垂直平面上的平面弯曲变形的组合。 图7-4一、斜弯曲的应力分析当梁发生斜弯曲时，梁的横截面上同时存在正应力和切应力，由于弯曲切应力与弯曲正应力相比，切应力的值较小，一般可以忽略不计。先将外力F沿截面两个对称轴方向分解为F

9、y和Fz，分别计算Fy和Fz单独作用下的Mz和My，以及两个弯矩各自产生的正应力，然后再进行同一点应力的叠加，即得出截面任意点的应力值。由图7-4a可知，外力F沿截面两个对称轴方向分解为Fy和Fz，其值为 则任意截面A的弯矩（图7-4b）为 其中，M z和My下标z、y分别表示截面弯曲的中性轴。由弯曲应力分布公式可知，截面A任意点K处的弯曲正应力分别是 Fy和Fz作用下截面A中任意点K处的弯曲应力为 (a)式（a）即为斜弯曲时梁横截面上任意点的正应力计算公式。式中，Iz、Iy分别为截面对z轴和y轴的惯性矩；y和z分别为所求应力点的截面坐标。2、 斜弯曲的强度计算1. 最大应力由图7-4b所示可

10、见，Mz使截面A上边缘有最大拉应力、下边缘有最大压应力；My使截面A后边缘有最大拉应力、前边缘有最大压应力。故截面A的上、后边缘的交点处有最大拉应力，截面A的下、前边缘的交点处有最大压应力，其计算公式为： （b）式（b）即为任意截面的最大应力计算公式。从式（b）可以看出，对工程常用的工字形、矩形等对称截面梁，斜弯曲时最大应力一定发生在弯矩最大截面的边缘交点处。通常把最大弯矩的截面称为危险截面，危险截面上最大正应力的作用点称为危险点。如图7-4a所示的矩形截面梁，其左端固定端截面的弯矩值最大，该截面是梁的危险截面。该截面上、后边缘的交点和下、前边缘的交点是梁的危险点。全梁的最大弯曲正应力为 (c

11、)式（c）表明，斜弯曲时梁的最大弯曲正应力必发生在弯矩最大的截面上。2. 强度准则与平面弯曲一样 ，斜弯曲时梁的强度设计准则要求梁的最大工作应力（即危险截面上危险点的最大正应力）不超过材料的许用应力，即 （7-2）此式即为斜弯曲梁的强度准则。应用斜弯曲梁的强度准则，同样可以解决工程中常见的三类问题，即校核强度、设计截面和确定许用荷载。但在设计截面时应注意：因为式中存在两个未知变量Mz和My，所以在选择截面时，需先设定一个比值M z/My(工程中一般为：矩形截面取M z/My=1.22；工字形截面取M z/My=610)，然后再用式（7-2）设计截面的具体尺寸，最后对所选截面进行校核，以确保满足

12、强度准则。例7-3 图7-5所示矩形悬臂梁，已知kN,kN,截面尺寸，试计算梁的最大拉应力及所在位置。 图7-5解1）求最大弯矩。梁受铅垂力和水平力共同作用，发生双向弯曲变形。梁的危险截面是左端固定端截面，最大弯矩分别为 2）求最大弯曲正应力。 3）危险点位置。最大拉应力位于固定端截面上边缘和后边缘的交点，即梁的危险截面是固定端截面，危险点为截面的角点。例7-4 如图7-6a所示，跨度为=4m的简支梁拟用工字钢制成，跨中作用集中力F=7kN，其与横截面纵向对称轴y的夹角(图7-6b)，已知=160MPa试选择工字钢的型号(提示：先假定的比值，试选后再进行校核)。 、解 1) 画弯矩图。所得弯矩

13、图如图图7-62) 分解外力。 3）求最大弯矩。 4) 强度计算。设定Wz/Wy，由强度准则 得 查型钢表选16号工字钢，查得5) 校核梁的强度。 梁的强度满足要求，故此梁选用16号工字钢。 第四节 偏心压缩(拉伸)的强度计算由前面章节可知：轴向拉伸(压缩）时外力F的作用线与杆件轴线重合。工程中，若杆件作用外力虽然沿杆件轴线方向，但不与杆件轴线重合，此时，杆件将发生拉伸(压缩）与弯曲的组合变形，简称为偏心拉伸(压缩）。偏心拉伸（压缩）可分解为轴向拉伸(压缩）和弯曲两种基本变形的组合。偏心拉伸(压缩）分为单向偏心拉伸(压缩）和双向偏心拉伸(压缩），本节将分别讨论两种情况下的应力和强度计算。 一、

14、单向偏心拉伸(压缩）时的正应力和强度计算图7-7a所示为矩形截面偏心受拉杆，平行于杆件轴线的力的作用点在y轴上，且距z轴偏心距为，这类偏心拉伸称为单向偏心拉伸。当F为压力时，则成为单向偏心压缩。图7-7分析偏心拉伸(压缩）的应力时，可将力F平移到杆件的轴线上（图7-7b），由力的平移定理可知，平移后得到的平移力F与轴线重合，使杆件发生轴向拉（压）力；附加力偶矩，使杆件发生平面弯曲（纯弯曲）。由此可知，单向偏心拉（压）就是轴向拉（压）与一个平面弯曲的组合。所以，任意横截面上最大正应力显然发生在截面的上、下边缘处（图-7e），其强度准则是 式中，± 表示在强度计算时，对于脆性材料既要考虑

15、拉应力强度，又要考虑压应力强度。即杆件中的最大拉应力、压应力均不得超过材料的许用拉应力和许用压应力。 二、双向偏心拉（压）时的正应力和强度计算图7-8a所示的偏心受拉杆，平行于轴线的力F的作用点不在截面的任何一个轴线上，偏心距分别为ey和ez。这类偏心拉伸称为双向偏心拉伸。当力F为压力时，称为双向偏心压缩。图7-8双向偏心拉压时的分析， 与单向偏心拉（压）类似。仍是将外力F平移到截面的形心处，使其作用线与杆件的轴线重合，但平移后附加的力偶不是一个，而是两个。两个力偶的力偶矩分别是F对z轴的力矩和对y轴的力矩（图7-8b）。截开任意横截面ABCD，截面内力如图7-8c所示，轴力FN、力矩Mz和M

16、y在截面上产生应力分布分别如图7-8 d、e、f所示。对于矩形、工字形等具有两个对称轴的横截面，在FN、力矩Mz和My的共同作用下，最大拉应力或最大压应力均发生在横截面的边角点处，其正应力的强度准则为 （7-4）与单向偏心拉压强度准则比较，式（7-4）只是多了一项平面弯曲正应力。在进行强度计算时，注意分析危险截面上的最大应力分布情况，确定最大正应力即危险点的位置，切勿简单套用公式。例7-5 图7-9a所示为单向偏心受压矩形截面杆件，力F的作用点位于杆端截面的轴上，试求杆的横截面不出现拉应力时的最大偏心距emax。 解1)将力F平移到杆端截面的形心处并附加一力偶矩(图7-9b)。2) 轴力作用时

17、横截面上各点的压应力为 3）弯矩作用时横截面右侧边缘的最大压应力为 图7-9 4) 求最大偏心距。欲使横截面不出现拉应力，应使杆件横截面左侧边缘处的拉应力等于零(图7-9b)，即 解得，即最大偏心距为。例7-6 如图7-10所示一个矩形截面柱基高=0.5m，=60kN，=10kN,=0.03，截面尺寸，mm，试计算底面上、四角点的正应力。解）变形分析。该基柱变形为弯曲与单向偏心压缩组合变形，即发生双向弯曲与压缩组合。2）求底截面内力。将力平移到柱端轴线处，可得 图7-103） 求各点应力。根据各点位置，判断正应力正负号，叠加各点正应力为 本章小结1、 组合变形的概念杆件同时发生两种或两种以上的

18、基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： （1）斜弯曲外力虽然沿梁的横向（垂直于轴线），但力不作用在梁的纵向对称平面内，梁变形后其轴线也与荷载不在同一平面内所引起的变形，称为斜弯曲。 （2）拉压与弯曲组合若外力不沿梁的轴向（斜交于轴线），但力仍作用在纵向对称平面内，此时梁的变形称为拉（压）与弯曲组合变形。 （3）偏心拉（压）杆件受到平行于轴线但不与轴线重合的力的作用时，引起的变形称为偏心拉伸（压缩）。二、组合变形的应力和强度准则危险截面和危险点通常把最大弯矩所在的截面称为危险截面，危险截面上具有最大应力的点称为危险点。（1）斜弯曲强度准则为（2） 拉压与弯曲组合强度准则为 （3） 偏心拉（压）

19、强度准则为单向偏心拉（压）时 双向偏心拉（压）时 思 考 题7-1 计算组合变形的基本假设是什么？用什么方法进行计算？7-2图所示各杆的各段截面上有哪些内力？各段发生什么组合变形？ 图7-117-3 图7-12所示各杆的组合变形是由哪些基本变形组合而成的？判断在各个基本变形情况下A、B、C、D各点处正应力。图7-12习 题7-1如图7-13所示为14号工字制成的简支梁，力作用线过截面形心且与轴成角，已知kN，试求梁的最大正应力。7-2图7-14所示矩形截面悬臂梁，力过截面形心且与轴成角，已知kN，材料的许用力，试确定和的尺寸（可设） 图7-13 图7-147-3 如图7-15所示横截面为正方形

20、的简支斜梁，承受铅直荷载F=3 kN作用，如图7-15所示。已知边长a=100 mm。试求梁内的最大拉应力和最大压应力，并指出各发生在哪个横截面上。7-4 如图7-16所示简易吊车的计算简图如图7-16所示，横梁AB用工字钢制成。已知小车连同吊重共重W=24 kN，小车给横梁的力可视为集中力，横梁AB长=4 m，钢材的许用应力=100 MPa。试选择工字钢的型号(提示：小车与吊重移至横梁A居中点时，横梁最危险；先按弯曲强度条件，初选工字钢型号。 图7-15 图7-167-5 如图7-17所示悬臂梁长，由25b号工字钢制成，作用在梁上的均布荷载q=5 kNm，集中荷载F=2 kN, 力F与轴的夹角。试求梁内的最大拉应力和最大压应力。 图7-